Drie voorbeelden van het oplossen van vierkantsvergelijkingen

Voorbeeld 1

$x^{2} + 3 x$	$=$	$7 x + 10$	op 0 herleiden
$x^{2} - 4 x - 10$	$=$	$0$	kwadraatafsplitsen
${(x - 2)}^{2} - 4 - 10$	$=$	$0$	PLUS 14
${(x - 2)}^{2}$	$=$	$14$
$x - 2 = \sqrt{14}$	of	$x - 2 = ‐ \sqrt{14}$
$x = 2 + \sqrt{14}$	of	$x = 2 - \sqrt{14}$

Voorbeeld 2

$2 x^{2} + 12 x$	$=$	$10 x - 20$	op 0 herleiden
$2 x^{2} + 2 x + 20$	$=$	$0$	delen door 2
$x^{2} + x + 10$	$=$	$0$	kwadraatafsplitsen
${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + 10$	$=$	$0$	MIN $9 \frac{3}{4}$
${(x + \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$‐ 9 \frac{3}{4}$

De vergelijking heeft geen oplossingen, want voor elke $x$ geldt: ${(x + \frac{1}{2})}^{2} \geq 0$ !

Voorbeeld 3

${(x + 1)}^{2}$	$=$	$2 x^{2} - (x + 3)$	haakjes wegwerken
$x^{2} + 2 x + 1$	$=$	$2 x^{2} - x - 3$	op 0 herleiden
$0$	$=$	$x^{2} - 3 x - 4$	kwadraatafsplitsen
${(x - 1 \frac{1}{2})}^{2} - 2 \frac{1}{4} - 4$	$=$	$0$	PLUS $6 \frac{1}{4}$
${(x - 1 \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$6 \frac{1}{4} = \frac{25}{4}$
$x - 1 \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$	of	$x - 1 \frac{1}{2} = ‐ 2 \frac{1}{2}$
$x = 4$	of	$x = ‐ 1$

Vanaf de derde regel had je ook zo verder kunnen gaan:

$(x - 4) (x + 1)$	$=$	$0$	verder oplossen
$x = 4$	of	$x = ‐ 1$

Los de volgende vergelijkingen op.

$‐ x^{2} + 3 x = 4 x - 5$

$2 x^{2} = 4 x + 6$

${(x + 1)}^{2} = ‐ (x + 2) + 7$

$x^{2} + 5 x + 3 = 0$

$3 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

$‐ 2 x^{2} - 4 x = 20$

${(2 x)}^{2} = 4 x - 1$

Bekijk de vierkantsvergelijkingen $a x^{2} + b x + c = 0$ en $c x^{2} + b x + a = 0$ (met $a$ en $c$ niet nul). In de tweede vergelijking staan de coëfficiënten precies in omgekeerde volgorde.

Onderzoek wat het verband is tussen de oplossingen van deze vergelijkingen.