De parabool met vergelijking $y=x^2$ noemen we de standaardparabool.

De parabool $y=c{(x-a)}^2+b$ (met $c\ne 0$) ontstaat uit de parabool $y=c{x}^2$ door die $a$ eenheden naar rechts en $b$ eenheden naar boven te schuiven.

De top van de parabool is $(a,b)$.

Je krijgt een dalparabool als $c>0$ en een bergparabool als $c<0$. Het getal $c$ bepaalt hoe ‘breed’ de parabool is.

De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top. Een vergelijking van de symmetrieas is: $x=a$.

De vergelijking van een parabool is: $y=c{(x-a)}^2+b$ (met $c\ne 0$), $(a,b)$ is de top en een willekeurig punt is $(x,y)$.

De top van een parabool is $(\mathrm{‐}\mathrm{1,2})$, dan $a=\mathrm{‐}1$ en $b=2$.

Hier volgt uit: $y=c{(x+1)}^2+2$.
Een punt op de parabool is $(\mathrm{3,1})$, dan $x=3$ en $y=1$.
Hier volgt uit:
$1=c{(3+1)}^2+2$
$1=16c+2$
$\mathrm{‐}1=16c$
$\mathrm{‐}\frac{1}{16}=c$
Vergelijking van de parabool: $y=\mathrm{‐}\frac{1}{16}{(x+1)}^2+2$.

De hyperbool $(x-a)(y-b)=c$ ontstaat uit de hyperbool $xy=c$ door $a$ eenheden naar rechts en $b$ eenheden omhoog te schuiven.

De vergelijking van de horizontale asymptoot is: $y=b$ en de vergelijking van de verticale asymptoot is: $x=a$.

De horizontale asymptoot van een hyperbool heeft vergelijking $y=3$.
De verticale assymptoot heeft vergelijking $x=\mathrm{‐}1$.
Hieruit volgt dat $a=\mathrm{‐}1$ en $b=3$ in de vergelijking $(x-a)(y-b)=c$.
Dus: $(x+1)(y-3)=c$.
Als je weet dat een punt van de hyperbool $(\mathrm{‐}\mathrm{2,}\mathrm{‐}1)$ is, dan is $x=\mathrm{‐}2$ en $y=\mathrm{‐}1$.
Dus: $(\mathrm{‐}2+1)(\mathrm{‐}1-3)=4=c$.

Vergelijking van de hyperbool: $(x+1)(y-3)=4$.

Of de vergelijking $a{x}^2+bx+c=0$ oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van $D=b^2-4ac$.
We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.

De vierkantsvergelijking $a{x}^2+bx+c=0$ met $a\ne 0$ heeft

• geen oplossingen als $D<0$

• één oplossing als $D=0$, namelijk: $x=\mathrm{‐}\frac{b}{2a}$

• twee oplossingen als $D>0$ namelijk:
  $x=\frac{\mathrm{‐}b+\sqrt{D}}{2a}$$$of$$$x=\frac{\mathrm{‐}b-\sqrt{D}}{2a}$

Voorbeeld:
$\mathrm{‐}3{\left(x-2\right)}^2=8x-20$
$\mathrm{‐}3x^2+12x-12=8x-20$
$\mathrm{‐}3x^2+4x+8=0$
$a=\mathrm{‐}\mathrm{3,}b=\mathrm{4,}c=8$
$D=16-4\cdot \mathrm{‐}3\cdot 8=112$
$\sqrt{D}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$
$x=\frac{\mathrm{‐}4+4\sqrt{7}}{\mathrm{‐}6}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{7}$$$of$$$x=\frac{\mathrm{‐}4-4\sqrt{7}}{\mathrm{‐}6}=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{7}$

Als een lijn één gemeenschappelijk punt met de parabool of hyperbool heeft, spreken we van een raaklijn aan de parabool of hyperbool.

Voorbeeld:
Voor welke $k$ raakt de lijn $y=x+k$ aan de parabool $y=x^2$?
$x^2=x+k\Rightarrow x^2-x-k=0$.
Raken betekent $D=0$, dus ${(\mathrm{‐}1)}^2-4\cdot 1\cdot \mathrm{‐}k=0\Rightarrow 1+4k=0\Rightarrow k=\mathrm{‐}\frac{1}{4}$.

Vergelijking raaklijn is: $y=x-\frac{1}{4}$. Raakpunt is $(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$.