1

Fatima staat bij een put. Door wat verder van de put te gaan staan, kan ze, langs de rand van de put kijkend, nog net de bodem zien. Op dat moment zijn haar ogen 60  cm van de rand van de put en 1  meter hoger dan de rand. De diameter van de put heeft ze gemeten, die is 3  meter. In het plaatje is de situatie schematisch getekend.

De twee rechthoeken in het plaatje zijn gelijkvormig.

a

Wat is de vermenigvuldigingsfactor waarmee je de kleine rechthoek moet vermenigvuldigen om de grote te krijgen?

b

Hoe diep is de put?

Opmerking:

In opgave 7 heb je twee gelijkvormige driehoeken, in het plaatje hiernaast oker en blauw. Ze zijn gelijkvormig omdat ze twee hoeken gelijk hebben:
beide driehoeken hebben een rechte hoek en de hoeken met het zwarte bolletje (overstaande hoeken) zijn gelijk. De grote driehoek is een uitvergroting van de kleine.
De vergrotingsfactor is 3 0,6 = 5 , dus de diepte van de put is 5 ⋅ 1 = 5  meter.

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de een een uitvergroting is van de ander.
Dit is bijvoorbeeld het geval als ze twee hoeken hetzelfde hebben. Corresponderende zijden hebben dan dezelfde verhouding.
De driehoeken A B C en P Q R zijn gelijkvormig.

De corresponderende zijden zijn a en p (ze liggen tegenover dezelfde hoek), b en q (idem) en c en r (idem).
Dus: a p = b q = c r .
Je kunt ook zeggen: a : b : c = p : q : r .

2

Van de driehoeken A B C en P Q R zijn de hoeken P , Q , B en C gegeven.

a

Waarom zijn deze driehoeken gelijkvormig?

b

Wat is de vergrotingsfactor van de grote naar de kleine driehoek (in dit geval een getal tussen 0 en 1 ?

c

Bereken de lengte van zijde P Q .


De lengte van A C en P R kun je nog niet berekenen, dat doe je in paragraaf 4, opgave 36.

3

De hoeken A C B en A E D zijn recht.

a

Waarom zijn de driehoeken A D E en A B C gelijkvormig?

(hint)
Als deze opgave problemen oplevert, bekijk dan eerst opgave 4 van de rekentechniek.
b

Bereken A B exact. Schrijf je berekening op.

c

Bereken A E exact.
Gebruik gelijkvormigheid.

4

Op de oude plaat zie je iemand met een kwadrant aan het werk. Dit is een instrument met een gradenboog en een vierkant, waarbij op de zijden van het vierkant een maatverdeling is aangebracht. Aan het kwadrant werden vaak een schietlood en een vizier aangebracht. Met zo’n kwadrant kun je metingen verrichten zoals in de tekening is aangegeven. Op die manier kun je bijvoorbeeld de diepte van een put bepalen. De afmetingen bij de tekening zijn in cm.

Bereken de diepte van de put.

5

A B C D is een rechthoek. M is het midden van A B . Het snijpunt van D M en A C is S .

a

Toon aan: D S = 2 ⋅ M S .

(hint)

De driehoeken A S M en C S D zijn gelijkvormig.

Veronderstel dat D M = 15 .

b

Bereken S M exact.

6

A B C D is een rechthoekig trapezium (de hoeken A D C en D A B zijn recht).
Verder A B = 6 , A D = 3 en C D = 2 . Zie figuur 1.

figuur 1
figuur 2
figuur 3
a

Bereken A C , B C en B D exact.

Het snijpunt van de diagonalen van het trapezium noemen we S . Zie figuur 2.

b

Bereken A S exact.

Het snijpunt van de lijnen A D en B C noemen we T . Zie figuur 3.

c

Bereken D T exact.

7

A B C D is een trapezium ( A B en C D zijn evenwijdig).

a

Leg uit dat de driehoeken A B C en A B D gelijke oppervlakte hebben.

b

Waarom hebben de driehoeken A D S en B C S gelijke oppervlakte?

Neem aan: A B = 2 ⋅ C D .

c

Toon aan dat de oppervlakte van driehoek A B S 4  keer de oppervlakte van driehoek C D S is.