1.4  Gelijkmatige verandering >
1

Voor toeristen worden allerlei wandelingen in de Oostenrijkse Alpen gedetailleerd beschreven. In het boekje Kompass Wanderungen Ötztal-Pitztal gebeurt dat als volgt.

De tekening is niet de doorsnede van een berg; horizontaal is de tijd uitgezet in uren.
a

Schrijf alles op wat je uit het plaatje over de wandeling te weten komt.

Uiteraard zijn de gegevens in het plaatje gemiddelden. Je moet de gegevens dus niet al te precies nemen; het gaat hier om een model.

In een model is de vaak ingewikkelde werkelijkheid vereenvoudigd. In het model wordt aangenomen dat de werkelijkheid zich exact volgens een wiskundige formule, eenvoudig schema of geïdealiseerd plaatje gedraagt. Je ziet daarbij doelbewust af van allerlei kleine storingen die zich in de praktijk zullen voordoen. Je weet wel dat zo'n model de werkelijkheid nooit precies beschrijft. Maar toch is het nuttig met een model te werken; je krijgt een goed beeld van hoe de werkelijkheid gemiddeld en ongeveer is.

b

Noem eens een paar zaken waarom een daadwerkelijk uitgevoerde wandeling van Umhausen naar de Erlanger Hütte en terug zal afwijken van het model.

Anneke doet de wandeling. We nemen aan dat ze precies volgens het boekje loopt. Voor het gemak stellen we de hoogte van haar vertrekpunt op 1040  meter en de hoogte van de Erlanger Hütte op 2540  meter. Anneke vertrekt om 9.00  uur.

c

We berekenen in stappen op welke hoogte Anneke zich bevindt om 10.00  uur:
Om 10.00  uur is ze 1  uur onderweg, dan is ze ____ meter gestegen en is ze dus op ____ meter hoogte.

d

We berekenen in stappen op welke hoogte Anneke zich bevindt om 10.30  uur:
Om 10.30  uur is ze 1 1 2  uur onderweg, dan is ze ____ meter gestegen en is ze dus op ____ meter hoogte.

e

We berekenen in stappen op welke hoogte Anneke zich bevindt om 11.00  uur:
Om 11.00  uur is ze ____ uur onderweg, dan is ze ____ meter gestegen en is ze dus op ____ meter hoogte.

f

We berekenen in stappen op welke hoogte Anneke zich bevindt om t  uur (met 9 t 13 ):
Om t  uur is ze t ____ uur onderweg, dan is ze ____ ( t _____ )  meter gestegen en is ze dus op
_____ + _____ meter hoogte.

Boven aangekomen maakt Anneke gebruik van de gastvrijheid in de Erlanger Hütte, drinkt een glas fris, neemt taart met slagroom en rust ondertussen goed uit. Na anderhalf uur boven te zijn geweest, begint ze de terugweg. Dus om half drie start ze de afdaling. Weer volgens het boekje.

g

Hoe hoog bevindt Anneke zich om 15.45  uur?

h

En op welke hoogte is Anneke om t  uur (met 14 1 2 t 17 1 2 )?

2

Nog zo'n opgave als 37, maar nu zonder zoveel omslag.
Anneke vertrekt om 7.00  uur op 650  meter hoogte en arriveert om 11.00  uur op 1850  meter hoogte. We nemen aan dat haar wandeling weer ideaal gelijkmatig verloopt.

a

Teken een plaatje als bij opgave 37 en bepaal hoe hoog Anneke is om half negen.

b

En op welke hoogte is Anneke om t  uur (met 7 t 11 )?
Controleer je antwoord door voor t de getallen 7 en 11 in te vullen.

3

Moucha spaart voor een scooter. Die kost € 1025 . Ze heeft maar € 135 . Daarom heeft ze een krantenwijk genomen; daarmee gaat ze € 35 per week verdienen. Ze begint met haar krantenwijk in week 20 in haar agenda.

a

Hoeveel heeft Moucha in het begin van de week met nummer w ?

b

Bereken met behulp van een vergelijking in de hoeveelste week ze genoeg geld heeft om de scooter te kunnen kopen.

4

De Beechcraft Bonanza haalt een snelheid van 300 km/u bij windstil weer.
Omdat het vliegtuig voor vier vlieguren brandstof aan boord heeft, besluit de piloot na twee uur vliegen terug te keren naar zijn vertrekhaven. Als het windstil weer is en het vliegtuig vliegt steeds op volle kracht, ziet de tijd-afstand-grafiek er zó uit:

a

Hoe zie je in één oogopslag dat het vliegtuig heen en terug met dezelfde snelheid heeft gevlogen?

De grafiek bestaat uit twee rechte lijnen.

b

Stel een formule op voor beide lijnen. Zeg precies welke variabelen je gebruikt.

5

In het algemeen gaan stijging en daling niet zo gelijkmatig als in de opgaven tot nu toe is aangenomen. We keren even terug naar Annekes wandeling van Umhausen naar de Erlanger Hütte. In plaats van de rechte grafiek in opgave 37, staan hieronder twee andere grafieken. We gaan ervan uit dat Anneke met constante snelheid loopt.

Pas op: dit zijn géén doorsneden van de berg; horizontaal is de wandeltijd uitgezet! Verticaal is de hoogte uitgezet.

a

Beschrijf bij beide grafieken hoe Annekes wandeling verloopt.

b

Beschrijf bij beide grafieken hoe de berg eruit zou kunnen zien.

Bij een globale grafiek gaat het niet om de precieze waarden, maar om het grove verloop. De schaal waarop getekend is, is niet van belang; de getallen bij de assen worden daarom weggelaten. In de eerste grafiek van opgave 41 zie je dat de hoogte steeds sneller toeneemt.

6

We onderscheiden de volgende zes gevallen:

Constante stijging Constante daling
Afnemende stijging Afnemende daling
Toenemende stijging Toenemende daling

Het eerste plaatje van opgave 41 is een voorbeeld van toenemende stijging.
Schets bij elk van de andere gevallen een globale grafiek.

7

Een slagboom is gesloten. Hij is (vanaf het draaipunt gemeten) 6  meter lang. Het draaipunt bevindt zich 1  meter boven de grond. Iemand draait de slagboom omhoog tot hij in de verticale stand is. Elke seconde draait bij de slagboom over een even grote hoek.
We bekijken hoe de hoogte van het eindpunt van de slagboom boven de grond verandert in de tijd.

a

Met welke van de zes gevallen van opgave 42 hebben we hier te maken?

b

Schets een globale grafiek.

8

Een lat van 25  dm staat recht tegen een muur. Het voetpunt V van de lat wordt over de vloer met een constante snelheid weggetrokken. Het toppunt T zakt dan langs de muur naar beneden. Op een gegeven moment ligt de lat plat op de vloer en is de beweging afgelopen.

Veronderstel dat voetpunt V elke seconde 5  dm verder over de vloer wordt getrokken.

a

Teken dan de situatie na 0 , na 1 , na 2 , na 3 , na 4 en na 5  seconden.

b

Bereken exact de hoogte van T na 0 , na 1 , na 2 , na 3 , na 4 en na 5  seconden.

We bekijken hoe de hoogte van T boven de vloer in de tijd verandert.

c

Met welke van de zes gevallen van opgave 42 hebben we hier te maken?