4.5  Verbanden van de vorm px + qy = r >
1

In de stal van Jan Pol worden de pony’s precies zo gevoerd als het hoort. ‘s Winters wordt er hoofdzakelijk hooi en biks aan de dieren gegeven. De belangrijkste bestanddelen van dit voer zijn:

  • koolhydraten (zetmeel en suiker), ruwvezel en vetten. Zij zorgen voor de energievoorziening. Hoeveel er van deze bestanddelen in het voer zit, wordt uitgedrukt in grammen zetmeel.

  • eiwitten. Die zijn van groot belang voor de vorming van spieren, hoeven, bloed, enzovoort.

Jasper is een pony, die bij Jan op stal staat. Volgens het boekje heeft die pony, als hij niet te intensief gebruikt wordt, per dag 2100  gram zetmeel en 360  gram eiwit nodig.
In 1  kg hooi zit 300  gram zetmeel en 60  gram eiwit.
In 1  kg biks zit 600  gram zetmeel en 80  gram eiwit.

a

Hoeveel gram zetmeel krijgt Jasper als hij per dag 3 1 2  kg hooi en 2  kg biks eet?

b

Hoeveel gram zetmeel krijgt Jasper als hij per dag x  kg hooi en y  kg biks eet?

Jasper krijgt per dag precies 2100  gram zetmeel. Dit geeft een verband tussen x en y .

c

Druk dat verband uit in een formule met x en y .

d

Laat zien dat je de formule kunt vereenvoudigen tot
x + 2 y = 7 .

e

Teken de grafiek bij het verband x + 2 y = 7 . Neem daarvoor de tabel en het assenstelsel over.

x

0

3

y

0

3

f

Wat is de richtingscoëfficiënt van k ? En wat is de hoogte waarop de lijn de verticale as snijdt?

Omdat de richtingscoëfficiënt van de lijn 1 2 is en de hoogte waarop de verticale as gesneden wordt 3 1 2 is, kun je de formule x + 2 y = 7 ook schrijven als y = 1 2 x + 3 1 2 .
De formule x + 2 y = 7 omschrijven naar de vorm y = a x + b , kan ook zonder gebruik te maken van een grafiek. Immers:

x + 2 y = 7
MIN x
2 y = x + 7
DELEN DOOR 2
y = 1 2 x + 3 1 2
g

Hoeveel gram eiwit krijgt Jasper als hij per dag x  kg hooi en y  kg biks krijgt?

Jasper wordt zó gevoerd dat hij per dag precies 360  gram eiwit krijgt. Dit geeft weer een verband tussen x en y .

h

Druk dat verband uit in een formule met x en y en laat zien dat deze te vereenvoudigen is tot: 3 x + 4 y = 18 .

i

Teken de grafiek van het verband in opgave e. Maak eventueel een tabel.

De grafiek is een rechte lijn m .

j

Wat is de richtingscoëfficiënt van lijn m . En wat is de hoogte waarop de lijn de verticale as snijdt?

k

Schrijf de formule 3 x + 4 y = 18 , zonder gebruik te maken van de grafiek, om naar de vorm y = a x + b .

l

Lees uit de grafiek af hoeveel kg hooi en hoeveel kg biks Jasper moet krijgen als hij precies volgens het boekje gevoerd wordt.

In de vorige vraag ging het om de coördinaten van het snijpunt van k en m . Die kun je berekenen door te gebruiken:
k :   y = 1 2 x + 3 1 2 en m :   y = 3 4 x + 4 1 2 .

m

Bereken de coördinaten van het snijpunt.

2

Schrijf de volgende formules in de vorm: y = ... .

‐5 x + 2 y = 10 ‐2 y + x = 5
3 x 2 y = 16 8 x = ‐2 y 5
2 x 5 y = 7 ‐3 x = ‐8 + 7 y
3

Er zijn in een reservaat twee soorten draken: rode en groene.
Iedere rode draak heeft drie koppen en twee staarten. Iedere groene draak heeft vier koppen en drie staarten.
Alle draken samen hebben 111  koppen en 79  staarten.
Noem het aantal rode draken r en het aantal groene draken g .

a

Leg uit dat voor het aantal koppen geldt: 3 r + 4 g = 111 .

b

Welk verband geldt er voor het aantal staarten?

c

Schrijf beide verbanden als 6 r = ... .

d

Bereken het aantal rode en groene draken.

Berekenen van snijpunten
4

Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen met vergelijking:

a

y = 3 x 2 en 2 y + x = 10

b

2 x + 4 y = 11 en ‐4 + 5 y = 4 x

c

‐5 x + 2 y = 20 en 1 2 = x 1 2 y

d

2 x + 3 y = 2 en 6 x y = 1

e

2 x 5 y = 7 en ‐2 x + 13 y = 1

f

3 x 2 y = 16 en 2 x + y = 6

5

k , l en m zijn de lijnen met vergelijking:
k :   2 x + 3 y = 4 , l :   x = 1 2 y + 4 en m :   x 2 y = 5 .

a

Teken de lijnen k , l en m . Laat de assen lopen van ‐7 tot en met 7 .

b

Bereken de coördinaten van het snijpunt van k en l .

c

Ga na of het snijpunt van k en l op m ligt.

6

p , q en r zijn de lijnen met vergelijking:
p :   x + y = 4 , q :   y = 2 en r :   2 x y = 5 .

a

Teken de drie lijnen in één assenstelsel.
Laat de x -as lopen van ‐5 tot en met 7 en de y -as van ‐2 tot en met 5 .

b

Bereken de coördinaten van de drie snijpunten van deze lijnen.

7

Tijdens een warme zomer is het voor de supermarkt niet eenvoudig om voldoende bier in voorraad te hebben.
De brouwerij kan niet altijd de gewenste bestellingen op tijd leveren.
De supermarkt is blij dat de brouwerij vandaag 520  liter bier levert, in kratten halve liters en kratten pijpjes. Het aantal kratten pijpjes is tweemaal zoveel als het aantal kratten halve liters.
In een pijpje zit 1 3  liter bier; er zitten 24  pijpjes in een krat.
Er zitten 20  halve liters in een krat.

a

Hoeveel liter bier zit er in een krat pijpjes? En in een krat halve liters?

De supermarkt krijgt x kratten pijpjes en y kratten halve liters. Dat het totaal aantal kratten 520  liter bevat geeft een verband tussen x en y .

b

Geef een formule van dit verband.

c

Teken de grafiek. Zet x horizontaal ( 0 x 70 ) en y verticaal ( 0 y 60 ) .

In de supermarkt worden twee keer zoveel kratten met pijpjes als met halve liters verkocht, daarom bestelt de supermarkt ook in deze verhouding bij de brouwerij.
Deze verhouding geeft een verband tussen x en y .

d

Geef een formule voor dit verband.

e

Teken de grafiek bij opgave c.

f

Bereken de coördinaten van het snijpunt.

g

Hoeveel kratten bier worden er van elk soort geleverd als de brouwerij 520  liter levert in de verhouding die de supermarkt wenst?

Opmerking:

Je kunt nog meer oefenen met de formules, tabellen en grafieken van rechte lijnen met de applet kwartetten_rechte_lijnen .

Stelsels vergelijkingen
8

Een boer heeft een bedrijf met varkens en kippen. Hij telt bij zijn dieren in totaal 50  koppen en 120  poten.
Noem het aantal varkens v en het aantal kippen k .

a

Stel een stelsel vergelijkingen op met v en k .

b

Los het stelsel op en bereken hoeveel varkens en kippen de boer heeft.

9

Ik heb 26  muntstukken in mijn portemonnee. Het zijn munten van 20  cent en munten van 1  euro. Het totale bedrag dat deze munten waard zijn is 12,40  euro.
Noem het aantal muntstukken van 20  cent t en het aantal muntstukken van 1  euro e .

Stel een stelsel vergelijkingen op met t en e en bereken daarmee hoeveel muntstukken je van ieder hebt.

10

De kaartjes voor een theatervoorstelling kosten 25, en 40, . Het theater heeft op een avond 400  goedkope kaartjes meer verkocht dan dure kaartjes. De opbrengst van deze avond is 27.875, .
Noem het aantal dure kaartjes d en het aantal goedkope kaartjes g .

a

Stel een stelsel vergelijkingen op met d en g .

b

Hoeveel kaartjes zijn er in totaal verkocht?

11

Vijf flessen cola en acht flessen sinas kosten samen 16,50  euro. Vier flessen cola en twee flessen sinas kosten samen 7,70  euro.
Noem de prijs van een fles cola x en de prijs van een fles sinas  y , beide in euro.

Stel een stelsel vergelijkingen op met x en y en bereken hoeveel tien flessen cola en zeven flessen sinas samen kosten.

(hint)

Schrijf beide vergelijkingen als 20 x = ... .