Een trap bestaat uit treden. Het horizontale stuk heet de "aantrede", het verticale stuk heet de "optrede". Het hangt van de verhouding tussen de aantrede en de optrede af hoe steil de trap is.
We vergelijken drie trappen.
Trap 1 heeft een aantrede van $25$ cm en een optrede van $15$ cm.
Trap 2 heeft een aantrede van $21$ cm en een optrede van $12$ cm.
Trap 3 heeft een aantrede van $28$ cm en een optrede van $16$ cm.

Welke trap is het steilst en welke is het minst steil? Licht je antwoord toe.

In een assenstelsel is een rechte lijn getekend. We verplaatsen ons van een punt op de lijn naar een ander punt op de lijn. Om de "steilte" van de rechte lijn te bepalen, delen we de verticale verplaatsing door de horizontale verplaatsing. Hoe groter de uitkomst, des te steiler de lijn is.

De verticale verplaatsing is de toename van de tweede coördinaat $y$ ;
die noemen we $Δ y$ .
De horizontale verplaatsing is de toename van de eerste coördinaat $x$ ;
die noemen we $Δ x$ .
De "steilte" van de lijn wordt gegeven door $\frac{Δ y}{Δ x}$ .
Dat getal is de richtingscoëfficiënt (rc of rico) van de lijn.
Soms wordt het ook wel het hellingsgetal van de lijn genoemd.

Voor "toename" wordt dus de Griekse hoofdletter $Δ$ (delta) gebruikt, vergelijkbaar met onze hoofdletter D.

Hiernaast is in een assenstelsel een lijn met richtingscoëfficiënt $\frac{3}{4}$ getekend. We verplaatsen ons langs de lijn tussen twee punten.

Hoe groot is $Δ y$ bij deze lijn als $Δ x = 8$ ?
En als $Δ x = 2$ ?
En als $Δ x = 1$ ?

Hoe verplaats je je als $Δ x$ negatief is?
Hoe groot is $Δ y$ bij deze lijn als $Δ x = ‐ 2$ ?

De richtingscoëfficiënt van een lijn kan ook negatief zijn.

Teken in een assenstelsel een lijn met richtingscoëfficiënt $‐ 1 \frac{1}{2}$ .

Hoe groot is $Δ y$ bij deze lijn als $Δ x = 5$ ?
En als $Δ x = ‐ 2$ ?
En als $Δ x = 1$ ?

Hieronder zijn acht lijnen getekend: $A$ t/m $H$ . Eén van de lijnen heeft geen richtingscoëfficiënt; van de andere lijnen zijn de richtingscoëfficiënten $‐ 2$ , $‐ 1$ , $‐ \frac{1}{2}$ , $0$ , $\frac{1}{2}$ , $1$ en $2$ .

Geef van elke lijn de richtingscoëfficiënt.

Teken in een assenstelsel door het punt $(3,1)$ de lijnen met richtingscoëfficiënt $‐ 8$ , $‐ \frac{1}{8}$ , $\frac{1}{8}$ en $8$ .

Van twee lijnen door $(3,1)$ zijn de richtingscoëfficiënten $100$ en $‐ 100$ . Deze richtingscoëfficiënten verschillen erg veel van elkaar. Toch kun je de lijnen nauwelijks van elkaar in een assenstelsel onderscheiden.

Leg dat uit.

Bekijk hieronder de weg van $A$ naar $H$ .

Bereken de richtingscoëfficiënt van elk van de stukken $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D E$ , $E F$ , $F G$ en $G H$ .

In de applet van_A_naar_H kun je de punten $B$ t/m $G$ verslepen.

Maak hiermee een andere weg van $A$ naar $H$ , die bestaat uit zeven rechte stukken, met richtingscoëfficiënt achtereenvolgens $\frac{1}{2}$ , $2$ , $‐ \frac{1}{2}$ , $0$ , $\frac{2}{5}$ , $‐ 4$ en $2 \frac{1}{4}$ .

Vanuit de oorsprong $O$ van een assenstelsel worden rechte lijnen getrokken naar de punten $A (25,75)$ en $B (24,74)$ .

Ga met een berekening na welke van die twee lijnen, $O A$ of $O B$ , het steilst loopt (ten opzichte van de horizontale as).

Bereken de richtingscoëfficiënt van de lijn $A B$ .

Tangens en richtingscoëfficiënt

Hiernaast staat lijnstuk $A C$ getekend: van $A$ naar $C$ gaat het $7$ naar rechts en $3$ omhoog, dus het lijnstuk heeft richtingscoëfficiënt $\frac{3}{7}$ .
De hellingshoek van lijnstuk $A C$ is in de figuur aangegeven met de Griekse letter α.

In de derde klas heb je geleerd dat voor deze rechthoekige driehoek $A B C$ geldt:

tan(α) = $\frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde}$

(Denk aan het ezelsbruggetje 'TOA'.)

In dit geval geldt dus $\tan (α) = \frac{3}{7}$ .
Dit geeft (met knopje inv-tan of tan^-1 op je rekenmachine) hellingshoek α ≈ $23 °$ .

Bereken zonder rekenmachine de hellingshoek van een lijn met $r c = 1$ . En van een lijn met $r c = 0$ .

Bereken afgerond op hele graden de hellingshoek van een lijn met $r c = 2$ . En ook van een lijn met $r c = \frac{1}{2}$ . En ook van een lijn met $r c = \frac{2}{3}$ .

Hiernaast staat nogmaals sterk ingezoomd op hoekpunt $A$ het lijnstukje met $r c = \frac{3}{7}$ getekend.

Hoeveel gaat het lijnstukje omhoog als $Δ x = 1$ ?
En hoe groot is tan(α)?

Hoeveel gaat een lijn met $r c = \frac{2}{5}$ omhoog als $Δ x = 1$ ?
Hoe groot is dan tan(α)?

Hoeveel gaat een lijn met $r c = m$ omhoog als $Δ x = 1$ ?
Hoe groot is dan tan(α)?

Hiernaast staat een lijnstuk met hellingshoek $71 °$ getekend.
Je ziet in de figuur: als $Δ x = 1$ , dan $Δ y \approx 3$ .

Bereken (met de tangens) in 2 decimalen nauwkeurig de waarde van $Δ y$ .

Wat is (dus) de richtingscoëfficiënt van deze lijn?

Wat is de richtingscoëfficiënt van een lijn met hellingshoek $25 °$ ?

Als je van een lijn de hellingshoek weet, kun je met je rekenmachine de richtingscoëfficiënt bepalen, bijvoorbeeld in twee decimalen nauwkeurig.

Doe dat voor de hellingshoeken in onderstaande tabel.

hellingshoek	$10 °$	$20 °$	$30 °$	$40 °$	$50 °$	$60 °$	$70 °$	$80 °$
rc

Als de hellingshoek toeneemt, neemt ook de richtingscoëfficiënt toe. Is hier sprake van constante, toenemende of afnemende stijging?

Ga na of de volgende uispraak waar is: "Als de hellingshoek verdubbelt, dan verdubbelt ook de richtingscoëfficiënt."

Wat is (in twee decimalen) de richtingscoëfficiënt van een lijn met hellingshoek $89 °$ ? En bij een hellingshoek van $89,9 °$ ?

De hellingshoek van een rechte lijn in een assenstelsel is de hoek waarover je de positieve kant van de $x$ -as moet draaien om de lijn te krijgen. Daarbij draaien we tegen de klok in.

Als de richtingscoëfficiënt positief is, is de hellingshoek scherp (d.w.z. kleiner dan $90 °$ ).
Als de richtingscoëfficiënt negatief is, is de hellingshoek stomp.

α is de hellingshoek van een rechte lijn; α $\neq 90 °$ .
Dan geldt: richtingscoëfficiënt = tan(α).
Een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt.

Teken een lijn $k$ door $(0,0)$ met richtingscoëfficiënt $\frac{4}{5}$ .

Wat is de richtingscoëfficiënt van het spiegelbeeld van $k$ in de $x$ -as?
En van het spiegelbeeld in de $y$ -as?
En van het spiegelbeeld in de lijn $y = x$ ?

Hoe groot is de hellingshoek van elk van deze vier lijnen? Geef je antwoorden in hele graden nauwkeurig.

Welke richtingscoëfficiënt hoort bij een hellingshoek van $100 °$ ?
En bij een hellingshoek van $170 °$ ?

Welke hellingshoek, afgerond op hele graden, hoort bij richtingscoëfficiënt $‐ 3$ ?
En bij richtingscoëfficiënt $‐ \frac{1}{4}$ ?

Voorbeeld:

Wat is de richtingscoëfficiënt en wat is de hellingshoek van de lijn die door de punten $P (10,5)$ en $Q (15,2)$ gaat?

Oplossing

Als we ons van $P$ naar $Q$ verplaatsen, dan $Δ x = 15 - 10 = 5$ en $Δ y = 2 - 5 = ‐ 3$ .
Dus: de richtingscoëfficiënt is $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{‐ 3}{5} = ‐ 0,6$ .
Voor de hellingshoek α geldt: tan(α)= $‐ 0,6$ , dus α $\approx 149 °$ .

Wat is de richtingscoëfficiënt en wat is de hellingshoek van de lijn die door de punten $(‐ 5,2)$ en $(9,37)$ gaat?

Dezelfde vragen voor de lijn door de punten $(‐ 1,3)$ en $(15, ‐ 5)$ .

De coördinaten van punt $P$ noemen we $x_{P}$ en $y_{P}$ ; de coördinaten van punt $Q$ noemen we $x_{Q}$ en $y_{Q}$ .
Welke van de volgende vier uitdrukkingen is de richtingscoëfficiënt van lijn $P Q$ ?

a. $\frac{x_{Q} - x_{P}}{y_{Q} - y_{P}}$	b. $\frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{P} - x_{Q}}$
c. $\frac{y_{P} - y_{Q}}{x_{P} - x_{Q}}$	d. $\frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}}$

Gegeven zijn de punten $P (10,25)$ , $Q (100,475)$ en $R (1000,4975)$ .

Bereken de richtingscoëfficiënt van de lijn $P Q$ .

Bereken de richtingscoëfficiënt van de lijn $Q R$ .

Wat volgt hieruit over de ligging van deze drie punten?