2.1 De stelling van Pythagoras >

Hoofdstukken > Berekeningen in een driehoek

In figuur 1 zie je een schets van een basketbalveld. Daarin staan de twee driepuntslijnen. In figuur 2 zijn wat afmetingen van zo'n driepuntslijn gegeven.

figuur 1

figuur 2

Een driepuntslijn bestaat uit twee lijnstukken van $3$ meter en een stuk cirkel met straal $6,75$ m. Het middelpunt van de cirkel is $M$ , het punt op het veld onder het midden van de basket.

Bereken in twee decimalen hoe ver de twee rechte stukken van de driepuntslijn van elkaar afliggen.

(hint)

Teken de driehoek met hoekpunten $M$ , het overgangspunt (van recht naar gebogen op de driepuntslijn) en het punt op een recht stuk op afstand $1,6$ m van de achterlijn.

De stelling van Pythagoras is misschien wel de bekendste stelling uit de wiskunde. Elke middelbare scholier in Nederland leert hem.
De stelling is minstens 2500 jaar oud, en speciale gevallen van de stelling zijn nog ouder. Er zijn honderden bewijzen van de stelling. De meest bekende vorm van de stelling luidt: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ; dan moet je voor $a$ , $b$ en $c$ wel de juiste zijden nemen, en weten dat hij voor rechthoekige driehoeken geldt.

Pythagoras, geboren op het Griekse eiland Samos, leefde in de zesde eeuw voor Chr. Hij reisde naar Babylonië en Egypte en heeft daar waarschijnlijk zijn wiskundekennis opgedaan. Hij hield zich bezig met rekenkunde, meetkunde, muziek en astrologie. Pythagoras vestigde zich in Croton (een Griekse handelsstad in het zuiden van Italië), waar hij een filosofische school stichtte, een soort religieuze sekte met een heleboel regels (die op de moderne mens eigenaardig overkomen). Pythagoras' grote verdienste is dat hij de dingen met getallen uitdrukte. De stelling van Pythagoras is naar hem genoemd.

In het volgende bewijzen we deze stelling opnieuw, op verschillende manieren. We geven een algebraïsch bewijs; daarvoor moet je rekenen.
Eerst geven we een meetkundig bewijs; daarvoor moet je redeneren. In de Extra opgaven staat nog een algebraïsch bewijs.

De stelling van Pythagoras als legpuzzel

figuur 1

In figuur 1 zijn op de zijden van een rechthoekige driehoek vierkanten gezet.
In figuur 2 zijn de drie vierkanten nog eens getekend met acht kopieën van de rechthoekige driehoek.

figuur 2

Links in figuur 2 staan de twee kleinere vierkanten en vier driehoeken. Daarmee kun je een vierkant leggen. Rechts in figuur 2 staat het grote vierkant en vier driehoeken. Ook hiermee kun je een vierkant leggen.

Teken hoe je dat kunt doen. (Als je hulp nodig hebt: op het knipblad staan de acht rechthoekige driehoeken met de drie vierkanten.)

Leg nu uit dat de oppervlakte van de twee kleinere vierkanten samen hetzelfde is als de oppervlakte van het grote vierkant.

Uit bovenstaande volgt de stelling van Pythagoras.

De oppervlakte van de vierkanten op de rechthoekszijden samen is gelijk aan de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde.
In de figuur:
oppervlakte $1 +$ oppervlakte $2 =$ oppervlakte $3$ .

Een ander mooi "knipbewijs" van de stelling van Pythagoras vind je in de applet "knipbewijs" .

We gaan de stelling van Pythagoras nu algebraïsch bewijzen. Hierbij wordt wel gerekend; we hebben één van de drie “merkwaardige producten” nodig.

Merkwaardige producten

${(w + z)}^{2} = w^{2} + 2 w z + z^{2}$
${(w - z)}^{2} = w^{2} - 2 w z + z^{2}$
$(w + z) (w - z) = w^{2} - z^{2}$

“Merkwaardig” moet hier in een oude betekenis gelezen worden: waard om te merken = onthouden.

Algebraïsch geformuleerd ziet de stelling van Pythagoras er zó uit.

De rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek noemen we $a$ en $b$ , de schuine zijde $c$ . Dan is $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Met een rechthoekige driehoek en drie kopieën wordt de nevenstaande figuur gelegd. Er ontstaan twee vierkanten: een groot blauw met daarop een kleiner wit. De zijden van de rechthoekige driehoeken zijn: $a$ , $b$ en $c$ .
De oppervlakte van het grote vierkant is: ${(a + b)}^{2}$ .
Je kunt de oppervlakte van dat vierkant ook in $a$ , $b$ en $c$ uitdrukken door de oppervlakte van de vier blauwe driehoeken en het witte vierkant bij elkaar op te tellen. Dit leidt tot een vergelijking.

Laat door vereenvoudigen zien dat hieruit de stelling van Pythagoras volgt.

Opmerking:

In Bouwtechniek, Meten en Uitzetten wordt uitgelegd hoe je een rechte hoek uit kunt zetten. Daarvoor gebruik je een zogenaamde bouwhaak.
De bouwhaak wordt ook wel de 3-4-5-steek genoemd. Op de drie latten zet je lengtes uit in de verhouding $3 : 4 : 5$ . Bijvoorbeeld: $3 \times 20$ cm, $4 \times 20$ cm en $5 \times 20$ cm.

Hier wordt het omgekeerde van de stelling van Pythagoras gebruikt.
Als in een driehoek met zijden $a$ , $b$ en $c$ geldt dat $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , dan is de hoek tegenover zijde $c$ recht.
Dat de omkering van de stelling van Pythagoras ook waar is, beredeneren we in het volgende.

Redenering

Stel dat je van een driehoek met zijden $a$ , $b$ en $c$ weet dat $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .
Dan is deze driehoek hetzelfde als een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $a$ en $b$ , want ze hebben alle zijden gelijk, dus heeft de driehoek een rechte hoek (namelijk de hoek tegenover zijde $c$ ).

De omkering van de stelling van Pythagoras is dus ook waar: als voor de zijden $a$ , $b$ en $c$ van een driehoek geldt: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , dan is de driehoek rechthoekig.

In een driehoek met zijden $a$ , $b$ en $c$ geldt:
hoek $C$ is recht $\Leftrightarrow$ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Opmerking:

Het teken $\Leftrightarrow$ staat tussen twee beweringen. Het geeft aan dat die beweringen op hetzelfde neerkomen.

In figuur 1 is een driehoek getekend waarvan de zijden $4$ , $7$ en $8$ cm lang zijn.

figuur 1

figuur 2

Ga met een berekening na of de driehoek rechthoekig is.

In figuur 2 staat een driehoek met zijden van $16$ , $30$ en $34$ .

Ga met een berekening na of de driehoek rechthoekig is.

De stelling van Pythagoras om de afstand van twee punten in een assenstelsel te berekenen

Gegeven zijn de punten $A (‐ 3, ‐ 2)$ en $B (2,1)$ .

Bereken $A B$ exact.

Bereken exact de afstand van de punten $C (13, -2)$ en $D (‐2, 7)$ .

De afstand van $P (p, q)$ tot $A (a, b)$ in een assenstelsel is:
$\sqrt{{(p - a)}^{2} + {(q - b)}^{2}}$ .

In een assenstelsel zijn de punten $A (‐ 1,3)$ , $B (‐ 2, ‐ 4)$ en $C (1, ‐ 3)$ gegeven.

Bereken de zijden van driehoek $A B C$ .

Laat zien dat hoek $A C B$ recht is.

Ook zonder de zijden van de driehoek uit te rekenen kun je laten zien dat hoek $A C B$ recht is.

Hoe?