<
28.4  Vierkantsvergelijkingen oplossen >
Hoofdstukken > Vierkantsvergelijkingen
1
2
a

‐ x 2 + 3 x = 4 x − 5
x 2 − 3 x = ‐ 4 x + 5
x 2 + x = 5
( x + 1 2 ) 2 − 1 4 = 5
( x + 1 2 ) 2 = 5 1 4 = 21 4
x + 1 2 = 21 4 = 1 2 21     of     x + 1 2 = ‐ 1 2 21
x = ‐ 1 2 + 1 2 21     of     x = ‐ 1 2 − 1 2 21

b

2 x 2 = 4 x + 6
x 2 = 2 x + 3
x 2 − 2 x = 3
( x − 1 ) 2 − 1 = 3
( x − 1 ) 2 = 4
x − 1 = 2     of     x − 1 = ‐ 2
x = 3     of     x = ‐ 1

Handiger:
x 2 − 2 x − 3 = 0
( x − 3 ) ( x + 1 ) = 0
x = 3     of     x = ‐ 1

c

( x + 1 ) 2 = ‐ ( x + 2 ) + 7
x 2 + 2 x + 1 = ‐ x − 2 + 7
x 2 + 3 x − 4 = 0
( x + 4 ) ( x − 1 ) = 0
x = ‐ 4     of     x = 1

d

x 2 + 5 x + 3 = 0
( x + 2 1 2 ) 2 − 6 1 4 + 3 = 0
( x + 2 1 2 ) 2 = 3 1 4 = 13 4
x + 2 1 2 = 13 4 = 1 2 13     of     x + 2 1 2 = ‐ 1 2 13
x = ‐ 2 1 2 + 1 2 13     of     x = ‐ 2 1 2 − 1 2 13

e

3 x 2 + 6 x + 9 = 0
x 2 + 2 x + 3 = 0
( x + 1 ) 2 − 1 + 3 = 0
( x + 1 ) 2 = ‐ 2
Er zijn geen oplossingen.

f

‐ 2 x 2 − 4 x = 20
‐ 2 x 2 − 4 x − 20 = 0
x 2 + 2 x + 10 = 0
( x + 1 ) 2 − 1 + 10 = 0
( x + 1 ) 2 = ‐ 9
Er zijn geen oplossingen.

g

( 2 x ) 2 = 4 x − 1
4 x 2 − 4 x + 1 = 0
x 2 − x + 1 4 = 0
( x − 1 2 ) 2 − 1 4 + 1 4 = 0
( x − 1 2 ) 2 = 0
x = 1 2

1s
2s

Als het getal p een oplossing is van a x 2 + b x + c = 0 , dan is het getal 1 p een oplossing van c x 2 + b x + a = 0 .

Voorbeeld
Het getal 3 is een oplossing van de vergelijking x 2 − 4 x + 3 = 0 . Door invullen kun je nagaan dat het getal 1 3 een oplossing is van 3 x 2 − 4 x + 1 = 0 .

Bewijs
Stel het getal p een oplossing is van a x 2 + b x + c = 0 . Dus a p 2 + b p + c = 0 .
We vullen het getal 1 p in de uitdrukking c x 2 + b x + a in.
We krijgen: c ⋅ ( 1 p ) 2 + b ⋅ 1 p + a = ( 1 p ) 2 ( c + b p + a p 2 ) .
Omdat a p 2 + b p + c = 0 geldt: c ⋅ ( 1 p ) 2 + b ⋅ 1 p + a = ( 1 p ) 2 ⋅ 0 = 0 .
Dus 1 p is een oplossing van de vergelijking c x 2 + b x + a = 0 .