28.3 Kwadraatafsplitsen >

Hoofdstukken > Vierkantsvergelijkingen

In opgave 3g heb je de vergelijking ${(x + 5)}^{2} = 7$ opgelost. De oplossingen zijn $‐ 5 + \sqrt{7}$ en $‐ 5 - \sqrt{7}$ . Als je de haakjes in de vergelijking wegwerkt en op 0 herleidt, vind je: $x^{2} + 10 x + 18 = 0$ . Deze vergelijking kun je niet oplossen door ontbinden omdat er geen paar gehele getallen te vinden is waarvan het product 18 en de som 10 is. Haakjes wegwerken, werkt hier dus averechts.

Als je de vergelijking $x^{2} + 10 x + 18 = 0$ op wilt lossen, moet je proberen de vorm ${(x + 5)}^{2} = 7$ terug te vinden. Hoe je zoiets aanpakt, bekijken we in deze paragraaf.

De maten (in m) van een L-vormig gazon staan in de figuur.

Druk de oppervlakte van de figuur in $x$ uit.

Bereken voor welke $x$ de oppervlakte van het gazon 7 m² is.

En ook voor welke $x$ de oppervlakte van het gazon 16 m² is.

Er is ook een waarde voor $x$ zó, dat de oppervlakte van het gazon 10 m² is.
Die waarde van $x$ kun je niet vinden door de vergelijking $x^{2} + 6 x = 10$ op 0 te herleiden en te ontbinden.

Reken na dat $‐ 3 + \sqrt{19}$ aan de vergelijking $x^{2} + 6 x = 10$ voldoet.

De vraag is: hoe vind je dat getal $‐ 3 + \sqrt{19}$ ?
Dat bekijken we in het volgende.

We vullen het L-vormige gazon aan tot een vierkant gazon.

Wat is de oppervlakte van het stuk dat erbij is gekomen?

Druk de zijden en daarna de oppervlakte van het grote vierkant in $x$ uit.

De oppervlakte van de L-vorm is het verschil in oppervlakte van twee vierkanten.

Neem over en vul in.
$x^{2} + 6 x = {(x + 3)}^{2} - ...$

De vergelijking $x^{2} + 6 x = 10$ lossen we nu als volgt op.

$x^{2} + 6 x$	$=$	$10$	$x^{2} + 6 x$ vervangen door ${(x + 3)}^{2} - 9$
${(x + 3)}^{2} - 9$	$=$	$10$	PLUS 9
${(x + 3)}^{2}$	$=$	$19$	Verder oplossen
$x + 3 = \sqrt{19}$	of	$x + 3 = ‐ \sqrt{19}$
$x = ‐ 3 + \sqrt{19}$	of	$x = ‐ 3 - \sqrt{19}$

Los op soortgelijke wijze op: $x^{2} + 6 x = 11$ .

Bij $x^{2} + 10 x$ kunnen we een plaatje maken. De poten van de L zijn even lang.

Hoe lang (uitdrukken in $x$ )?

Wat is de oppervlakte van het kleine vierkant waarmee je de L-vorm aanvult tot het grote vierkant?

De L-vorm is het verschil van twee vierkanten: $x^{2} + 10 x = {(x + 5)}^{2} - 25$ .
We gebruiken dit bij het oplossen van de vergelijking $x^{2} + 10 x + 20 = 0$ .

$x^{2} + 10 x + 20$	$=$	$0$	$x^{2} + 10 x$ vervangen door ${(x + 5)}^{2} - 25$
${(x + 5)}^{2} - 25 + 20$	$=$	$0$	Vereenvoudigen
${(x + 5)}^{2} - 5$	$=$	$0$	PLUS 5
${(x + 5)}^{2}$	$=$	$5$

Geef de oplossingen van de vergelijking $x^{2} + 10 x + 20 = 0$ .

Schrijf de vergelijking $x^{2} + 10 x - 12 = 0$ in de vorm ${(x + 5)}^{2} = ...$ .

Geef de oplossingen van de vergelijking $x^{2} + 10 x - 12 = 0$ .

We bekijken de vorm $x^{2} + 12 x$ . Denk hier een plaatje bij zoals getekend is.

Neem over en vul in: $x^{2} + 12 x = {(x + ...)}^{2} - ...$ .

Los op: $x^{2} + 12 x = 4$ .

Los op: $x^{2} + 12 x + 4 = 0$ .

We hebben steeds de oppervlakte van een L-vorm geschreven als het verschil in oppervlakte van twee vierkanten, bijvoorbeeld $x^{2} + 10 x = {(x + 5)}^{2} - 25$ .
We gebruiken dit bij het oplossen van vergelijkingen.

Voorbeeld
Los op:

$x^{2} + 10 x + 12$	$=$	$0$	$x^{2} + 10 x$ vervangen door ${(x + 5)}^{2} - 25$
${(x + 5)}^{2} - 25 + 12$	$=$	$0$	Vereenvoudigen
${(x + 5)}^{2} - 13$	$=$	$0$	PLUS 13
${(x + 5)}^{2}$	$=$	$13$
$x + 5 = \sqrt{13}$	of	$x + 5 = ‐ \sqrt{13}$
$x = ‐ 5 + \sqrt{13}$	of	$x = ‐ 5 - \sqrt{13}$

$x^{2} + 10 x$ vervangen door ${(x + 5)}^{2} - 25$ , noemen we kwadraatafsplitsen

Splits het kwadraat af. (De eerste is als voorbeeld voorgedaan.)

$x^{2} - 20 x = {(x - 10)}^{2} - 100$

$x^{2} - 7 x = {(x - 3 \frac{1}{2})}^{2} - ...$

$x^{2} - 8 x$

$x^{2} + 11 x$

$x^{2} - 21 x$

$x^{2} + x$

$x^{2} - x$