1.4  Rangschikken en faculteiten >
Voorbeeld:

Vijf vriendinnen gaan naar de schouwburg. Ze hebben vijf plaatsen besproken op één rij. Op hoeveel manieren kunnen ze de plaatsen onderling verdelen?

figuur 1

Een manier van oplossen is als volgt (zie ook figuur 1).

  • Ada mag als eerste kiezen; zij heeft keuze uit vijf plaatsen.

  • Betty heeft dan nog keuze uit vier stoelen.

  • Christiane kan nog uit drie stoelen kiezen.

  • Voor Diana zijn er nog twee mogelijkheden.

  • En Ellen rest slechts één stoel.

Het aantal verschillende mogelijkheden om de plaatsen onder de vijf vriendinnen te verdelen, is verrassend groot.


keus 1 keus 2 keus 3 keus 4 geen keus 5 4 3 2 1 = 120


De rangschikking BDACE correspondeert met een pad in de boom in figuur 2.

figuur 2

De complete boom telt 5 4 3 2 1 = 120  paden.

1

Hoeveel rangschikkingen zijn er mogelijk van zes vriendinnen op één rij?

2

In een klas zitten 12  jongens. Die hebben twee keer per week gymnastiek. Voordat het warmlopen begint, zet de leraar ze op een rijtje, iedere les in een andere volgorde.

Kan hij dat een jaar volhouden zonder herhalingen?

We bekijken nogmaals het voorbeeld van de vijf vriendinnen die naar de schouwburg gaan. De vriendinnen kunnen op verrassend veel manieren onderling de zitplaatsen verdelen. Een mogelijke rangschikking is BDACE. Zo’n rijtje-van-vijf waarbij de volgorde van belang is, noem je een permutatie. Het aantal permutaties (of rangschikkingen) van de vijf vriendinnen is 5 4 3 2 1 = 120 .

3
a

Hoe groot is, denk je, 10 9 8 7 ... 2 1 ongeveer?

b

En 1 2 3 4 ... 9 10 ?

Vijf vriendinnen (maar ook: letters, cijfers, kleuren, ...) kun je op 5 4 3 2 1 = 120 manieren in volgorde zetten.
Voor het product 5 4 3 2 1 bestaat een afkorting: 5 ! .
Dit spreek je uit als 5  faculteit. (Het uitroepteken is hier dus een nieuw rekensymbool en heeft niets met opwinding te maken.)
Er geldt 5 ! = 5 4 3 2 1 = 120 .


Hieronder staan de uitkomsten van x ! voor x = 1,2,...,10 .

1 ! = 1

6 ! = 720

2 ! = 2

7 ! = 5040

3 ! = 6

8 ! = 40.320

4 ! = 24

9 ! = 362.880

5 ! = 120

10 ! = 3.628.800


Je kunt hieruit zien hoe duizelingwekkend snel de faculteitsgetallen groeien.

4

Als je achter de uitkomst van 9 ! een nul zet, krijg je de uitkomst van 10 ! .

Is dat logisch?

Steeds als je een aantal verschillende elementen moet rangschikken (op een rij moet zetten), kun je op je rekenmachine de knop x ! gebruiken.

5

Ebbe berekent 12 ! met zijn rekenmachine. Op het scherm verschijnt de uitkomst: 4,79 E 08 .
Dat betekent: 4,79 maal 10 8 ofwel 479.000.000 .
Deze uitkomst is niet helemaal precies.

Bereken de precieze uitkomst van 12 ! uitgaande van 10 ! in het lijstje van faculteitsgetallen.

6
a

Bereken op je rekenmachine 15 ! gedeeld door 14 ! . Is de uitkomst precies?

b

Hoe kun je zonder rekenmachine 25 ! gedeeld door 23 ! berekenen?

7

Vul de juiste faculteiten in.

a

12 11 10 9 8 = 12 ! : ...

b

41 40 39 38 37 36 = ... : ...

Samenvattend:

Een rangschikking van elementen noemen we een permutatie.
n elementen laten zich op n ! manieren rangschikken.

8

Nogmaals de 12  jongens van de gymnastiekles, die zich steeds in een ander rijtje moeten opstellen.
Veronderstel dat ze alle mogelijkheden achter elkaar willen uitproberen. Voor iedere nieuwe opstelling is een halve minuut nodig. Om gezondheidsredenen mogen ze niet langer dan acht uur per dag doorgaan.

Hoeveel tijd hebben ze nodig om alle opstellingen te maken?

9

Een voetbaltrainer kan bijna 40  miljoen opstellingen maken met zijn elf basisspelers.

Geef commentaar op deze bewering.