In hoofdstuk 2 heb je de drie volgende opgaven al gezien.
We gaan nu in op de formules bij de verbanden in die opgaven.

Een vuurpijl zoeft omhoog en keert weer terug naar de grond.
Horizontaal is de tijd $t$ uitgezet (in seconden) en verticaal de hoogte $h$ van de vuurpijl in meters.

Hoelang duurt de vlucht van de vuurpijl?

Bepaal de toename van de hoogte gedurende de opvolgende secondes.

Een formule van het verband tussen $h$ en $t$ is niet van de vorm $h = a \cdot t + b$ .

Hoe kun je dat meteen zien aan de grafiek?

Wel is er een formule in de gedaante $h = t \cdot (a \cdot t + b)$ .

Bereken de waarden van $a$ en $b$ en geef de formule voor het verband.

(hint)

Lees twee punten uit de grafiek af en vul die beide in. Je krijgt dan twee vergelijkingen met $a$ en $b$ . Combineer die twee vergelijkingen.

Schrijf de formule van opgave d zonder haakjes.

Als een product in prijs wordt verhoogd, zal er minder van dat product worden verkocht. Als de prijs wordt verlaagd, wordt er juist meer van verkocht.

Een fabrikant van wasmiddelen is op zoek naar de prijs voor zijn wasmiddel waarbij de opbrengst (de totale inkomsten) maximaal is. Uit een marktonderzoek blijkt dat, als hij de prijs met een euro verhoogt, er $1000$ pakken per week minder worden verkocht. Momenteel kost een pak wasmiddel bij hem $€ 8, -$ en worden er $15.000$ pakken per week verkocht.

Neem de tabel over en vul hem verder in.

prijs per pak ( $€$ )	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$
aantal pakken ( $\times 1000$ )
opbrengst ( $\times 1000 €$ )

De prijs per pak (in euro) noemen we $p$ , het aantal verkochte pakken (in duizendtallen) $a$ en de opbrengst $O$ (in duizenden euro's).

Hoe zie je meteen in de tabel dat er geen lineair verband is tussen $p$ en $O$ ?

Er is wel een lineair verband tussen $a$ en $p$ .

Stel een formule op voor $a$ , uitgedrukt in $p$ ; dus van de vorm $a = ... \cdot p + ...$ .

De prijs in euro noemen we $p$ , het aantal verkochte pakken $a$ en de opbrengst $O$ .

Welke formule geldt dus voor $O$ , uitgedrukt in $p$ ?
Schrijf die formule ook zonder haakjes.

Na een aanvaring zinkt een grote olietanker op $20$ km van de kust. Er dreigt een grote milieuramp want het schip verliest een enorme hoeveelheid olie. Het lukt niet om het gat in het schip te dichten, dus vormt de olie een steeds groter wordende (ronde) vlek. De grootte van de olievlek wordt door deskundigen nauwlettend in de gaten gehouden. De resultaten daarvan zie je in de grafiek.

Hoe noem je het type groei van de straal van de olievlek?

We noemen $A$ de oppervlakte van de olievlek (in km²).

Vul de tabel voor $A$ verder in.

(hint)

Een formule voor de oppervlakte van een cirkel met straal

r

π \cdot r^{2}

$t$ (dagen)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$A$ (km²)

$A$ is recht evenredig met $t$ .

Geef een formule voor $A$ , uitgedrukt in $t$ .

Weet je nu ook een formule voor de straal, uitgedrukt in $t$ ?

Uit een folder van de Nederlandse Hartstichting komt het volgende nomogram.

Zoek het maximale en het minimale gewicht voor iemand die $1,76$ m lang is en een gezond gewicht heeft.

Een andere veel gebruikte vuistregel om het “goede” gewicht bij een zekere lengte te berekenen is: je mag het aantal cm dat je langer bent dan $1$ meter wegen in kg.
Voorbeeld: iemand van $1,72$ m mag $72$ kg wegen.

Zit iemand die aan deze vuistregel voldoet ook altijd op een gezond gewicht volgens bovenstaand nomogram?

Ook wordt vaak de zogenaamde Quetelet-index $Q$ gebruikt:
$Q = \frac{g}{l^{2}}$ , waarbij $g$ het gewicht in kg is en $l$ de lengte in m.
Aan de hand van deze Quetelet-index worden mensen ingedeeld in vier categorieën:

categorie 1:	te mager	$Q < 20$
categorie 2:	gezond	$20 \leq Q < 25$
categorie 3:	iets te zwaar	$25 \leq Q < 30$
categorie 4:	te zwaar	$Q \geq 30$

Bereken tot welke categorie iemand behoort die $1,85$ m lang is en $75$ kg weegt.

Bereken met deze formule voor iemand van $1,76$ m lengte het maximale en het minimale gewicht als hij/zij tot de categorie “gezond” behoort.

Bij deze formule kunnen we grafieken tekenen, waarbij we $g$ tegen $l$ uitzetten.

Teken de (enigszins kromme) lijnen die horen bij $Q = 20$ en bij $Q = 25$ .
Maak eerst een tabel:

$l$	$1,50$	$1,60$	$1,70$	$1,80$	$1,90$	$2,00$	$2,10$
$g$

Maak bij de tekening van vraag e een duidelijke instructie hoe deze tekening te gebruiken is.

Natuurlijk geven deze formules geen absolute zekerheid. Niet iedereen die op dit ideale gewicht uitkomt, heeft een voor hem of haar gezond gewicht. Omgekeerd als iemand niet op het ideale gewicht uitkomt, wil dit nog niet zeggen dat hij of zij niet een gezond gewicht heeft.
Deze formules geven slechts een model. Zij zijn niet zaligmakend. Maar zonder zulke formules hebben we helemaal geen idee van gezonde gewichten. We gebruiken ze dus om enig inzicht te krijgen, en bekijken de uitkomsten kritisch.

Adolphe Quetelet (1796-1874) was een Belgisch statisticus. Hij verzamelde veel getalsmatige gegevens over de mens en zocht naar wetmatigheden daarin.

De basis voor het conservenblik werd in 1809 gelegd door de Fransman Nicolas Appert. Bij Apperts methode werden echter glazen flessen gebruikt. In 1810 vond de Brit Peter Durand het metalen conservenblik uit en kreeg ook het patent erop.
De eerste conservenblikken waren zware trommels die moeilijk te openen waren, met messen of zelfs beitels. Pas nadat blikken van dunner metaal werden gemaakt, zo'n 50 jaar later, werden er ook speciale blikopeners ontwikkeld. Tegenwoordig zijn er veel blikken die zonder opener kunnen worden geopend door aan een lipje te trekken. (Wikipedia)

De meest voorkomende conservenblikken, gevuld met bruine bonen, sperziebonen, erwtensoep of een ander product, zijn blikken met een diameter van $10$ cm en met een hoogte van $11$ cm, zodat de inhoud hiervan, rekening houdend met de materiaaldikte van $0,25$ mm, ongeveer $0,85$ liter is.

Reken die $0,85$ liter na. Als je de formule voor de inhoud van een blik niet meer kent, kijk dan even verderop in deze opgave.

De straal van het blik noemen we $r$ , de hoogte $h$ en de inhoud $V$ ; $r$ en $h$ in cm, $V$ in cm³.

Leg uit dat een formule voor $V$ , uitgedrukt in $r$ en $h$ is: $V = π h r^{2}$ .

Neem blikken met een straal van $5$ cm.

Geef een formule van $V$ , uitgedrukt in $h$ .
Is hier sprake van een evenredig verband? En van een lineair verband?

Neem blikken met een hoogte van $11$ cm.

Geef een formule van $V$ , uitgedrukt in $r$ .
Is hier sprake van een evenredig verband? En van een lineair verband?

Neem blikken met een inhoud van $1$ liter.

Geef een formule voor $h$ en $r$ in de vorm $h = ...$ .
Is hier sprake van een evenredig verband? En van een lineair verband?

Wat is de inhoud van een kubus met ribbe $r$ ?

Wat is de totale oppervlakte van een kubus met ribbe $r$ ?

Wat is de totale lengte van de ribben van een kubus met ribbe $r$ ?

Welk van deze verbanden is lineair?

Boer Berends heeft een vierkante akker van $100$ bij $100$ meter.
Aan de noordrand van die akker is een weg gepland. Daarom moet hij daar een strook afstaan. Van de gemeente krijgt hij er aan de oostkant een andere strook voor in de plaats, die dezelfde oppervlakte heeft als de strook die hij kwijtraakt.

Moet de nieuwe strook aan de oostkant even breed zijn als de strook aan de noordkant die Berends kwijtraakt? Of is die smaller, of is die breder?

Bereken hoe breed de nieuwe strook moet zijn, als de strook die hij kwijtraakt $20$ meter breed is.

Druk de breedte $y$ van de nieuwe strook uit in de breedte $x$ van de strook die Berends kwijtraakt.

Is er een lineair verband tussen $x$ en $y$ ? Teken de grafiek van het verband.