2.4 De sinusregel >

Hoofdstukken > Berekeningen in een driehoek

Natuurbeschermers willen een monumentale boom op kaart vastleggen. Met een GPS instrument is dat tegenwoordig niet moeilijk. Toen die er nog niet waren, gebeurde dat met hoekmeting. In het veld kun je hoeken meten met een theodoliet.

Het punt waar de Bochtstraat op de N275 uitkomt, noemen we $A$ en het punt waar de Vrijkebomenweg op de N275 uitkomt, $B$ .
De boom staat ten noorden van de N275.
De plaats waar de boom staat noemen we $X$ . In $A$ meet je hoek $B A X$ , die is $10 °$ . In $B$ meet je hoek $A B X$ , die is $37 °$ .

Teken het punt $X$ op het kaartje op het werkblad.

De afstand van $A$ tot $B$ is $1100$ meter.

Teken driehoek $A B X$ op schaal. Neem $A B = 11$ cm.

Meet in je driehoek hoe ver de boom van $B$ af staat. Schrijf je berekening op.

Een driehoek ligt vast als je twee hoeken en een zijde van de driehoek kent. Je kunt de driehoek tekenen en de zijden die je nog niet kent opmeten. Je kunt ze ook berekenen, dat gaat met de sinusregel. Daarover gaat deze paragraaf.

De oppervlakte van een parallellogram

figuur 1

De opening aan de voorkant van een luciferdoosje is een rechthoek van $1,5$ cm hoog en $5$ cm breed. De lege huls van het doosje wordt langzaam platgedrukt. In alle tussenstadia is de opening een parallellogram met zijden van $1,5$ en $5$ cm. Zie figuur 1.

figuur 2

De oppervlakte van de opening wordt steeds kleiner. In figuur 2 zie je de voorkant. De scherpe hoek tussen de zijden is $30 °$ .

Bereken de hoogte van het parallellogram exact.

Het parallellogram kun je zo in tweeën knippen dat je er een rechthoek van kunt leggen.

Laat met een schetsje zien hoe dat gaat.

Bereken de oppervlakte van het parallellogram exact.

figuur 1

Uit een plank van $5$ cm breed wordt een parallellogram gezaagd. Dat is onderaan (en dus ook bovenaan) $4$ cm breed.

Laat met een schets zien dat je het parallellogram met één keer knippen tot een rechthoek van $4$ bij $5$ cm kunt leggen.

figuur 2

Ook van het parallellogram in figuur 2 kun je een rechthoek van $4$ bij $5$ cm maken. Je moet wel twee keer knippen.

Laat zien hoe.

Wat is de oppervlakte van het parallellogram in figuur 2?

figuur 1

Het parallellogram in figuur 1 heeft zijden van $6$ en $7$ . Eén van de hoeken tussen de zijden is $60 °$ .

Bereken de exacte hoogte van het parallellogram en de oppervlakte.

figuur 2

Bij het parallellogram in figuur 2 zijn de zijden $a$ en $b$ en de (scherpe) hoek tussen de zijden is α.

Druk $h$ uit in α en $b$ .

Laat zien dat de oppervlakte van het parallellogram in figuur 2 gelijk is aan $a \cdot b \cdot$ sin(α).

De twee stompe hoeken van het parallellogram noemen we $β$ .

Waarom is de oppervlakte van het parallellogram ook gelijk aan $a \cdot b \cdot$ sin(β)?

De zijden van een parallellogram zijn $a$ en $b$ . Een van de hoeken van het parallellogram is α.
Dan is de oppervlakte van het parallellogram: $a \cdot b \cdot$ sin(α).

Voorbeeld:

In figuur 1 hieronder staat een parallellogram met zijden $8$ en $4$ . Eén van de hoeken is $150 °$ .

Vraag

Bereken de oppervlakte van het parallellogram in figuur 1 exact.

Oplossing

De oppervlakte van het parallellogram is: $4 \cdot 8 \cdot \sin (150 °) = 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 16$ .

figuur 1

figuur 2

Voorbeeld

Het parallellogram in figuur 2 heeft zijden $5$ en $8$ .
De oppervlakte van het parallellogram is $32$ .

Vraag

Bereken de hoeken van het parallellogram in één decimaal.

Oplossing

Noem één van de scherpe hoeken van het parallellogram $α$ .
Dan geldt: $8 \cdot 5 \cdot \sin (α) = 32$ , dus $\sin (α) = 0,8$ , dus $α = \sin^{‐ 1} (0,8) \approx 53,1 °$ .
Dus twee hoeken zijn $53,1 °$ en twee hoeken zijn $126,9 °$ .

Bereken de oppervlakte van het parallellogram hiernaast in twee decimalen.

Van een parallellogram zijn de zijden $10$ en $15$ lang. De hoeken van het parallellogram zijn $60$ en $120$ graden.

Bereken de exacte oppervlakte van het parallellogram.

Van een parallellogram zijn de zijden $5$ en $7$ . De oppervlakte van het parallellogram is $21$ .

Bereken de hoeken van het parallellogram in graden nauwkeurig.

De getekende sterren zijn opgebouwd uit dezelfde ruiten met zijde $1$ .

Bereken van elke ster de oppervlakte. Geef een exact antwoord en een benadering in twee decimalen.

De oppervlakte van een driehoek

Afspraak

In driehoek $A B C$ noemen we

de grootte	van hoek $A$	α
	van hoek $B$	β
	van hoek $C$	γ
de lengte	van zijde $A B$	$c$
	van zijde $A C$	$b$
	van zijde $B C$	$a$

Merk op dat:
de zijde met lengte $a$ tegenover hoek $A$ ligt,
de zijde met lengte $b$ tegenover hoek $B$ en
de zijde met lengte $c$ tegenover hoek $C$ .

Een driehoek heeft zijden van $3$ en $4$ . De hoek tussen de zijden is $45 °$ . Met nog zo'n driehoek kun je een parallellogram maken zó dat een van de hoeken van het parallellogram $45 °$ is.

Laat in een schets zien hoe.

Bereken de oppervlakte van het parallellogram exact.

Wat is de oppervlakte van de driehoek dus?

Met twee dezelfde driehoeken als hiernaast kun je een parallellogram maken met zijden $2$ en $3$ waarvan één van de hoeken $120 °$ is.

Laat zien hoe.

Bereken de oppervlakte van de driehoek hiernaast exact.

De oppervlakte van driehoek $A B C =$	$\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot$ sin(γ)
	$\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot$ sin(α)
	$\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot$ sin(β)

Voorbeeld:

Zie figuur 1 hieronder.

Vraag

Bereken de oppervlakte van driehoek $A B C$ exact.

Oplossing

De oppervlakte driehoek $A B C$ is $\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin (α) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin (30 °) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 3$ .

figuur 1

figuur 2

Voorbeeld

Zie figuur 2.
Het latje $S X$ van lengte $5,0$ zit scharnierend aan latje $A S$ van lengte $3,7$ vast. Tussen $A$ en $X$ is een elastiekje gespannen. Als je hoek $A S X$ groter maakt, wordt de oppervlakte van driehoek $A S X$ eerst groter en als de hoek stomp wordt, weer kleiner.

Vraag

Bereken hoek $A S X$ in graden nauwkeurig als de oppervlakte van driehoek $A S X$ gelijk is aan $3,9$ . (Er zijn dus twee oplossingen.)

Oplossing

Er geldt: $\frac{1}{2} \cdot 5,0 \cdot 3,7 \cdot \sin (∠ A S X) = 3,9$ , dus $\sin (∠ A S X) = 0,42 \dots$ .
$\sin^{‐ 1} (0,42) \dots \approx 25 °$ , dus als hoek $A S X$ scherp is, dan $∠ A S X = 25 °$ en als hoek $A S X$ stomp is, dan $∠ A S X = 155 °$ .

Van driehoek $A B C$ is gegeven: hoek $A$ is $150 °$ , $A B = 2$ en $A C = 4$ .

Bereken de oppervlakte van driehoek $A B C$ exact.

Van driehoek $A B C$ is de oppervlakte $20$ . Verder: $A B = 12$ en $A C = 10$ .

Bereken hoek $A$ in graden nauwkeurig.

In opgave 8 heb je gezien dat de twee driehoeken in het plaatje rechts gelijkvormig zijn, dat de vergrotingsfactor van groot naar klein $\frac{25}{45} = \frac{5}{9}$ is en dat $P Q = 15$ .

Bereken de oppervlakte van de grote en de kleine driehoek in twee decimalen.

Nu je de oppervlakte van de grote driehoek kent, kun je ook de derde zijde van driehoek $A B C$ uitrekenen.
Er geldt: oppervlakte driehoek $A B C = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot 27 \cdot \sin (135 °)$ .

Ga dat na en bereken hiermee $A C$ in één decimaal.

Van de scherphoekige driehoek $A B C$ is de oppervlakte $24 \sqrt{3}$ . Zijde $A B = 8 \sqrt{3}$ en zijde $A C = 12$ .

Bereken hoek $C A B$ exact.

Bereken de lengte van zijde $B C$ exact.

(hint)

Teken de hoogtelijn uit

C

De hoekpunten van een regelmatige vijfhoek met oppervlakte $30$ liggen op een cirkel.

Bereken de straal van die cirkel in twee decimalen.

(hint)

Verdeel de vijfhoek vanuit het middelpunt van de cirkel in vijf gelijkbenige driehoeken.

De sinusregel

Uit de regel voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek hierboven volgt: $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot$ sin(γ) $=$ $\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot$ sin(α) $=$ $\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot$ sin(β).
Vermenigvuldig de regel hierboven met $2$ en deel daarna door $a \cdot b \cdot c$ .
Dan krijg je het volgende.

Sinusregel

$\frac{sin (α)}{a} = \frac{sin (β)}{b} = \frac{sin (γ)}{c}$

Voorbeeld:

Zie figuur 1 hieronder.

Vraag

Bereken $A C$ in twee decimalen.

Oplossing

Er geldt: $\frac{\sin (20 °)}{A C} = \frac{\sin (25 °)}{27}$ , dus $A C = \frac{27 \cdot \sin (20 °)}{\sin (25 °)} \approx 21,85$ .

figuur 1

figuur 2

Voorbeeld

Zie figuur 2.

Vraag

Bereken de lengte van de zijden van de driehoek tegenover de hoeken van $55 °$ en $40 °$ in twee decimalen nauwkeurig.

Oplossing

We noemen de hoekpunten van de driehoek $A$ , $B$ en $C$ , met $A$ linksonder en $B$ rechtsonder.
Dan geldt volgens de sinusregel:
$\frac{a}{sin(55 °)} = \frac{b}{sin(40 °)} = \frac{10}{sin(85 °)}$
Dus: $a = \frac{10}{sin(85 °)} \cdot sin(55 °) \approx 8,22$
en $b = \frac{10}{sin(85 °)} \cdot sin(40 °) \approx 6,45$ .

Bekijk nog eens het antwoord van opgave 26, zie figuur.

Gegeven is: $A B = 1100$ meter, $∠ A B X = 37 °$ en $∠ B A X = 10 °$ .

Bereken de afstand van $B$ tot $X$ in meter nauwkeurig.

Bereken in de volgende vijf figuren de zijde of hoek waar het vraagteken bij staat.
Vierhoek $K L M N$ is een symmetrische pijlpuntvlieger.
Geef je antwoorden in één decimaal nauwkeurig.

Opmerking:

Bekijk nog eens driehoek $N O P$ in de vorige opgave.
Je vindt $sin (∠ N O P) = \frac{4}{5}$ . De rekenmachine geeft een scherpe hoek van ongeveer $53 °$ bij een hoek waarvan de sinus $\frac{4}{5}$ is. In dit geval moet je een stompe hoek hebben, dus $∠ N O P = 127 °$ , want $sin (α) = sin (180 ° - α)$ .
Een hoek ligt dus niet vast door zijn sinus!

In de praktijk

Een landmeter kan met zijn theodoliet eenvoudig en nauwkeurig hoeken meten (op $0,0001 °$ nauwkeurig!).
Het opmeten van afstanden is veel moeilijker. (Hij moet bijvoorbeeld omlopen omdat er een heg of een sloot is.) Hij beperkt zich tot het nauwkeurig meten van één afstand. Om de overige afstanden te bepalen, meet hij hoeken. De afstanden berekent hij dan met trigonometrie (= driehoeksmeting; het Griekse woord γόνυ (gonu) betekent hoek). Dat heet in de landmeetkunde voorwaartse insnijding. Deze methode kun je alleen in de “lagere geodesie” gebruiken, de landmeetkunde waarbij het aardoppervlak als plat kan worden beschouwd. Hoe het werkt, heb je bijvoorbeeld in opgave 26 gezien. In opgave 41 zie je weer een voorbeeld van deze werkzijze.

De eerste driehoeksmeting werd uitgevoerd door Willebrord Snel van Royen uit Leiden. Hij bepaalde de afstand tussen Bergen op Zoom en Alkmaar met behulp van een netwerk van aaneengesloten driehoeken tussen torens in veertien steden. Op al deze punten voerde hij richtingsmetingen naar enkele van de andere torens uit. Onder andere in een weiland bij Leiden werd door hem een basis (afstand) gemeten waarmee hij, via een aantal hulpdriehoeken, de grootte van het driehoeksnet bepaalde.
Uit: 175 jaar kadaster GEO-INFO 2007-5

Bij de berekeningen die hierbij uitgevoerd moesten worden, moet je denken aan die in de volgende opgave.

Een landmeter weet dat de afstand tussen $A$ en $B$ $236$ m is. Hij wil de afstand van $C$ tot $D$ weten. In $A$ , $B$ en $D$ meet hij hoeken. De resultaten zie je in de tekening.

Bereken $C D$ in één decimaal.

Driehoek $A B C$ is rechthoekig in $B$ . De schuine zijde $A C = 5$ . Op lijnstuk $A B$ ligt $D$ zó, dat $A D = 2$ . Er geldt: $∠ A C D = 19 °$ . Zie figuur.

Bereken hoek $A D C$ in graden nauwkeurig.

Bereken de rechthoekszijden van driehoek $A B C$ in één decimaal.

Van driehoek $A B C$ is gegeven: α $= 30 °$ , $b = 6$ en $a = 4$ .

Teken driehoek $A B C$ zo nauwkeurig mogelijk. Er zijn twee mogelijkheden, één waarbij hoek $B$ stomp is en één waarbij hoek $B$ scherp is.

Wat is het verband tussen de scherpe hoek $B$ in de ene driehoek en de stompe hoek $B$ in de andere?

Bereken sin(β). Welke mogelijkheden voor β volgen hieruit?

Bereken γ en $c$ voor het geval dat hoek $B$ scherp is en ook voor het geval dat hoek $B$ stomp is.