We bekijken in een assenstelsel alle punten $(x, y)$ waarvoor geldt: $3 x + 5 y = 24$ .

Bereken $x$ als $y = 9$ .
Bereken $y$ als $x = 10$ .

Bereken voor de waarden van $x$ in de tabel hieronder de bijbehorende waarde van $y$ en omgekeerd.

$x$	$‐ 2$	$0$	$3$	$5 \frac{1}{2}$
$y$					$‐ 3$	$0$	$‐ 1 \frac{1}{2}$	$6$

Je hebt in vragen a en b negen punten $(x, y)$ gevonden waarvoor geldt: $3 x + 5 y = 24$ .

Teken deze punten in een assenstelsel.

Als je het goed gedaan hebt, liggen al deze punten op een rechte lijn. Wat is de richtingscoëfficiënt van die lijn?

Opmerking:

Je had de richtingscoëfficiënt van de lijn ook onmiddellijk kunnen vinden uit de gegeven vergelijking $3 x + 5 y = 24$ door deze anders te schrijven:

$3 x + 5 y$	$=$	$24$	MIN $3 x$
$5 y$	$=$	$‐ 3 x + 24$	DEEL DOOR $5$
$y$	$=$	$‐ \frac{3}{5} x + 4 \frac{4}{5}$

De factor waarmee in deze laatste formule $x$ wordt vermenigvuldigd, is de richtingscoëfficient: $‐ \frac{3}{5}$ .

Wat is de betekenis van het getal $4 \frac{4}{5}$ in deze laatste formule?

Schrijf elk van de volgende vergelijkingen in de gedaante
$y = a x + b$ .

$2 x + 4 y = 10$
$3 x - 2 y = 10$
$x = 8 - 2 y$
$‐ 2 x + 3 y + 12 = 0$
$2 (y - 3) = 3 (x + 2)$
$5 (x + y) = 3 (x - y)$

Wat is de richtingscoëfficiënt van de lijn met vergelijking
$2 x + 3 y = 11$ ?
En van $‐ 3 x - 4 y = 12$ ?

Iemand maakt $7$ liter verf van de kleur violet door $x$ liter rode en $y$ liter blauwe verf te mengen. Hij gebruikt daarbij $3 \frac{1}{2}$ keer zoveel rode als blauwe verf.

Welke formule voor $x$ en $y$ volgt uit het gegeven dat hij $3 \frac{1}{2}$ keer zo veel rode als blauwe verf gebruikt?

Welke formule voor $x$ en $y$ volgt uit het gegeven dat hij $7$ liter verf gaat maken?

Teken de bijbehorende grafieken in een assenstelsel.

Bereken langs algebraïsche weg de exacte waarden van $x$ en $y$ .
Hoeveel liter rode en blauwe verf gebruikt hij?

Van een antieke kroon is bekend dat hij geheel uit goud en zilver bestaat. Hoeveel van beide edelmetalen in de kroon is verwerkt, is niet bekend. De dichtheid van zilver is $10,5$ g/cm³, dat wil zeggen dat $1$ cm³ zilver $10,5$ gram weegt. De dichtheid van goud is $19,5$ g/cm³.

Als de kroon uit $7$ cm³ zilver en $5$ cm³ goud zou bestaan, hoe zwaar zou de kroon dan zijn?

Het aantal cm³ zilver in de kroon noemen we $x$ , het aantal cm³ goud noemen we $y$ .

Druk het totale gewicht van de kroon uit in $x$ en $y$ .

De kroon weegt $153$ gram en heeft een volume van $12$ cm³.

Welke twee formules voor $x$ en $y$ volgen hieruit?

Schrijf beide formules in de gedaante $y = a x + b$ .
Let op: gebruik eventueel breuken, dus niet afronden.

Teken de bijbehorende grafieken in één figuur.

Voor het snijpunt geldt dus:

‐ x + 12 = ‐ \frac{7}{13} x + 7 \frac{11}{13}

Bereken hieruit $x$ .
Wat is dus het snijpunt van de twee lijnen?

Uit hoeveel cm³ zilver en goud bestaat de kroon?

Anneke heeft een heleboel munten van $20$ -eurocent en van $50$ -eurocent gespaard. Het aantal munten van $20$ eurocent noemen we $x$ , het aantal munten van $50$ eurocent $y$ .
In totaal heeft ze $129$ munten met een totale waarde van $54$ euro.

Welke twee vergelijkingen voor $x$ en $y$ kun je uit dit verhaal afleiden?

Bereken langs algebraïsche weg $x$ en $y$ .
Hoeveel munten van elke waarde heeft zij?

Herhaling uit de derde klas
De grafiek van de vergelijking $y = a x + b$ is een rechte lijn.

De factor $a$ (waarmee $x$ wordt vermenigvuldigd) is de richtingscoëfficiënt van de lijn.
Als de $x$ met $1$ toeneemt, dan neemt de $y$ met $a$ toe.

Het getal $b$ is de tweede coördinaat van het snijpunt van de lijn met de $y$ -as.
( $a$ wordt ook wel het hellingsgetal en $b$ het startgetal genoemd.)

Voorbeeld:

Gevraagd wordt de vergelijking van de lijn die door de punten $A (3,4)$ en $B (‐ 5,6)$ gaat.
Oplossing

Bepaal eerst de richtingscoëfficiënt:
$a =$ $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{6 - 4}{‐ 5 - 3} = \frac{2}{‐ 8} = ‐ \frac{1}{4}$ .
Je weet nu: $y = ‐ \frac{1}{4} x + b$ .
Bepaal $b$ door de coördinaten van bijvoorbeeld punt $A$ in te vullen:
$4 = ‐ \frac{1}{4} \cdot 3 + b$ , dus $b = 4 \frac{3}{4}$ .
Het antwoord: $y = ‐ \frac{1}{4} x + 4 \frac{3}{4}$ .
Controleer je antwoord met behulp van punt $B$ :
$‐ \frac{1}{4} \cdot ‐ 5 + 4 \frac{3}{4} = 1 \frac{1}{4} + 4 \frac{3}{4} = 6$ en dat klopt.

De lijn $p$ gaat door $(‐ 2,1)$ en $(0,0)$ ,
de lijn $q$ gaat door $(‐ 2,1)$ en $(‐ 2,5)$ ,
de lijn $r$ gaat door $(‐ 2,1)$ en $(5,1)$ ,
de lijn $s$ gaat door $(‐ 2,1)$ en $(‐ 1,20)$ ,
en de lijn $t$ gaat door $(‐ 2,1)$ en $(‐ 8, ‐ 1)$ .

Stel een vergelijking op van elk van deze lijnen.

Een boer verbouwt suikerbieten. De suikerbieten zelf verkoopt hij aan de suikerfabriek, het loof gebruikt hij als veevoer. Het suikergehalte en de hoeveelheid loof van de suikerbieten hangen sterk af van de bemesting met nitraat. Dat is in onderstaand plaatje weergegeven. Op de verticale schaal links is de suikeropbrengst uitgezet, op de schaal rechts de loofopbrengst.

Omschrijf in woorden de samenhang tussen bemesting en suikergehalte.
Omschrijf ook de samenhang tussen bemesting en loofopbrengst.

$S$ = percentage suiker van de biet;
$L$ = loofopbrengst (in tonnen per ha);
$N$ = bemesting met nitraat (in kg per ha).

Stel een formule op voor beide verbanden.

Wat de suiker betreft is de suikerbietenteelt alleen rendabel als het suikergehalte ten minste $16,0$ % is. Wat het loof betreft is de bietenteelt alleen rendabel als de opbrengst ten minste $35$ ton per ha is.

Lees uit de grafiek af bij welke waarden van $N$ zowel de suiker- als de loofproduktie rendabel zijn.

Aflezen uit de grafiek is vaak niet erg nauwkeurig.

Bereken met je formule de minimale hoeveelheid nitraat die de boer per ha mag gebruiken opdat de loofopbrengst rendabel is.
Bereken met je formule de maximale hoeveelheid nitraat die de boer per ha mag gebruiken opdat de suikeropbrengst rendabel is.

Hoeveel kg nitraat per ha mag de boer dus gebruiken opdat zowel de suiker- als de loofproduktie rendabel zijn?

Gegeven is de lijn $k$ met vergelijking $a x + 4 y = 24$ .

Voor welke waarde van $a$ loopt lijn $k$ horizontaal?
Wat is dan de vergelijking van $k$ ?

Bereken de exacte waarde van $a$ als lijn $k$ door het punt $(‐ 3,10)$ gaat.

Bereken de waarde van $a$ als de richtingscoëfficiënt van lijn $k$ gelijk is aan $2$ .

Bereken de waarde van $a$ als lijn $k$ evenwijdig is met de lijn $y = \frac{1}{3} x + 10$ .

Lijn $k$ snijdt voor een bepaalde waarde van $a$ de $x$ -as in het punt $(‐ 8,0)$ . Bereken de coördinaten van het snijpunt van $k$ met de $y$ -as.

De wielrennerij wordt tegenwoordig ook wetenschappelijk bekeken. In Italië ontdekte professor Conconi een eenvoudig verband tussen de hartslag en het geleverde vermogen. Tot het verzuringspunt blijkt dat verband lineair te zijn, zoals de grafiek laat zien. Om de renner tot grotere prestaties te brengen moet het verzuringspunt naar rechts worden verschoven. Daartoe moet net onder het verzuringspunt worden getraind.

Links van het verzuringspunt is de grafiek een rechte lijn.

Stel voor dit deel van de grafiek een formule op voor het verband tussen de hartslag $H$ en het vermogen $V$ .

Opstijgende lucht koelt af. Hoe sterk hij afkoelt, hangt af van de vochtigheidsgraad. Hiernaast zie je een mogelijk temperatuurverloop bij toenemende hoogte. De temperatuur noemen we $T$ (in graden Celsius); de hoogte noemen we $h$ (in hm). Op hoogte $0$ (zeeniveau) is de temperatuur $20$ °C.
De knik in de grafiek hoort bij het dauwpunt; daarbij is de lucht verzadigd van waterdamp. (De plaats van het dauwpunt hangt af van de luchtvochtigheid en kan dus ook hoger of lager liggen.)

Stel voor beide stukken van de grafiek een vergelijking op.

Bereken de temperatuur van de lucht op $1350$ meter hoogte.

Het verschil van twee getallen is gelijk aan $13$ en de som van het ene getal met het dubbele van het andere getal is gelijk aan $37$ .

Stel twee vergelijkingen op en bereken hiermee welke getallen dat zijn. Geef exacte antwoorden.
(Let op: er zijn twee mogelijkheden!)