4.3 De formule van een lineair verband >

Hoofdstukken > Lineaire verbanden

Een beukenbos is onder gunstige omstandigheden een groot productiebedrijf. Een boom neemt kooldioxide (CO₂) uit de lucht op en produceert zuurstof en druivensuiker.
Eén enkele boom is in staat per uur $2,35$ kg kooldioxide uit de lucht op te nemen.

Hoeveel kg kooldioxide neemt de boom dan per $3$ uur op? En per $20$ uur? En in een maand?

Je kunt voor elk aantal uren berekenen hoeveel kg kooldioxide uit de lucht wordt opgenomen, namelijk door dat aantal uur te vermenigvuldigen met $2,35$ .
Noemen we het aantal uren $t$ en het aantal opgenomen kg kooldioxide $K$ , dan geldt de formule $K = 2,35 \cdot t$ .

Teken de bijbehorende grafiek. Zet $t$ uit op de horizontale as ( $0 \leq t \leq 10$ ) en het opgenomen gewicht $K$ in kg op de verticale as.

Bereken $\frac{Δ K}{Δ t}$ als $t$ toeneemt van $5$ tot $7,5$ .

Als je een andere tijdsduur neemt dan van $5$ tot $7,5$ uur, krijg je precies dezelfde uitkomst voor $\frac{Δ K}{Δ t}$ .

Hoe kun je dat aan de grafiek zien?

We gaan verder met het beukenbos van opgave 27.
De hoeveelheid geproduceerde zuurstof (in kg) noemen we $Z$ . Voor één beuk geldt: $Z = 1,72 \cdot t$ . De vermenigvuldigpunt wordt vaak weggelaten. Dan krijg je: $Z = 1,72 t$ .

Hoeveel kg zuurstof wordt er door een beuk per week geproduceerd?

Teken de grafiek van $Z$ .

Bereken de tijd die een beuk nodig heeft voor $8,6$ kg zuurstof. Controleer je antwoord met de grafiek.

$\frac{Δ Z}{Δ t}$ heeft voor elk tijdsinterval dezelfde waarde.

Welke waarde is dat?

Nog steeds het beukenbos.
Een beuk heeft in een bepaalde tijd $100$ kg kooldioxide opgenomen.

Hoeveel zuurstof heeft die boom dan geproduceerd?

Als je $K$ kent, kun je $t$ berekenen, en daarmee kun je vervolgens $Z$ berekenen. Schematisch: $K \to t \to Z$ .

Maak een formule voor $Z$ uitgedrukt in $K$ , zonder de letter $t$ te gebruiken; dus zó: $Z = ... \cdot K$ .

Hoe ouder een beuk, des te dikker zijn stam is. Hoe dik een boomstam is, wordt gemeten op $1,3$ meter hoogte.
De diameter op die hoogte noemen we $D$ (in cm).
De leeftijd noemen we $L$ (in jaren).
Het verband tussen $D$ en $L$ wordt gegeven door de formule $D = 0,53 L - 2,55$ .
Zo'n formule geldt natuurlijk niet exact voor elke boom. Maar hij geeft wel een goede benadering. Ook kun je deze formule niet voor elke leeftijd gebruiken; hij klopt wel aardig als de boom tussen de $20$ en $60$ jaar oud is.

Teken de grafiek bij deze formule, met $L$ op de horizontale as ( $20 \leq L \leq 60$ ) en $D$ op de verticale as.

Bereken $L$ als $D = 24$ . Controleer je antwoord in de grafiek.

Bereken $\frac{Δ D}{Δ L}$ over de periode van $20$ tot $60$ jaar.

Welke waarde heeft $\frac{Δ D}{Δ L}$ over de periode van $24$ tot $49$ jaar?

Hoe ziet het toenamediagram eruit bij horizontale stappen van $1$ jaar?

Tot nu toe maakten we meestal toenamediagrammen bij horizontale stappen van $1$ jaar. We kunnen ook horizontale stappen van 10 jaar nemen.

Maak zo'n toenamediagram voor $D$ ( $L$ van $20$ t/m $60$ ).

Om de grafiek bij $D = 0,53 L - 2,55$ te tekenen, heeft Anneke negen waarden van $D$ uitgerekend, namelijk voor $L = 20$ t/m $L = 60$ met stappen van $5$ jaar.
Ze heeft deze waarden overzichtelijk in een tabel genoteerd en de bijbehorende punten stuk voor stuk in een assenstelsel uitgezet. Daardoor tekende Anneke nauwkeurig de grafiek.

Waarom had ze zich een hoop werk kunnen besparen?

Herhaling uit klas 3

Als de grafiek van het verband tussen twee grootheden een rechte lijn is, spreken we van een lineair verband.
De formule (vergelijking) van een lineair verband is van de vorm: $y = a x + b$ .

het getal $a$ is de richtingscoëfficiënt
het getal $b$ is de hoogte waarop de $y$ -as wordt gesneden.

Hiernaast is de rechte lijn $y = ‐ 2 x + 5$ getekend.

Teken de volgende lijnen in één figuur:

$y = 2 x + 1$	$y = \frac{1}{2} x + 1$
$y = 1 - x$	$y = ‐ 5 x + 1$

Wat hebben deze vier lijnen gemeenschappelijk? Had je dat van tevoren aan de formules kunnen zien?

Teken de volgende lijnen in één figuur:

$y = -1 \frac{1}{2} x$	$y = -1 \frac{1}{2} x - 4$
$y = -1 \frac{1}{2} x + 3$	$y = ‐ 2 - 1 \frac{1}{2} x$

Hoe liggen deze lijnen onderling? Had je dat van tevoren aan de formules kunnen zien?

Getekend zijn vier rechte lijnen.

Zoek uit welke formule bij welke lijn hoort:

(1) $y = 2 - 0,75 x$	(3) $y = 2,5 x$
(2) $y = ‐ 4 - 0,75 x$	(4) $y = 2,5 x + 2$

Opmerking:

Als je nog meer wilt oefenen met het matchen van formule en grafiek van een rechte lijn, dan kan dat met volgende mini-loco. Je kunt het meerdere keren spelen, telkens met andere lijnen.
mini-loco rechte lijnen - formule $y = a x + b$ en grafiek

Als je de formule van een lijn kent, kun je - ook zonder die lijn precies te tekenen - zeggen hoe hij ongeveer loopt.

Omschrijf in woorden wat het opvallende verschil is tussen de volgende lijnen:

$L_{1} : y = 6 x + 1$	$L_{3} : y = ‐ 6 x + 1$
$L_{2} : y = \frac{1}{6} x + 1$	$L_{4} : y = ‐ \frac{1}{6} x + 1$

De lijnen $L_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{3}$ en $L_{4}$ kun je ook met je GR tekenen.

Voer de formule met Y = in in je GR; bijvoorbeeld: Y1 = 6X + 1.
Pas het WINDOW aan; bijvoorbeeld: $‐ 3 \leq x \leq 6$ en $‐ 3 \leq y \leq 6$ .
Met GRAPH teken je dan de lijn.

Controleer op de GR je antwoorden op vraag a.

$y = a x + b$ is de formule van een rechte lijn.

Welke invloed heeft de $a$ in de formule op de lijn?

Welke invloed heeft de $b$ in de formule op de lijn?

Teken de lijnen $y = ‐ 2 x$ en $y = ‐ 2 x + 3$ in één figuur.

Bereken voor beide lijnen $\frac{Δ y}{Δ x}$ op het $x$ -interval $[‐ 1,4]$ met een rekenschema:

$x = 4$	$y = ...$
$x = ‐ 1$	$y = ...$
$Δ x = ...$	$Δ y = ...$

Dus $\frac{Δ y}{Δ x} = ... = ...$ .

$a$ en $b$ zijn twee getallen.
De punten $(x, y)$ waarvoor geldt: $y = a x + b$ vormen een rechte lijn.

Het getal $a$ is de richtingscoëfficiënt van de lijn (of helling, hellingsgetal, hellingscoëfficiënt).

Stel dat je de lijnen $y = a x$ en $y = a x + 5$ voor een zeker getal $a$ hebt getekend.

Hoe liggen de twee lijnen ten opzichte van elkaar?

Wat weet je van $\frac{Δ y}{Δ x}$ bij deze lijnen?

De grafieken van $y = a x$ en $y = a x + b$ zijn evenwijdige rechte lijnen. Als je de eerste lijn $b$ eenheden omhoog schuift, krijg je de tweede lijn (als $b$ negatief is, moet je de eerste lijn omlaag schuiven).
$\frac{Δ y}{Δ x}$ is voor elk $x$ -interval hetzelfde, namelijk $a$ .

twee lineaire verbanden

Teken op de GR in één window de grafieken van: $y = 1 \frac{1}{2} x - 5$ en $y = ‐ \frac{2}{3} x + 8$ .

Lees uit de figuur het snijpunt van de grafieken af.
Controleer met een berekening of dit punt inderdaad op beide lijnen ligt.

Als je de grafieken getekend hebt en het snijpunt heeft "mooie" coördinaten, dan kun je het snijpunt gewoon aflezen uit de figuur. Ter controle kun je de afgelezen waarden in de formules invullen.
Voor rechte lijnen kun je het snijpunt ook uitrekenen, zonder gebruik te maken van grafieken. In de derde klas heb je geleerd hoe. We herhalen de methode nog even aan de hand van de lijnen uit opgave 38.

Voorbeeld:

$1 \frac{1}{2} x - 5$	$=$	$‐ \frac{2}{3} x + 8$	MAAL $6$
$9 x - 30$	$=$	$‐ 4 x + 48$	PLUS $30$
$9 x$	$=$	$‐ 4 x + 78$	PLUS $4 x$
$13 x$	$=$	$78$	DELEN DOOR $13$
$x$	$=$	$6$

Door deze waarde van $x$ in $y = 1 \frac{1}{2} x - 5$ of in $y = ‐ \frac{2}{3} x + 8$ in te vullen, kun je de tweede coördinaat van het snijpunt vinden: $y = 4$ . De formules moeten natuurlijk dezelfde waarde voor $y$ opleveren; daarmee kun je je antwoord controleren.

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de volgende tweetallen lijnen.
Controleer steeds je antwoord.

$y = 4 x - 5$ en $y = ‐ 2 x - 1$

$y = \frac{1}{4} x + 7$ en $y = \frac{1}{2} x + 9$

$y = 1,3 x$ en $y = ‐ 0,9 x - 5$

$x + y = 10$ en $y = \frac{5}{8} x$