4.1  Lineaire verbanden >
interpoleren
1

De hoogte van een boom hangt af van zijn leeftijd. In de tabel staat hoe hoog een fijnspar (alias de kerstboom) gemiddeld is op verschillende leeftijden.

leeftijd (jaar)

10

20

30

40

50

60

hoogte (meter)

5

10,5

16

20,5

24,5

28

In een bos zijn de meeste bomen langer dan 20  meter.

a

Hoe lang is het minstens geleden dat ze werden geplant?

b

Hoe hoog is een fijnspar van 45  jaar ongeveer?
En van 22  jaar?

In een ander bos is er een aantal jaren na de eerste aanplant een tweede gevolgd. Het hoogteverschil tussen de bomen in de eerste en in de tweede aanplant is nu ongeveer 9 meter.

c

Kun je hieruit de leeftijd van de bomen afleiden?
Hoe groot is het leeftijdsverschil ongeveer?

Omdat de groei van de fijnspar geleidelijk verloopt, kun je van de groei een doorlopende grafiek schetsen.

d

Doe dat; zet de leeftijd af op de horizontale as en de hoogte op de verticale as.

e

Bedenk een vuistregel om de hoogte ongeveer te bepalen als je de leeftijd van een fijnspar kent.

2

Hieronder zie je de groei van de eik, berk, beuk en populier in één figuur.

a

Wat is het opvallende verschil in groei tussen de populier en de beuk?

b

Hoort de eik wat type groei betreft bij de populier of bij de beuk?

We kijken verder naar de populier. Nu je de grafiek van zijn groei kent, weet je voor elke leeftijd hoe hoog een populier (gemiddeld) is. Maar stel nu eens dat je alleen een tabel had met de hoogte bij drie leeftijden (gespiekt uit de grafiek): L = leeftijd, H = hoogte.

L (jaar)

10

15

20

25

30

H (meter)

14,5

 

24

 

29,5

Op grond van deze tabel schat Anneke de hoogte van een populier van 15  jaar op 19,25  meter en van 25  jaar op 26,75  meter.

c

Hoe heeft Anneke deze hoogtes gevonden?

d

Ga in de grafiek na of deze hoogtes ongeveer kloppen.

Het is niet goed mogelijk om de hoogte van een populier van 80  jaar te schatten. Dat wordt meer gokwerk.

e

Maak toch een zo goed mogelijke schatting van deze hoogte.

3

Niet alleen de hoogte hangt af van de leeftijd, maar ook de dikte. In de bosbouw bepaalt men de dikte (dat is de diameter) van een boomstam op een hoogte van 1,3  meter. Dat gaat het eenvoudigst door de omtrek te bepalen en die te delen door 3,14 .

diameter = omtrek 3,14

Voor een populier is het verband tussen leeftijd en dikte in onderstaande tabel gegeven.

leeftijd (jaar)

10

20

30

40

50

60

diameter (cm)

16

30

43

55

66

76

a

Hoe groot is de omtrek op 1,3  meter hoogte van een 50 -jarige populier?

Iemand is geïnteresseerd in de hoogte van de populier, maar heeft geen zin de boom in te klimmen. Dat hoeft ook niet, want het antwoord kan op de hoogte van 1,3  m gevonden worden. Op die hoogte blijkt de omtrek 160  cm te zijn.

b

Hoe hoog is de boom ongeveer? (Gebruik ook de gegevens uit de vorige opgaven.)

4

Nogmaals de tabel van het verband tussen leeftijd en hoogte van de fijnspar.

leeftijd (jaar)

10

20

30

40

50

60

hoogte (meter)

5

10,5

16

20,5

24,5

28

Omdat de groei van de fijnspar vrij gelijkmatig verloopt, is de bijbehorende grafiek nagenoeg een rechte lijn. In deze opgave gaan we ervan uit dat de grafiek tussen de meetpunten uit de tabel rechtlijnig is.

a

Hoeveel meter groeit een fijnspar per jaar tussen zijn 40 ste en 50 ste jaar?
Hoeveel meter groeit hij in die periode in 3  jaar tijd?

b

Hoe hoog is een fijnspar van 43  jaar? Controleer je antwoord in de grafiek bij opgave 1.

c

Dezelfde vraag voor een fijnspar van 58  jaar.

5

Met behulp van de tabel kun je ook bij een gegeven hoogte de leeftijd van de fijnspar bepalen. Een fijnspar is tussen de 20,5 en 24,5  meter hoog.

a

Hoe lang doet de boom erover om 1  meter te groeien?
Hoe oud is de fijnspar als hij 23,5  meter hoog is?

b

Dezelfde vraag als hij 26,5  meter hoog is.

De berekening bij opgave 5a ziet er schematisch zó uit:

6

Anneke spaart heel regelmatig; elke maand maakt ze een vast bedrag naar haar spaarrekening over. Ze neemt nooit geld op van haar spaarrekening; de rente die ze ontvangt wordt op een andere rekening overgemaakt. Elke maand krijgt ze een bericht van de bank van haar nieuwe tegoed.
Op 1 mei 2011 had Anneke 1456, op haar spaarrekening, op 1 oktober 2011 2626, .

a

Welk bedrag had Anneke op haar spaarrekening op 1 augustus 2011? Schrijf zo nodig je berekening overzichtelijk op zoals hierboven na opgave 5 is gebeurd.

b

En op 1 maart 2011? En op 1 december 2011?

Bij gelijkmatige groei is er een lineair verband tussen de hoeveelheid en de tijd: de grafiek is een rechte lijn. Als je bij zo’n groei de hoeveelheden op twee tijdstippen kent, kun je de hoeveelheid op een derde tijdstip uitrekenen.


Als het derde tijdstip tussen de twee bekende tijdstippen in ligt, spreken we van interpolatie (tussenplaatsing). Als het derde tijdstip buiten de twee bekende tijdstippen in ligt, spreken we van extrapolatie (buitenplaatsing).

7

Een goedje groeit gelijkmatig. Om 12  uur is er 10  kg, om 20  uur is er 34  kg.

a

Bereken met interpolatie de hoeveelheid van het goedje om 16  uur. Schrijf zo nodig je berekening overzichtelijk op zoals na opgave 5.

b

Bereken met extrapolatie de hoeveelheid om 23 en om 10  uur.

8

Een goedje groeit gelijkmatig. Na 17  uur is er 50  kg, na 22  uur is er 10  kg. Omdat de hoeveelheid afneemt, spreken we wel van negatieve groei.

a

Bereken met interpolatie de hoeveelheid na 19  uur.

b

Bereken met interpolatie na hoeveel uur de hoeveelheid 22  kg is.

9

Een goedje groeit gelijkmatig. Na 24  uur is er 112  kg, na 50  uur is er 250  kg.

a

Bereken met interpolatie de hoeveelheid na 30  uur.

b

Bereken met extrapolatie de hoeveelheid na 61  uur.

10

Een goedje groeit gelijkmatig. Na 30  uur is er 60  kg, na 100  uur is er 80  kg.

a

Bereken met interpolatie na hoeveel uur de hoeveelheid 75  kg is.

b

Bereken met extrapolatie na hoeveel uur de hoeveelheid 85  kg is.

11

De populier groeit niet gelijkmatig (opgave 2).

a

Hoe zie je dat aan de grafiek?

Een populier van 10  jaar is 14,5  meter. Als hij 30  jaar oud is, is hij 29,5  meter.

b

Hoe hoog is volgens de methode van interpolatie een populier van 20  jaar oud?
Hoeveel scheelt dat met zijn werkelijke lengte?

Bij het interpoleren hebben we in de voorgaande opgaven steeds aangenomen dat de grafiek door de twee gegeven meetpunten rechtlijnig is. We spreken dan van lineaire interpolatie. Later zullen we ook nog andere manieren van interpoleren ontmoeten. Tot dan zullen we met interpoleren altijd lineair interpoleren bedoelen.
Evenzo voor extrapoleren.

12

Rond het begin van onze jaartelling leefden er ongeveer 1  miljoen mensen op aarde. In het jaar 2000 waren dat er ongeveer 6  miljard.

a

Schat op grond van deze gegevens de wereldbevolking in het jaar 1000. Denk je dat dit een goede schatting is?
Zo nee, is deze schatting te hoog of te laag? Toelichten!

b

Maak ook een schatting voor de grootte van de wereldbevolking in het jaar 2100. Denk je dat dit een goede schatting is? Zo nee, is deze schatting te hoog of te laag?

13

Het aantal studenten aan universiteiten en hogescholen is de laatste jaren fors gestegen. De gegeven in de tabel hieronder zijn afkomstig van het CBS, onderwijsstatistieken.

studiejaar

2000/
2001

2005/
2006

2007
/2008

2008/
2009

2009/
2010

aantal studenten
universiteiten ( × 1000 )

166

201

213

223

233

aantal studenten
hbo ( × 1000 )

313

357

375

384

403

a

Hoe groot schat je op grond van deze gegevens het aantal studenten aan universiteiten in 2002/2003?

b

Vind jij dat hier sprake is van gelijkmatige groei?

c

Kun je op grond van deze gegevens het aantal studenten aan universiteiten in 2020 redelijk voorspellen?

d

Wanneer nam het aantal studenten aan het hbo het sterkst toe?

e

Hoeveel nam het totaal aantal studenten aan universiteiten en hbo tussen 2000/2001 en 2009/2010 gemiddeld per jaar toe?

Extrapolatie is nog riskanter dan interpolatie. Stel bijvoorbeeld dat een stad in 2005 120.000  inwoners had en in 2010 140.000  inwoners. Kun je nu op grond hiervan het aantal inwoners in het jaar 2015 of zelfs in 2020 voorspellen?
Hoe verder in de toekomst, hoe onzekerder het aantal inwoners wordt. Toch kan het gemeentebestuur niet afwachten, maar moet het nu al maatregelen treffen voor straks. De bestuurders nemen aan dat ze allerlei factoren die bij de groei van de stad meespelen redelijk kennen. Zodoende kunnen ze toch voorspellingen doen voor de toekomst. Maar, geen wonder dat die vaak moeten worden bijgesteld.

14

Het is koud en je gaat een buitenwandeling maken. Welke kleding je daarvoor aantrekt moet je niet alleen laten afhangen van de temperatuur die de thermometer aangeeft; de windsnelheid is zeker zo belangrijk. Immers, hoe harder het waait, des te kouder voelt een zelfde temperatuur aan.
In de tabel is bij sommige waarden van de thermometertemperatuur en sommige waarden van de windsnelheid de ervaringstemperatuur gegeven: dat is de temperatuur zoals je die "voelt". Als het windstil is, is de ervaringstemperatuur gelijk aan de thermometertemperatuur. Als de windsnelheid 5  m/s is en het is in werkelijkheid 10 ° C , dan is de ervaringstemperatuur 18 ° C .

Er heerst een krachtige wind: 10  m/s. De thermometer geeft 10 ° C aan.

a

Wat is dan de ervaringstemperatuur?

b

Welke regelmaat kun je in de (horizontale) rijen van de tabel vinden?

Neem aan dat de regelmaat zich voorzet.

c

Bepaal de ontbrekende negen getallen in de tabel.

d

Bereken met interpolatie de ervaringstemperatuur bij:

  • windsnelheid 5  m/s en thermometertemperatuur 13 ° C en

  • windsnelheid 10  m/s en thermometertemperatuur 13 ° C .

e

Bereken met behulp van interpolatie de ervaringstemperatuur bij windsnelheid 7  m/s en thermometertemperatuur 13 ° C .