6.5  Exponentiële groei >
1

Op de website van het RIVM (Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu) staat het volgende over bacteriën.


Bacteriën zijn eencellige organismen. Ze zitten overal maar ze zijn met het blote oog niet zichtbaar, de gemiddelde grootte van een bacterie is één micrometer, eenduizendste deel van een millimeter. De meeste bacteriën zijn onschuldig of zijn zelfs nuttig voor mens en dier, maar sommigen veroorzaken ziekte.

Wat doen bacteriën? Ze groeien en delen. Hoe beter de omstandigheden voor de bacterie zijn, hoe sneller ze groeien en delen. Iedere deling betekent dat er uit één bacterie twee nieuwe ontstaan, die zich ieder ook weer in tweeën delen, enzovoort. Bij gunstige omstandigheden kan bijvoorbeeld een E. colibacterie zich in 20  minuten delen. Dat wil zeggen dat één bacterie, over 20  minuten twee bacteriën zijn, over 40  minuten 2 2 = 4 en over een uur 4 2 = 8 . Over 24  uur zijn dat er ruim 1.000.000.000.000.000.000.000 ( 1  triljard)!

We gaan de getallen uit bovenstaande tekst van het RIVM narekenen.

a

Bereken het aantal bacteriën na twee, drie en vier uur als je met één bacterie begint die zich elke 20 minuten deelt.

b

Reken na dat één bacterie in 24  uur tot ruim 1  triljard bacteriën kan uitgroeien.

c

Na hoeveel delingen zijn er voor het eerst meer dan 1  miljoen bacteriën? Hoe lang duurt dat?

Jaap beweert dat er in de hierboven beschreven situatie na 2  dagen ruim twee triljard bacteriën zullen zijn, na vier dagen ruim vier triljard, enzovoort.

d

Heeft Jaap gelijk? Leg duidelijk uit waarom wel of niet.

e

Hoeveel bacteriën zijn er na een halve dag ongeveer?

Een bepaalde hoeveelheid groeit exponentieel in de tijd als deze hoeveelheid gedurende elk vast tijdseenheid met een bepaalde (vaste) factor toeneemt. Deze factor heet de groeifactor.

Let op: de groeifactor hangt af van de lengte van de gekozen tijdseenheid.

We gaan in de volgende opgaven onderzoeken hoe dat precies zit.

2

Een zekere hoeveelheid bacteriën groeit met 50 % per uur.

a

Wat is dan de groeifactor bij een tijdseenheid van 1  uur? En wat is de groeifactor bij een tijdseenheid van 2  uur?

Neem aan dat een andere hoeveelheid bacteriën groeit met 30 % per uur.

b

Wat is dan de groeifactor bij een tijdseenheid van 1  uur? En wat is de groeifactor bij een tijdseenheid van 3  uur?

3

We gaan eens bekijken wat er gebeurt met een kweek van 1000  bacteriën op tijdstip 0 die zich gemiddeld elk uur delen. Dus elk uur verdubbelt het aantal bacteriën.

a

Maak een tabel van het aantal bacteriën na 0 , 1 , 2 , 3 en 4  uur.

Elk uur verdubbelt het aantal bacteriën zich. We vragen ons af hoeveel bacteriën er na 1 2  uur zijn. Daarvoor moeten we weten hoeveel keer zo groot het aantal bacteriën wordt in 1 2  uur.

Anneke denkt dat het aantal bacteriën elk half uur 1,5  keer zo groot wordt. We controleren of Anneke gelijk heeft door met deze factor 1,5 te gaan rekenen.

b

Maak een tabel als volgt:

Je ziet dat Annekes factor 1,5 niet klopt!

c

Is de factor 1,5 te groot of te klein?

Anneke probeert nu factor 1,4 per half uur.

d

Controleer weer of deze factor klopt aan de hand van een tabel:

Factor 1,4 klopt dus ook niet.

e

Is hij te groot of te klein?

f

Controleer op dezelfde manier of factor 1,45 klopt.

4

We snellen Anneke uit de vorige opgave te hulp. We zoeken de groeifactor g voor de volgende tabel:

a

Hoe groot is g g ? Hoe groot is g dus?

b

Vul nu de tabel hieronder verder in. Rond de aantallen af op gehele getallen.

5

Hoe snel een bacteriekolonie groeit (bij ideale laboratoriumomstandigheden) hangt af van de soort.
Gistermiddag schatte een bioloog het aantal bacteriën in een kweek om 12  uur op 500 en om 4  uur op 4500 . Hij wil nu ook weten wat de aantallen bacteriën waren om 1 , 2 en 3  uur.
Elk uur wordt het aantal bacteriën met een bepaald getal vermenigvuldigd. Noem deze groeifactor g .

a

Leg uit dat voor g geldt: 500 g 4 = 4500 .

Met de rekenmachine kunnen we g nu wel uitrekenen.
Uit 500 g 4 = 4500 volgt dat g 4 = 9 .
De oplossing g kunnen we met de rekenmachine vinden.
g = 9 4 1,73205...

b

Hoeveel bacteriën waren er dus om 1  uur?

c

Hoeveel bacteriën waren er om 2  uur? En om 3  uur?

6

In 1826 werd de laatste Nederlandse bever gedood, die in de IJssel bij Zalk werd aangezien voor een otter (otters werden als concurrent gezien om vis met de mens). Daarmee kwam een einde aan duizenden jaren aanwezigheid van de bever in Nederland. In de jaren ’50 van de vorige eeuw werd al geopperd dat het goed zou zijn om de bever weer terug te brengen. In 1988 werd dit uiteindelijk werkelijkheid en in vier jaar tijd werden 42  bevers uitgezet in de Biesbosch. Deze waren weggevangen langs de Elbe in het voormalige Oost-Duitsland.
In het begin groeide de populatie maar langzaam, maar gaandeweg zette de groei in. Uit een onderzoek dat in 2012 door de Zoogdiervereniging is uitgevoerd, blijkt dat er minimaal 155  bevers in de Biesbosch verblijven.

Bron: zoogdiervereniginging.

We gaan er voor het gemak vanuit dat de beverpopulatie in 1992 uit 42  bevers bestond en in 2012 uit 155  bevers. Ook nemen we aan dat de populatie bevers jaarlijks met hetzelfde percentage is gegroeid.

a

Met hoeveel procent is de beverpopulatie in de Biesbosch gegroeid in de periode van 1992 tot 2012?

b

Bereken de jaarlijkse groei van de beverpopulatie in tienden van procenten nauwkeurig.

c

Hoeveel bevers waren er naar schatting in het jaar 2000? En hoeveel in het jaar 2005?

Neem aan dat de jaarlijkse procentuele groei van de beverpopulatie vanaf 2012 hetzelfde blijft als in de periode 1992 - 2012.

d

Hoeveel bevers zullen er dan naar verwachting in het jaar 2020 zijn?

e

In welk jaar zal de populatie bevers naar verwachting boven 400 uitkomen?

7

De Efteling is het grootste attractiepark van Nederland, wat betreft bezoekersaantallen en wat betreft oppervlakte. In 2015 trok het park 4,68  miljoen bezoekers; in 2013 waren er 4,15  miljoen bezoekers.

a

Laat met een berekening zien dat het aantal bezoekers met 6,2 % per jaar is toegenomen.

De directeur van de Efteling verwacht dat de groei doorzet en mikt op 5  miljoen bezoekers in 2020.

b

Laat zien dat de doelstelling van de directeur ruimschoots wordt gehaald, als de groei van 6,2 % per jaar zich voortzet.

c

Hoeveel procent groei per jaar is er precies nodig vanaf 2015 om de doelstelling te halen?

8

In 2014 was er in West-Afrika een ebola-uitbraak: een dodelijke ziekte. In de grafiek hieronder zie je het verloop van het officieel geregistreerde aantal geïnfecteerden en het aantal mensen dat aan de ziekte is overleden.

Op 2 april waren er 127  geïnfecteerden geregistreerd en op 3 december 17.145 . Als we ervan uitgaan dat het aantal geïnfecteerden in deze periode exponentieel toe nam, dan is de groeifactor per maand afgerond op twee decimalen gelijk aan 1,85 .

a

Bereken deze groeifactor per maand nauwkeuriger met drie decimalen.

Op 5 januari 2015 bedroeg het totaal aantal officieel geregistreerde ebola-overledenen 8168 . Dat aantal was in de laatste maand explosief gestegen met 34,6 % .

b

Bereken het aantal aan ebola overledenen begin december 2014.

Stel dat het aantal overledenen vanaf januari 2015 maandelijks met 34,6 % bleef groeien. (Dat is gelukkig niet gebeurd.)

c

Vul de tabel hieronder in (rond af op hele getallen) en teken het bijbehorende toenamediagram.

We kijken nog wat preciezer naar de toenames in de tabel.

d

Bereken van maand tot maand de groeifactor van de toenames afgerond op 3  decimalen. Wat valt je op?

e

In welke maand zal het aantal overledenen voor het eerst met meer dan 50.000 toenemen?