Hoofdstukken > Verhoudingen en grafieken

Procenten

$66 %$ van de Nederlandse havo5-leerlingen deed in 2010 examen in het vak wiskunde A.

De Modaalschool telde toen $125$ leerlingen in havo5.

Hoeveel leerlingen ongeveer verwacht je dat er op de Modaalschool examen wiskunde A deden in 2010?

Er waren in Nederland ongeveer $58$ duizend examenkandidaten in 2010.

Hoeveel deden er toen examen wiskunde A?

Onthoud: $1 %$ = $1$ procent = $1$ per $100$

Als $1 %$ van de mensen een bepaalde eigenschap heeft, heeft van elke $100$ mensen er gemiddeld $1$ die eigenschap.
Als $2 %$ van de mensen die eigenschap heeft, hebben van elke $100$ mensen er gemiddeld $2$ die eigenschap.
Als $66 %$ van de mensen die eigenschap heeft, hebben van elke $100$ mensen er gemiddeld $66$ die eigenschap.

Van de kinderen die in Nederland geboren worden is $51 %$ een jongetje.
In Nederland werden er in 2010 $182$ duizend kinderen geboren.

Hoeveel jongetjes en hoeveel meisjes?

In Nederland eindigt $20 %$ van de wedstrijd in de eredivisie voetbal in een gelijkspel.
Er worden per seizoen $306$ wedstrijden gepeeld in de eredivisie.

Hoeveel eindigen er in een gelijkspel?

Het Nederlandse wagenpark telt $8$ miljoen auto’s waarvan er $80 %$ op benzine rijden.

Hoeveel zijn er dat?

Dat $51 %$ van de geboortes een jongetje is, geldt voor heel Nederland. Zeg dat er in een zekere Nederlandse gemeente $n$ kinderen worden geboren in een jaar.

Hoe vind je dan het aantal jongetjes dat in die gemeente jaarlijks wordt geboren?

Is het aantal jongetjes dat in een gemeente wordt geboren evenredig met het totaal aantal geboortes? Wat is de evenredigheidsconstante?

Relatieve en absolute veranderingen

Deskundigen voorspellen dat de Nederlandse bevolking tussen 2000 en 2040 zal toenemen van $16,0$ tot $17,7$ miljoen. Dat is met $10,625$ procent. Het absolute aantal dat de bevolking groeit is $1,7$ miljoen. De $10,625 %$ is een relatief aantal: de toename wordt vergeleken met het oorspronkelijke aantal van $16$ miljoen.
“Tweederde van alle afgestudeerden van een bepaalde opleiding vindt binnen $3$ maanden een baan.” De “tweederde” is hier een relatief aantal. We weten nu niet het absolute aantal afgestudeerden dat binnen $3$ maanden een baan vindt.

Bij relatieve aantallen wordt gekeken naar een deel van het totaal; meestal aangegeven in procenten, maar soms kan ook genoemd worden welk deel van het geheel het is (bijvoorbeeld de helft of één-achtste deel).

Niet iedereen heeft het rekenen met procenten op dezelfde manier gehad. Je kunt je eigen methode trouw blijven, maar bekijk de volgende methoden toch goed. Misschien doe je nieuwe, handige ideeën op. We bekijken de methoden aan de hand van drie vraagstukken.

Vraagstuk 1
In 2006 was in Nederland $24 %$ van de $16,3$ miljoen inwoners $20$ jaar of jonger. Hoeveel jongeren waren er in 2006?

Methode A: via $1 %$
$100 % = 16,3$ miljoen
$24 % = ?$
$1 % = 0,163$ miljoen
$24 % = 24 \cdot 0,163$ miljoen $\approx 3,9$ miljoen
Methode B: met een vermenigvuldiging (factor)
$24 %$ van $16,3$ miljoen betekent $24$ honderdste van $16,3$ miljoen.
$24 : 100 \cdot 16,3$ miljoen $\approx 3,9$ miljoen

Vraagstuk 2
De reclamebestedingen zijn gestegen van $2,65$ miljard naar $3,02$ miljard.
Met hoeveel procent zijn de bestedingen gestegen?

Methode A: via $1 %$
$100 % = 2,65$ miljard
$? % = 3,02$ miljard
$1 % = 0,0265$ miljard
$? = 3,02 : 0,0265 = 114$ , het percentage gaat van $100$ naar $114$ , dus de stijging is $14 %$ .
Methode B: met een vermenigvuldiging (factor)
$3,02 : 2,65 \cdot 100 % = 114 %$ , het percentage gaat van $100$ naar $114$ , dus de stijging is $14 %$ .

Vraagstuk 3
$227$ leerlingen slaagden voor het eindexamen; dat was $87 %$ van alle leerlingen. Hoeveel leerlingen deden mee aan het examen?

Methode A: via $1 %$
$100 % = ?$
$87 % = 227$
$1 % = 2,609$
$100 % = 100 \cdot 2,609 = 261$ leerlingen (afronden)
Methode B: met een vermenigvuldiging
$100 : 87 \cdot 227 = 261$ leerlingen (afronden)

Opmerking:

Methode B, dus met een vermenigvuldiging (of factor) heeft de voorkeur, want dat helpt straks wanneer de problemen complexer worden en ook bijbehorende formules gemaakt moeten worden. Methode A is vooral geschikt voor de onderbouw en de basisschool.

Het aantal dierproeven is in 2005 met $3,2 %$ gedaald ten opzichte van het jaar daarvoor. Het totale aantal dierproeven in 2005 bedroeg $633.155$ .

Hoeveel dierproeven waren er in 2004?

Een stad had in het jaar 2000 $74.540$ inwoners. In 2005 was het aantal inwoners gestegen naar $83.900$ .

Met hoeveel procent is de bevolking toegenomen?

In een andere stad was in de periode 2000-2005 het aantal inwoners met $12 %$ toegenomen. Aan het eind van die periode waren er $54.500$ inwoners.

Hoeveel waren er aan het begin van die periode?

Een winkelier verhoogt zijn prijzen met $10 %$ .

Leg uit dat als hij hierna deze prijzen weer met $10 %$ verlaagt, hij niet uitkomt op de oorspronkelijke prijs.

Met hoeveel procent moet hij de nieuwe prijzen verlagen om wel weer op de oude prijzen uit te komen?

Wat gebeurt er met de prijzen als hij ze eerst met $10 %$ verlaagt en daarna de nieuwe prijzen met $10 %$ verhoogt?

Gevonden dode vogels worden naar een instituut gebracht om te onderzoeken of ze misschien vergiftigd waren. Dat blijkt nogal eens voor te komen, zoals de tabel laat zien.

	onderzocht	vergiftigd	percentage vergiftigd
wilde ganzen	$190$	$99$	$52,1$
tamme ganzen	$45$	$32$	$71,1$
wilde zwanen	$42$		$16,7$
knobbelzwanen	$156$	$4$	$2,6$
wilde-eendensoorten	$399$	$129$	$32,3$
bastaardeenden	$627$	$185$	$29,5$
roofvogels (aaseters)	$1442$	$433$	$30,0$
wilde hoenders	$59$	$41$	$69,5$
tamme hoenders	$74$	$47$	$63,5$
bleshoenders	$467$	$58$	$12,4$
meeuwen	$3246$	$113$
wilde duiven	$358$	$129$	$36,0$
postduiven	$427$	$323$	$75,6$
stadsduiven	$258$	$139$	$53,9$
lijsterachtigen		$41$	$10,7$
kleine zaadeters	$522$	$201$	$38,5$

Er zijn drie open plekken in de tabel. Bereken de ontbrekende getallen.

Bij welke vier soorten zijn absoluut gezien de meeste vergiftigde vogels gevonden?

Bij welke vier soorten zijn relatief gezien de meeste vergiftigde vogels gevonden?

$40 %$ van de Nederlandse mannen boven 18 jaar en $15 %$ van de Nederlandse vrouwen boven 18 jaar hebben een fulltime baan.
Anneke redeneert dat dan $55 %$ van de totale Nederlandse bevolking een fulltime baan heeft. Barry denkt dat het $27,5 %$ moet zijn.

Geef commentaar: heeft een van beiden gelijk, of geen van beiden?

Er wordt tegenwoordig vaak gesproken over de vergrijzing van de bevolking en de gevolgen daarvan voor de oudedagvoorzieningen. Hieronder zie je een gedeelte van een artikel over die vergrijzing.

De samenstelling van de Nederlandse bevolking is aan veranderingen onderhevig. Momenteel staat één aspect van die veranderingen, de vergrijzing, al volop in de belangstelling. Immers het aantal ouderen, de mensen die de - overigens willekeurig gekozen - leeftijdsgrens van 65 jaar gepasseerd zijn, zal volgens het Sociaal en Cultureel Planbureau de komende decennia sterk toenemen.
Bedroeg het percentage 65+ers in 1980 nog $\underline{11 %}$ van de bevolking, in 2000 is dat percentage opgelopen tot $\underline{15 %}$ . In absolute termen gesproken betekent dit een toename van het aantal ouderen met $\underline{834.000}$ . In de periode 2000-2030 komen er nog eens $\underline{1,84}$ miljoen ouderen bij. Het aantal 65+ers neemt dus toe.

Probeer uit de tabel hieronder de vier onderstreepte getallen in het artikel af te leiden.