1.3  Toepassingen van hellingen >
Berghelling

In het Franse departement Haute Savoie ligt, ergens tussen de bergdorpen Morzine en Samoëns, de 1700  meter hoge Col de Joux-Plane, bekend uit de Tour de France. Behalve de vele wandelpaden naar de top is er ook een geasfalteerde weg over de top die Samoëns en Morzine verbindt. Deze weg is ontoegankelijk in de winter vanwege de sneeuw; de Fransen spreken van een "route d'été".
Hieronder is een plaatje van de route getekend, waarin de hoogte (altitude) kan worden afgelezen na 1  km horizontaal, na 2  km, na 3  km, enz. Bovendien is bij elk stukje van 1  km horizontaal aangegeven hoe steil de weg daar is. Hoe steiler de weg, hoe groter het "steiltegetal".

Voorbeeld: na 6  km horizontaal van Samoëns is de hoogte 1165  m, na 7  km is de hoogte 1260  m, daartussen is het steiltegetal 9,5 .

1
a

Heb je enig idee hoe dit steiltegetal is berekend?

b

Reken na dat het steiltegetal tussen 16 en 17 km na Samoëns klopt met de hoogtes bij dat stuk weg.

Bij drie stukjes van 1  km zijn geen steiltegetallen vermeld.

c

Waarom is dat daar niet gedaan, denk je?

Hellingspercentage

De steiltegetallen bij de route over de Col de Joux-Plane worden hellingspercentages genoemd.
Zo betekent een hellingspercentage van 15 % dat de weg per 100  meter horizontaal een stijging van 15  meter heeft.

2

Bekijk opnieuw het plaatje van de Col de Joux-Plane.

a

Hoeveel procent is de helling ongeveer van het laatste stukje naar de top ( 1700 meter hoog), komend vanuit Samoëns?

b

Stel je voor dat de weg van Samoëns naar de top overal even steil zou zijn. Hoe groot zou dan het hellingspercentage van de weg zijn?

3

Een wandelaar ziet aan de voet van een heuvel het nevenstaande waarschuwingsbord. De weg is 9  km lang. Hij rekent uit dat de heuvel 720  meter hoog is.

a

Hoe heeft de wandelaar dit berekend?

b

Waarom is het zeer onwaarschijnlijk dat hij gelijk heeft?

Hellingshoek

De steilte van een helling kan ook worden aangegeven met de hellingshoek in graden. Dat is de hoek die de helling maakt met een horizontaal vlak.

4

Let op het verschil tussen graden en procenten.

a

Maak een tekening op schaal van een helling met een hellingshoek van 8 ° en ook van een helling met een hellingspercentage van 8 %.

b

Welke is steiler: een helling met een hellingshoek van 8 ° of een helling met een hellingspercentage van 8 %?

5

Hoe groot is de hellingshoek bij een hellingspercentage van 100 %?

6

Van een oprit ligt het eindpunt 1,50  m hoger dan het beginpunt.

a

Bereken het hellingspercentage en de hellingshoek als de oprit horizontaal gemeten 5  meter lang is.

b

Bereken de hellingshoek als het hellingspercentage 10 % is.

Als we van een helling het hoogteverschil tussen begin- en eindpunt weten en ook de horizontale afstand, dan bepalen we het hellingspercentage als volgt:

  hellingspercentage = hoogteverschil afstand horizontaal 100 %.

Als we van een helling de hellingshoek α kennen, dan bepalen we het hellingspercentage als volgt:
  hellingspercentage = tan(α) 100 %.

Dus:
hellingshoek is 32 ° hellingspercentage is tan ( 32 ° ) 100 % 62,5 %
hellingspercentage is 20 % tan(hellingshoek) = 0,20 hellingshoek 11,3 °

Opmerking:

Zie je de overeenkomst tussen de berekening van het hellingspercentage van een helling en de richtingscoëfficiënt van een lijn?

  r c = Δ y Δ x = verschil afstand verticaal verschil afstand horizontaal

7

Een skilift moet over een horizontale afstand van 1200  meter een hoogte van 500 meter overwinnen. De kabel waarlangs de lift beweegt gaat overal even steil omhoog. (De doorbuiging die er in werkelijkheid wel is, verwaarlozen wij in deze opgave.)

a

Bereken de lengte van de kabel.

b

Bereken de hellingshoek van de kabel.

c

Bereken het hellingspercentage.

8

Vliegtuigen proberen snel na de start hoogte te winnen.

a

Waarom is het belangrijk dat vliegtuigen een groot liftvermogen hebben?

b

Hoe groot is de stijghoek van het vliegtuig in de figuur ongeveer?

We gaan uit van een vliegtuig met een stijghoek van 22 ° .
c

Bereken hoe groot de horizontale afstand is die het per minuut aflegt, als het vliegtuig 900  meter per minuut stijgt.

d

Bereken hoe groot dan de "schuine" afstand is die het per minuut aflegt.

Een vliegtuig waarvan de stijghoek half zo groot is, stijgt per minuut: 450  meter, meer dan 450  meter of minder dan 450  meter.

e

Ga met een berekening na wat het juiste antwoord is.

Herhaling derde klas
Bij vraag 34d heb je waarschijnlijk bij het berekenen van de "schuine" afstand de stelling van Pythagoras gebruikt.
Maar je hebt in de derde klas geleerd dat dit ook kan met de sinus en de cosinus:

sin ( 22 ° ) = 900 schuine afstand cos ( 22 ° ) = horizontale afstand schuine afstand

Algemeen:

sin(α) = overstaande rechthoekszijde schuine zijde cos(α) = aanliggende rechthoekszijde schuine zijde
9
Een vliegtuig heeft een stijghoek van 20 ° .
a

Bereken (met de sinus of de cosinus) hoe groot de "schuine afstand" is die dit vliegtuig per minuut aflegt als het stijgt met 750  meter per minuut.

b

Bereken (met de sinus of de cosinus) hoe groot de horizontale afstand is die dit vliegtuig per minuut aflegt als de schuine afstand met 2400  meter per minuut toeneemt.

We bekijken het nevenstaande waarschuwingsbord aan de voet van een heuvel. De weg is langs de weg gemeten 6  km lang.

c

Bereken afgerond op 2 decimalen de hellingshoek.

d

Bereken in meters nauwkeurig (met de sinus of de cosinus) de hoogte van de heuvel.
Let op: gebruik het onafgeronde antwoord van vraag b.

10

Een trap bestaat uit treden. Het horizontale stuk heet de "aantrede", het verticale stuk heet de "optrede". Het hangt van de verhouding tussen de aantrede en de optrede af hoe steil de trap is.

We bekijken een trap met een hellingshoek van 30 ° .
a

Wat is de verhouding tussen de aantrede en de optrede?

Een zoldertrap met 14  treden overbrugt 3  meter hoogteverschil. Wegens ruimtegebrek is de trap nogal steil: de hellingshoek is 62 ° .

b

Bereken de aantrede van de trap. Geef je antwoord afgerond op hele millimeters.