Ongelijkheden

De beschermende kleding bij American football vormt een belemmering voor de warmteafgifte van het lichaam. Het lichaam kan daardoor zijn warmte maar moeilijk kwijt en dat kan tot problemen leiden. We spreken dan van warmtestuwing. In ernstige gevallen kan dat dodelijk zijn.
Belangrijk zijn de temperatuur en de relatieve vochtigheid van de lucht. In de grafiek is aangegeven bij welke omstandigheden zich negen ernstige gevallen van warmtestuwing voordeden. Het betreft spelers van American football en mariniers onder zware lichamelijke belasting.

Hoe waren de weersomstandigheden bij ongeval nr.1?

De ongevallen gaven aanleiding tot het opstellen van een “weergids”. Zone 1 is veilig: bij die weersomstandigheden is er geen gevaar voor warmtestuwing. In zone 2 moet men oppassen. Zone 3 is gevaarlijk.

Het is $26 ° C$ en de relatieve vochtigheid is $60 %$ .

Is er gevaar voor warmtestuwing?

Noem de vochtigheidsgraad $V$ (in procenten) en de temperatuur $T$ (in graden Celsius).

Stel een formule op voor de twee grenslijnen tussen de zones.

Bepaal met de formules bij welke relatieve vochtigheid je in zone 2 zit, als het $26 ° C$ .
Dezelfde vraag bij $T = 18$ .

Voor zone 1 kunnen we een ongelijkheid opschrijven in de vorm: $V < a T + b$ .

Welke zijn de getallen $a$ en $b$ ?

Geef zo ook een ongelijkheid voor zone 3.
En met welke twee ongelijkheden kun je aangeven dat je in zone 2 zit?

Teken in een assenstelsel de lijnen $y = 2 x - 3$ , $y = 2 x - 1$ , $y = 2 x + 1$ en $y = 2 x + 3$ .

Kleur het gebied waar de punten $(x, y)$ liggen waarvoor geldt: $y > 2 x + 3$ .

Gebruik een andere kleur om het gebied aan te geven waar geldt: $2 x - 1 < y < 2 x + 1$ .
Dat is het gebied waarvoor geldt: $y < 2 x + 1$ en $y > 2 x - 1$ .

De gelijkheid $y = a x + b$ beschrijft een rechte lijn.
De ongelijkheid $y < a x + b$ beschrijft het gebied onder die rechte lijn.
De ongelijkheid $y > a x + b$ beschrijft het gebied boven die rechte lijn.
Als de ongelijkheid een andere vorm heeft, is het verstandig een punt in te vullen om uit te zoeken welk gebied bij de ongelijkheid hoort.

Bij toetsen met $50$ meerkeuzevragen wordt geteld hoeveel vragen een kandidaat goed heeft. Dit aantal noemt men de score $X$ . Hierna wordt de score $X$ omgezet in een cijfer $Y$ . Een kandidaat die niets goed heeft krijgt het cijfer $1$ ; dus bij $X = 0$ hoort $Y = 1$ . Wie alle vragen goed beantwoord heeft krijgt natuurlijk het cijfer $10$ ; dus bij $X = 50$ hoort $Y = 10$ .

Stel dat er een lineair verband wordt gehanteerd om $X$ in $Y$ om te rekenen.
Een kandidaat heeft $40$ vragen goed.

Bereken zijn cijfer in één decimaal nauwkeurig.

Bij het cijfer $5,5$ ligt de omslag van voldoende naar onvoldoende. Daarom noemen we de score waarbij het cijfer $5,5$ hoort de omslagscore.

Welke score is dat?

Stel een formule op voor het verband tussen $X$ en $Y$ .

Teken de bijbehorende grafiek.

Een lineair verband wordt gehanteerd bij toetsen van normale moeilijkheidsgraad. Als de toetsvragen aan de moeilijke kant zijn, hoeft de kandidaat minder vragen goed te hebben om aan een zelfde cijfer te komen dan bij een toets van normale moeilijkheid.

Aan welke kant van de grafiek uit onderdeel d liggen de punten $(X, Y)$ dan? Geef een ongelijkheid voor dat gebied.

Als de vragen aan de moeilijke kant zijn, wordt de score dus anders omgerekend naar een cijfer dan bij normale moeilijkheidsgraad. De omslagscore wordt verlaagd; de kandidaat hoeft dan minder antwoorden goed te hebben voor een voldoende cijfer. Omgekeerd kan het ook: bij makkelijke toetsen wordt de omslagscore verhoogd. Bij een verhoogde of verlaagde omslagscore bestaat de grafiek uit twee rechte lijnstukken. Bijvoorbeeld zo:

Stel een formule op voor beide lijnstukken. Vermeld bij de formules voor welke waarden van $X$ hij van toepassing is.

Bij een zekere toets van $50$ vragen wordt op deze manier het cijfer berekend; dus met een verschoven omslagscore.
Een kandidaat had $40$ vragen goed en kreeg het cijfer $7,5$ .

Bepaal de omslagscore. Je kunt een grafiek gebruiken.

Welk cijfer krijgt iemand met $16$ vragen goed bij deze toets?

Optimaliseren

Op de markt verkoopt bakker Broodje krentenbollen en koffiebroodjes.
Voor een krentenbol heeft hij $12$ gram meel en $0,2$ gram gist nodig.
Voor een koffiebroodje heeft hij $10$ gram meel en $0,1$ gram gist nodig.
Hij heeft een voorraad van $8000$ gram meel en $100$ gram gist.
Neem aan dat de bakker $x$ krentenbollen en $y$ koffiebroodjes bakt.

Welke twee ongelijkheden volgen hieruit, afgezien $x \geq 0$ en $y \geq 0$ .

Bij deze vier ongelijkheden kun je grafieken tekenen. Elke ongelijkheid geeft een deel onder of boven een lijn dat voldoet aan de ongelijkheid. Het gebied dat voldoet aan alle ongelijkheden noemen we het toegestane gebied. Het toegestane gebied bevat dus alle punten $(x, y)$ die voldoen aan alle ongelijkheden.

Teken de vier ongelijkheden in een grafiek en kleur het toegestane gebied. Laat de $x$ -as lopen van $0$ tot en met $700$ en de $y$ -as van $0$ tot en met $1000$ .

Bereken de coördinaten van de drie hoekpunten ( $(0,0)$ niet meegerekend) van het toegestane gebied.

De winst op een krentenbol is $45$ cent en op een koffiebroodje $35$ cent.

Bij welk aantal krentenbollen en koffiebroodjes is de winst voor de bakker maximaal? Hoeveel is de winst dan?

Een transportbedrijf moet minimaal $798$ Deense karren vervoeren van Amsterdam naar het Ruhrgebied. Het bedrijf beschikt over $x$ kleine en $y$ grote vrachtwagens.
Een kleine wagen kan $24$ karren vervoeren en kost $€ 500, -$ per dag en een grote wagen kan $42$ karren vervoeren en kost $€ 900, -$ per dag.
Het aantal vrachtwagens per dag mag niet meer zijn dan $28$ .

Welke twee ongelijkheden volgen hieruit, naast $x \geq 0$ en $y \geq 0$ ?

Teken het toegestane gebied. Laat de $x$ -as lopen van $0$ tot en met $36$ en de $y$ -as van $0$ tot en met $28$ .

Bereken de coördinaten van de drie hoekpunten van het toegestane gebied.

Bij hoeveel kleine en hoeveel grote wagens zijn de kosten minimaal? Wat zijn de kosten dan?

In een fabriek worden twee typen auto’s geassembleerd (in elkaar gezet), per dag minstens $10$ van type S en $8$ van type TD. Beide typen hebben dezelfde carrosserie. Daarvan zijn er per dag $25$ beschikbaar. Het assembleren van een auto van type S kost $50$ arbeidsuren, het assembleren van een auto van het type TD kost $100$ arbeidsuren. Per dag zijn er hiervoor maximaal $1800$ arbeidsuren per dag beschikbaar.
Stel dat er per dag $x$ auto’s van type S en $y$ auto’s van type TD gemaakt worden.

Aan welke vier voorwaarden moeten $x$ en $y$ voldoen (afgezien van $x \geq 0$ en $y \geq 0$ )?

Teken het toegestane gebied. Laat de assen lopen van $0$ tot en met $26$ .

Bereken de coördinaten van alle hoekpunten van het toegestane gebied.

De winst op een auto van type S is $2750$ euro en de winst op een TD is $2500$ euro.

Welk productieschema levert de meeste winst op en hoe groot is die winst?