Hoofdstukken > Verhoudingen en grafieken

Evenredig

Om een pannenkoek van $100$ gram te maken moet je bloem en melk gebruiken in de gewichtsverhouding $3 : 5$ .
Anne gaat zes van deze pannenkoeken maken.

Hoeveel bloem en hoeveel melk heeft ze daarvoor nodig?

Bekijk het nu algemener en noem het aantal pannenkoeken dat Anne gaat maken $n$ .

Druk de hoeveelheid bloem en de hoeveelheid melk die Anne voor $n$ pannenkoeken nodig heeft uit in $n$ .

Maak een tabel en teken de grafiek.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$
hoeveelheid bloem
hoeveelheid melk

Anne koopt tomaten op de markt. $3$ tomaten kosten $10$ eurocent. Noem het aantal tomaten $q$ en hun prijs in centen $p$ .

Maak een tabel voor $p$ en $q$ .

$p$
$q$

Geef een formule voor het verband tussen $p$ en $q$ .

Hoe ziet de grafiek van het verband eruit?

We zeggen dat $p$ en $q$ evenredig zijn. Dat betekent:

als $p$ twee keer zo groot wordt, wordt $q$ ook twee keer zo groot,
als $p$ drie keer zo groot wordt, wordt $q$ ook drie keer zo groot,
als $p$ zeven keer zo groot wordt, wordt $q$ ook zeven keer zo groot,

enzovoort.

Twee andere variabelen $s$ en $t$ zijn ook evenredig. Hieronder staat de tabel gedeeltelijk ingevuld.

Vul de tabel verder in.

$s$	$8$	$1$	$7$
$t$	$24$			$120$

Geef een formule voor het verband tussen $s$ en $t$ .

Tussen $A$ en $B$ bestaat een evenredig verband. Stel dat je weet: als $A = 4$ , dan $B = 11$ .

Weet je dan ook wat $B$ is als $A = 12$ ? En als $A = 0,4$ ?

Geef een formule van het verband tussen $A$ en $B$ .
Teken ook een grafiek van dit verband.

Hoe ziet in het algemeen de grafiek eruit van het verband tussen twee evenredige grootheden?

Hoe ziet in het algemeen de formule eruit van het verband tussen twee evenredige grootheden?

We bekijken in vier gevallen het verband tussen twee grootheden. Daar moet je drie dingen mee doen:

een tabel maken,
een formule maken; kies zelf passende letters voor de grootheden,
zeggen of er sprake is van een evenredig verband.

De btw op kantoormeubelen bedraagt $21 %$ . We bekijken de twee grootheden: de prijs zonder btw en de prijs met btw.

Bij een vierkant bekijken we de twee grootheden: de zijde van het vierkant en de omtrek (beide in cm).

Bij een vierkant bekijken we de twee grootheden: de zijde van het vierkant (in cm) en de oppervlakte (in cm²).

Een zeker proefwerk bestaat uit $12$ vragen. Een antwoord is of goed of fout. Elke fout kost $\frac{3}{4}$ punt. We bekijken de twee grootheden: het aantal goede antwoorden en het cijfer.

Evenredig verband

Als er een evenredig verband is tussen $A$ en $B$ ,

dan geldt: $B = ... \cdot A$ en $A = ... \cdot B$ ,
dan is de grafiek een rechte lijn, die door de oorsprong gaat.

Evenredig betekent letterlijk in gelijke verhouding. In andere westerse talen spreekt men van proportional (eng), proportionelle (fra) en proportional (dui).

Elke woningbezitter van een dorp of stad moet onroerendezaakbelasting betalen. Die belasting betaalt hij voor het huis waarin hij woont en voor het stuk grond waarop dat huis staat. Hoeveel iemand moet betalen, hangt af van de economische waarde van het pand waarin hij woont. Voor de gemeente is de onroerendezaakbelasting een belangrijke bron van inkomsten.
In Nijmegen is het tarief voor de onroerendezaakbelasting een vast bedrag voor elke volle $€ 2500, -$ van de waarde van het pand; in 2007 was dat bedrag $€ 4,44$ .

Ga na dat een Nijmegenaar die een pand bezit dat $€ 239.000, -$ waard is, een bedrag van $€ 421,80$ aan onroerendezaakbelasting moet betalen.

Dit bedrag wordt dan afgerond op $€ 421, -$ .

Bij welke andere waarde van het pand moet de bewoner ook $€ 421, -$ betalen. De waarde van een pand wordt afgerond op duizenden euro's.

Hoeveel onroerendezaakbelasting moet betaald worden als het pand $€ 312.000, -$ waard is?

Bij welke andere waarden moet evenveel betaald worden?

De waarde van het pand noemen we $W$ (in euro’s). Om de bijbehorende onroerendezaakbelasting $B$ (in euro’s) te berekenen, moet je vier dingen doen met $W$ :
$W$ $\to$ $[DELEN DOOR ...]$ $\to$ $[AFRONDEN NAAR BENEDEN]$ $\to$ $[MAAL ...]$ $\to$ $[AFRONDEN NAAR BENEDEN]$ $\to$ $B$

Welke zijn de twee ontbrekende getallen?

Teken de grafiek voor $W$ tussen $150.000$ en $160.000$ euro.

Voor een bepaald pand is de onroerendezaakbelasting $€ 630, -$ .

Wat is de waarde van dat pand?

Evenredig in de praktijk

In het dagelijks leven heb je voortdurend te maken met evenredige grootheden, waarschijnlijk zonder dat je je dat realiseert. Maar het is ook weer niet zo dat je uitsluitend te maken hebt met evenredige grootheden.

Zeg in elk onderdeel of de twee genoemde grootheden evenredig zijn. Misschien is het in een onderdeel minder duidelijk of de genoemde grootheden evenredig zijn en moet je informatie opzoeken.

Het gewicht van een pasgeboren kind wordt nauwkeurig bijgehouden. De grootheden zijn het gewicht van de baby in gram en zijn leeftijd in weken.

Anne weegt bij Albert Heijn een aantal tomaten af. Behalve het gewicht wordt ook de prijs op een etiket gedrukt. De grootheden zijn: gewicht (in kg) en de prijs (in euro’s).

Als het harder waait levert een windmolen meer energie. De grootheden zijn: de geleverde energie per uur (kW) en de windsnelheid (in m/s).

Voor mijn vakantie in de VS wissel ik een aantal euro’s om in dollars. De grootheden zijn de aantallen euro’s en dollars.

Als je aan een spiraalveer (unster) een hoeveelheid van een product hangt, wordt de veer uitgerekt. De grootheden zijn: de uitrekking (in cm) en de hoeveelheid (in kg) dat aan de veer wordt gehangen.

De wereldrecordtijd over een langere afstand schaatsen is natuurlijk hoger dan over een kortere afstand. De grootheden zijn de schaatsafstand (in meter) en de wereldrecordtijd (in seconde).

Als een auto een noodstop moet maken, remt de automobilist uit alle macht. De grootheden zijn: de rijsnelheid (in km/uur) en de remweg (in meter), dat is het aantal meter dat hij nog aflegt voordat hij stilstaat.

Hoe verder je reist, hoe duurder het treinkaartje. De grootheden zijn: de te reizen afstand met de NS (in km) en de prijs van het kaartje (in euro’s).

Een patiënt krijgt een drankje toegediend met een zekere werkzame stof. De grootheden zijn: de hoeveelheid die de patiënt krijgt toegediend (in ml) en de hoeveelheid werkzame stof die de patiënt binnenkrijgt (in g).

Evenredig en lengte

Anne heeft twee Perzische tapijten, een groot en een klein. Ze zijn gelijkvormig: de lengte en breedte van het grote tapijt zijn $1,5$ keer zo groot als die van het kleine tapijt.
Ter versteviging is aan de onderkant van beide tapijten de rand afgezet met keperband.
Voor het grote tapijt is natuurlijk meer keperband gebruikt dan voor het kleine.

Hoeveel keer zoveel?

De omtrek van het kleine tapijt noemen we $x$ en de omtrek van het grote tapijt noemen we $y$ .

Geef een formule waarin je $y$ uitdrukt in $x$ .

Er is een evenredig verband tussen $x$ en $y$ .

In het algemeen:

$y$ is evenredig met $x$ als er een getal $c$ is zó, dat $y = c x$ .
$c$ heet evenredigheidsconstante. In het voorbeeld hierboven is $c = 1,5$ .
De grafiek van een evenredig verband is een rechte lijn, die door de oorsprong gaat.
Er is een vaste verhouding van twee bij elkaar horende waarden $x$ en $y$ .

Alle vierkanten zijn gelijkvormig.

Is de omtrek van een vierkant evenredig met de zijde?
Wat is de evenredigheidsconstante?
Is de diagonaal van een vierkant evenredig met de zijde? Wat is de evenredigheidsconstante?

Er zijn vier routes van A naar B. Elke route bestaat uit stukjes van gelijke lengte, die rechte hoeken met elkaar maken.

Welke route is het langst?

Alle cirkels zijn gelijkvormig.

Is de omtrek van een cirkel evenredig met de diameter? Wat is de evenredigheidsconstante?

De vormen bestaan alle vier uit halve cirkels.

Welke vorm heeft de grootste omtrek?