In dit hoofdstuk heb je heel wat geleerd over het tellen van aantallen mogelijkheden. We vatten de drie basis telmethoden nog eens samen. Bij veel telproblemen moet je verschillende telmethoden combineren om tot een oplossing te komen.

Rangschikken zonder herhalingen

Aan een wedstrijd doen vier deelnemers mee (zeg: A, B, C en D). De deelnemers kunnen in verschillende volgorden de finish passeren. Eén mogelijke einduitslag is BCAD. Zo’n rijtje-van-vier waarbij de volgorde van belang is, noem je een permutatie (of een rangschikking zonder herhaling). Het aantal mogelijke einduitslagen (permutaties) kun je op verschillende manieren vinden.

  • Door de mogelijkheden systematisch uit te schrijven.

  • Door een boomdiagram te tekenen.


Vier deelnemers (maar ook: letters, cijfers, kleuren, ...) kun je op 4 3 2 1 = 24  manieren in volgorde zetten.
Voor het product 4 3 2 1 bestaat een afkorting: 4 ! .
Dit spreek je uit als 4  faculteit.
Er geldt: 4 ! = 4 3 2 1 = 24 .

4 ! kun je ook met de optie x ! op je rekenmachine berekenen.


We bekijken ook nog een wedstrijd waar 7 deelnemers aan meedoen (zeg: A, B, C, D, E, F en G). Het aantal mogelijke erepodia (zoals BCA, ACB, FAD en FGE) is:
7 6 5 = 7 ! : 4 ! = 210 .

Rangschikken met herhalingen

Een meerkeuzetoets bestaat uit 5  vragen. Bij iedere vraag staan drie antwoorden, waarvan er één moet worden aangekruist. Er is altijd maar één antwoord goed. We vragen ons af op hoeveel manieren je de toets kunt maken.

Dit telprobleem kun je oplossen door een wegendiagram te tekenen.

Het aantal mogelijkheden (of het aantal rangschikkingen met herhaling) is 3 5 = 243 .

Combinaties

We bekijken drie telproblemen:

  • alle rijtjes van lengte 7 met 3  enen en 4  nullen;

  • alle kortste routes van ( 0,0 ) naar ( 4,3 ) ;

  • alle selecties (of combinaties) van 3  dingen uit 7 verschillende dingen. (Bij een combinatie letten we niet op de volgorde.)

Hiernaast zie je van elk van de drie telproblemen een mogelijke uitkomst.

Er zijn evenveel rijtjes als routes als selecties. Immers, je kunt bij alle drie de telproblemen een rijtje maken, bijvoorbeeld:

  • 0100011

  • RBRRRBB

  • - B - - - F G

Deze rijtjes komen op hetzelfde neer.
Het aantal routes van ( 0,0 ) naar ( 4,3 ) noteren we met het combinatiegetal ( 7 3 ) .
Dus ( 7 3 ) = ...

... het aantal 0 - 1 -rijtjes van lengte 7 met 3  enen,
... het aantal routes van lengte 7 met 3  stappen naar boven,
... het aantal combinaties van 3   elementen uit 7 .