4.4  Rekenen met lineaire verbanden >
formules opstellen
1

Anneke is op vakantie in Oostenrijk. Vanuit het dorpje Scheffau gaat er een kabelbaan naar de top van de Hohe Salve. Anneke gaat met de kabelbaan naar boven. Als ze 6  minuten in de kabelbaan zit, is ze op 750  meter hoogte. Na 14  minuten is de kabelbaan op 990  meter hoogte. We nemen aan dat de kabelbaan steeds even snel stijgt.

a

Hoeveel meter stijgt Anneke per minuut?

b

Op welke hoogte bevindt zich het grondstation? Daar is Anneke ingestapt.

De hoogte noemen we h (in m.), de reistijd t (in min.).

c

Geef een formule voor h , uitgedrukt in t .

d

Teken de bijbehorende grafiek.

Het bergstation van de kabelbaan, boven op de Hohe Salve, bevindt zich op 1800  meter hoogte.

e

Hoe lang zit Anneke in de kabelbaan?

2

Stel dat je bij een bank een bedrag leent. Je gaat dat in 40  jaar aflossen. Elk jaar betaal je een zelfde bedrag aan aflossing. De resterende schuld wordt dus elk jaar evenveel kleiner. Over de resterende schuld moet je rente betalen. De hoeveelheid rente wordt dus ook elk jaar kleiner. Dus wordt ook het totale te betalen bedrag elk jaar kleiner. Hier is sprake van een lineaire hypotheek.
Duitenberg leent 100.000, volgens het systeem van lineaire hypotheek. De lening heeft een looptijd van 40  jaar (daarna is het hele bedrag afgelost).

Onderstaand plaatje is afkomstig uit een folder van de bank. Je kunt daarin goed zien hoe het totale bedrag afneemt dat op het eind van elk jaar aan de bank betaald moet worden.

a

Leg uit dat Duitenberg na het zesde jaar nog een schuld heeft van 85.000  euro.

b

Hoe groot is zijn schuld na het 27 ste jaar?

c

Hoe groot is zijn schuld na het x -ste jaar?

3

Een productie P groeit in de tijd t ; P in kg en t in weken, vanaf 1 januari. Stel dat de productie op 1 januari 11  kg is en dat je weet dat de productie met 1,5  kg per week toeneemt.

a

Stel een formule op voor P , uitgedrukt in t .

Stel dat je de productie 4  weken en 9  weken na 1 januari kent: respectievelijk 37  kg en 52  kg.

b

Stel een formule op voor P , uitgedrukt in t .

4

Getekend is een rechte lijn. Op elk x -interval is Δ y Δ x hetzelfde.

a

Kies zelf een handig x -interval, zoals [ 2,4 ] of [ 1,7 ] , en bereken daarmee die waarde van Δ y Δ x .
Wanneer is een x -interval trouwens handig?

Je weet nu dat een formule van de lijn is: y = 2 3 x + b .
De grafiek gaat niet door ( 0,0 ) , dus b is niet 0 . Het getal b kun je berekenen door een handig punt ( x , y ) van de lijn in te vullen.

b

Kies een handig punt en bereken daarmee b .

c

Hoe kun je de waarde van b uit de grafiek aflezen?

d

Het is aan te bevelen om de formule met een ander punt van de grafiek te controleren. Doe dat.

5

Lijn L is evenwijdig aan de lijn met formule y = 3 x en lijn M is evenwijdig aan de lijn met formule y = x .
We kennen het snijpunt van L en M : dat is het punt ( 4,5 ) .

Stel een formule op voor L en een formule voor M .

6
a

Stel een formule op voor elk van de vier grafieken.

b

Bereken de coördinaten van elk van de zes snijpunten van deze lijnen.

7

Koude ingeademde lucht wordt verwarmd in de longen; de lucht die je uitademt is warmer dan de lucht die je inademt. We vergelijken de temperatuur van de ingeademde en uitgeademde lucht bij de mens, de eend, de huismus, het winterkoninkje en de buidelrat.

De grafiek voor de mens is anders dan alle andere grafieken.

a

Zeg in woorden wat het verschil is.

De stippellijn geeft aan dat de uitgeademde lucht dezelfde temperatuur heeft als de ingeademde lucht. De grafiek van de buidelrat ligt daaronder.

b

Zeg in woorden wat dat betekent.

c

Stel een formule op voor ten minste drie van de lijnen. Gebruik de letters I en U voor de temperatuur van de in- en uitgeademde lucht.

8

Het gaat niet goed met de traditionele vrouwenbladen Libelle, Margriet en Viva. Hun oplage daalt gestaag, zoals blijkt uit de onderstaande grafiek. De data zijn afkomstig van NRC-Handelsblad, 12 augustus 2011. Noem hun oplagen in duizenden achtereenvolgens L , M en V . De tijd t rekenen we in jaren sinds 2000; dus t = 1 in 1999.

De drie grafieken zijn goed te benaderen door rechte lijnen.

a

Stel formules op voor L , M en V .

Stel dat de trend in de grafiek zich doorzet en dat Libelle tot het bittere eind doorknokt.

b

Wanneer zal de oplage van Libelle geheel zijn opgedroogd?

Libelle en Margriet hebben ongeveer evenveel lezers verloren, Viva minder.

c

Hoe blijkt dat uit de formules?

De verhouding van de oplagen van Margriet en Viva is ongeveer hetzelfde gebleven.

d

Ga dat na. Hoe zit dat met Libelle en Viva?

e

Stel een formule op voor de totale oplage van de drie bladen.

9

Op de Jaarafrekening 2006 van NUON, de leverancier van elektriciteit, vond Van den Broek de volgende gegevens.

Er staan negen getallen cursief, d.w.z. schuin gedrukt.

Ga na hoe die getallen volgen uit de getallen die niet cursief staan.

10

We gaan verder met de elektriciteitskosten van de vorige opgave. Die hangen af van het verbruik v (in kWh). Het bedrag exclusief btw noemen we B e x (in euro’s).

a

Bereken de vaste kosten (vastrecht transport, vastrecht aansluiting en meetdienst tezamen) voor een periode van 365  dagen.

b

Stel een formule op van het verband tussen B e x en v .

Het totale bedrag is het bedrag inclusief btw: B i n .

c

Stel een formule op van het verband tussen B i n en v .

In 1879 vond de Amerikaan Thomas A. Edison de gloeilamp uit. In het begin heeft men erg moeten wennen aan licht door elektriciteit.

11

We vereenvoudigen de bedragen uit opgave 48 en 49. De vaste kosten (vastrecht transport, vastrecht aansluiting en meetdienst tezamen) voor een periode van 365  dagen bedraagt 52, en voor de prijs per kWh 3,4  eurocent. We letten niet meer op de btw. Het totale bedrag B bij verbruik v is dus:
B = 0,034 v + 52 .
Je kunt het bedrag B splitsen in de vaste vergoeding en het verbruiksbedrag. Verbruik je niets, dan moet je toch de vaste vergoeding betalen. Het vastrecht is dan 100 % van het bedrag. Verbruik je 365  kWh dan betaal je weliswaar een even grote vaste vergoeding, maar dat is minder dan 100 % van het totale bedrag.

a

Hoe groot is dat percentage afgerond op één decimaal?

b

Wat gebeurt er met dat percentage als het verbruik toeneemt?

c

Bij welk verbruik bestaat de helft van de kosten uit de vaste vergoeding?

De verhouding tussen de twee delen van het totale bedrag is grafisch mooi voor te stellen:

Op de horizontale as is met een pijltje een zeker verbruik aangegeven.

d

Zoek uit hoe groot dat verbruik ongeveer is.

12

Een bedrijf heeft twee vestigingen: een oude en een nieuwe. De activiteiten worden geleidelijk van de oude vestiging naar de nieuwe verlegd. Op dit moment werken er in de oude vestiging 540  mensen. Naar verwachting zal dit aantal elke maand 25 minder worden. In de nieuwe vestiging werken op dit moment 40  mensen, terwijl de directie verwacht dat dit aantal elke maand met 40 zal toenemen. Het is dus niet voldoende werknemers van de oude naar de nieuwe vestiging over te plaatsen; er moet zelfs nieuw personeel worden aangenomen. We gaan er vanuit dat alle prognoses uitkomen.

a

Bepaal met behulp van grafieken over hoeveel maanden er op beide vestigingen evenveel mensen werken.

b

Stel bij beide vestigingen een formule op voor het aantal werknemers in de komende maanden.

c

Bereken met deze formules het antwoord op vraag a.

d

Na hoeveel maanden is de personeelsbezetting op de oude vestiging nog maar de helft van die op de nieuwe vestiging.

e

Geef een formule voor de totale personeelsomvang van het bedrijf.