3.9  Gemengde opgaven >
1

Bekijk de onderstaande figuren over het weer in de maand juli.

In de rechter figuur is bijvoorbeeld af te lezen dat op 1 juli de zon 10  uur scheen, terwijl de daglengte 16,8  uur was.

a

Op welke dag was de spreidingsbreedte van de temperatuur het grootst? Aflezen uit de eerste figuur.

Zonder berekeningen met T gem kan er toch een schatting van de gemiddelde temperatuur over de hele maand juli gemaakt worden.

b

Leg uit hoe je dat met de eerste figuur kunt doen en geef deze schatting.

c

Is T gem het gemiddelde van T min en T max ?

Er waren dagen in juli waarop de zon weinig scheen (minder dan 5  uur) en het toch warm was (maximumtemperatuur meer dan 20 ° C ).

d

Geef een voorbeeld van zo'n dag.

Bij de tweede figuur kan een cumulatief frequentiepolygoon gemaakt worden.

e

Geef voor de eerste vier dagen aan hoe dat moet en vertel wat er verticaal precies af te lezen valt bij dit cumulatief frequentiepolygoon.

2

Om roofvogels in een gebied te bestuderen, worden tellingen uitgevoerd. Vaak deelt men het gebied in stukken en telt men in elk van de stukken hoeveel roofvogels er voorkomen. Bij deze opgave gaan we ervan uit dat er twaalf stukken zijn waar de vogels geteld worden. Hiernaast zie je de resultaten van deze tellingen. Zo kun je aflezen dat in stuk A3 27  roofvogels geteld zijn. Zoals je ziet varieert het aantal roofvogels per stuk nogal sterk.

a

Maak een boxplot bij deze telling van het aantal roofvogels.

De boxplot bij een eerdere telling van het aantal roofvogels in het gebied is:

Hieruit kun je niet aflezen hoeveel roofvogels er in totaal in het gebied waren geteld.

b

Wat is grootst mogelijke aantal roofvogels dat geteld kan zijn? Toelichten.

De stukken zijn alle twaalf 100 bij 100  meter. Ze zijn een steekproef uit een veel groter gebied, met een oppervlakte van 100  km2.

c

Maak op grond van de gegeven telling een schatting van het totaal aantal roofvogels in dit totale gebied. Neem aan dat de steekproef een representatief beeld geeft van het totale gebied.

3
Alfred Binet (1857 - 1911)

Alfred Binet ontwierp aan het begin van deze eeuw tests om de intelligentie van kinderen vast te leggen in een getal, het intelligentiequotiënt ( IQ ). Later zijn deze tests door anderen uitgebreid en verbeterd.
Het IQ wordt berekend met de formule: IQ = M L W L 100 , afgerond op een geheel getal.
W L is de werkelijke leeftijd en M L is de mentale leeftijd.
Om je mentale leeftijd M L te bepalen, begin je met een test die hoort bij je eigen leeftijd. Als je die goed maakt, krijg je een serie steeds hogere tests voorgezet, net zo lang tot je een test niet meer haalt. Je mentale leeftijd is dan je werkelijke leeftijd vermeerderd met telkens 2 maanden voor elke goed gemaakte hogere test.
Een voorbeeld: een jongen van 10 jaar en 4 maanden (werkelijke leeftijd is dus W L = 10 + 4 12 ) maakt de test van zijn eigen leeftijd goed en nog 8 hogere tests. Voor het berekenen van zijn mentale leeftijd wordt zijn leeftijd dus met 8 2  maanden = 16  maanden verhoogd en er geldt dus voor hem: M L = 10 + 4 12 + 16 12 = 11 + 8 12 .
Zijn IQ is dan 11 + 8 12 10 + 4 12 100 en dat is afgerond 113 .
Als je de test voor je eigen leeftijd niet goed maakt, krijg je steeds lagere tests voorgelegd, net zo lang tot je er een goed maakt. Voor elke lagere test die je niet goed maakt, gaat er dan 2  maanden van je mentale leeftijd af.

Een meisje van precies 12  jaar blijkt, behalve de test van haar eigen leeftijd, ook nog 21  hogere tests goed te maken.

a

Bereken haar IQ .

Het is mogelijk dat twee kinderen, behalve de test voor hun eigen leeftijd, ook nog precies 10  hogere tests goed maken, maar een verschillend IQ hebben.

b

Geef hiervan een rekenvoorbeeld.

Op een school wordt van alle havo-4 leerlingen het IQ bepaald. De gegevens worden verwerkt in een frequentietabel. Uit deze tabel lees je bijvoorbeeld af dat 10 van deze havo-4-leerlingen een IQ hebben dat groter dan of gelijk aan 80 is en dat kleiner dan 90 is.

c

Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking van het IQ van deze HAVO-4-leerlingen. Gebruik de klassenmiddens (dus: IQ = 85 voor de eerste klasse, enz.).

Van alle leerlingen van dezelfde school is het IQ bepaald. Het resultaat is in een boxplot verwerkt.

d

Is het mogelijk op grond van de boxplot van de hele school en de tabel van de havo-4-leerlingen te weten of het gemiddelde IQ van de havo-4-leerlingen groter of kleiner is dan dat van de hele school? Geef duidelijke uitleg.

Men kan ook op een andere manier deze twee groepen vergelijken. Daartoe kijkt men naar de 'middengroep' van de havo-4 leerlingen en de 'middengroep' van de hele school. Met de 'middengroep' bedoelen we de leerlingen die niet horen bij de 25 % leerlingen met het hoogste IQ en ook niet bij de 25 % met het laagste IQ .

e

Maak een cumulatief frequentiepolygoon voor havo-4 en gebruik dit om de 'middengroep' van havo-4 te bepalen.

f

Vergelijk de middengroepen van havo-4 en van de hele school. Wat is je conclusie?

4

Bekijk het histogram hieronder.

Een histogram maak je als je iets gemeten en/of geteld hebt

a

Wat zou hier gemeten of geteld kunnen zijn? Een voorbeeld met een korte uitleg is voldoende.

Boven de staven staan de precieze frequenties. Gebruik die frequenties voor je berekeningen.

b

Bereken het gemiddelde.

c

Bereken de standaarddeviatie.

Bij de horizontale as zie je drie pijltjes staan: 1, 2 en 3. De pijltjes geven de waarden van de centrummaten aan

d

Welk pijltje wijst het gemiddelde aan, welk pijltje wijst de mediaan aan en welk pijltje wijst de modus aan?

Van de metingen is ook een boxplot gemaakt. Hieronder zie je vier mogelijkheden.

e

Welk van de vier boxplots past het beste bij dit histogram? Toelichten.

5

Mensen verplaatsen zich van de ene naar de andere plaats, vanwege werk, boodschappen, enz. In 1984 heeft het Centraal Bureau voor de Statistiek onderzoek gedaan naar die verplaatsingen. Daarbij werd zowel op de afstand als op de vervoerswijze gelet.
In onderstaande tabel staan resultaten van dat onderzoek. Hierin zijn de afstanden in klassen ingedeeld. In de tabel is bijvoorbeeld te zien dat van de 97  verplaatsingen in de categorie 'Autobestuurder' er 19 waren met een afstand tussen 1 en 2,5  km.

Stel dat in de categorieën 'Fietsen' en 'Lopen' de waarnemingen binnen elke klasse gelijkmatig zijn verdeeld.

Hieronder zie je vier boxplots A, B, C en D.

a

Welke van deze vier boxplots past het best bij de categorie 'Lopen'? Licht je antwoord toe.

b

In welke klasse ligt de mediaan van de categorie 'Lopen'?

Bekijk nu de categorie 'Fietsen'. We nummeren de fietsers, oplopend van de kleinste fietsafstand (nr. 1) naar de grootste fietsafstand (nr. 91).

c

Welk nummer krijgt de fietser die de mediaan-fietsafstand heeft?

Deze mediaan kan vrij nauwkeurig worden berekend. In de tabel valt af te lezen dat 5 + 14 = 19  fietsers minder dan 1  km hebben gereden en 5 + 14 + 37 = 56  fietsers minder dan 2,5  km. We nemen aan:

  • fietser nummer 20 heeft 1  km gefietst,

  • fietser nummer 57 heeft 2,5  km gefietst.

Hieronder zijn de fietsers en hun afstand in een grafiek weergegeven. Gemakshalve is niet voor elke fietser afzonderlijk een punt getekend, maar is een lijn getrokken.

d

Bereken met behulp van de grafiek de mediaan van de fietsafstanden.

Het principe dat je nu hebt toegepast, noemen we lineair interpoleren.


Als gegevens in klassen zijn ingedeeld, kan het gemiddelde niet precies worden berekend. Meestal gebruikt men de klassenmiddens om een schatting van het gemiddelde te berekenen. Als in de tabel de waarnemingen gelijkmatig binnen hun klassen zijn verdeeld, zal de echte gemiddelde afstand gelijk zijn aan die schatting. Liggen de waarnemingen echter voornamelijk links in hun klasse, dus aan het begin van elke klasse, dan zal de echte gemiddelde afstand kleiner zijn dan die schatting.

e

Bereken de kleinste waarde van de echte gemiddelde afstand voor de categorie 'Autobestuurders' die mogelijk is. Licht je werkwijze toe.

6

In de gezondheidszorg staan veel mensen op een wachtlijst, bijvoorbeeld voor een behandeling in een ziekenhuis of voor een plaats in een verzorgingshuis.
De regering wil dat minder mensen op een wachtlijst staan. Ook wil men dat mensen die op een wachtlijst staan, minder lang hoeven te wachten.
Voor alle specialismen, waaronder neurochirurgie en orthopedie, heeft men de wachtlijsten in kaart gebracht. Men heeft bekeken hoeveel mensen op een wachtlijst staan en hoelang ze moeten wachten.
In figuur 1 staat een weergave van de wachttijd bij neurochirurgie en bij orthopedie.

In deze figuur kun je bijvoorbeeld over de wachtenden op een behandeling bij neurochirurgie aflezen:

  • bijna 40 % van de mensen is binnen 4  weken aan de beurt,

  • meer dan 25 % moet 26  weken of langer wachten.

a

Hoeveel procent van de wachtenden bij neurochirurgie moet tussen de 4 en de 10  weken wachten? Licht je antwoord toe.

Bij neurochirurgie is de gemiddelde wachttijd 17  weken. Bij orthopedie is de gemiddelde wachttijd korter. Met behulp van de klassenmiddens van de klassen A tot en met I van orthopedie kan dat gemiddelde worden geschat.

b

Bereken met behulp van de klassenmiddens de gemiddelde wachttijd bij orthopedie. Geef je antwoord in gehele weken.

Aan de hand van figuur 1 kun je met behulp van lineaire interpolatie een schatting geven van het derde kwartiel van de wachttijd bij neurochirurgie.

c

Bereken op deze manier dit derde kwartiel. Geef je antwoord in gehele weken.

In figuur 2 zijn vier (gladgestreken) cumulatieve frequentiepolygonen (I, II, III en IV) voor de eerste 12  weken getekend.

d

Welke van deze vier cumulatieve frequentiepolygonen past het best bij de wachttijden tot 12  weken bij neurochirurgie uit figuur 1? Licht je antwoord toe.