Hoofdstukken > Berekeningen in een driehoek

Teken een driehoek met zijden $3$ en $4$ en hoek tussen die zijden $40 °$ .

Er is maar één driehoek met deze eigenschappen. De derde zijde ligt vast. Je kunt hem niet met de sinusregel berekenen, probeer maar. Dat kan wel met de cosinusregel. Die behandelen we in deze paragraaf.

Teken een driehoek met zijden van $13$ , $20$ en $21$ .

Er is maar één driehoek met deze eigenschappen. De hoeken liggen dus vast. In de volgende onderdelen gaan we ze berekenen.
Het is ook een voorbereiding op het bewijs van de cosinusregel in de volgende opgave.

De driehoek uit het vorige onderdeel staat hiernaast. Het hoekpunt tegenover de zijde $20$ heet $A$ , tegenover de zijde $13$ heet $B$ en tegenover de zijde $21$ heet $C$ . $C D$ is de hoogtelijn uit $C$ , met $D$ op lijnstuk $A B$ . $A D$ noemen we $x$ en $C D$ noemen we $h$ . Verder zie plaatje.

Toon aan: $h^{2} = 169 - x^{2}$ en $h^{2} = ‐ 41 + 42 x - x^{2}$ .

Ga na dat hieruit volgt: $169 = ‐ 41 + 42 x$ en bereken hieruit $x$ en $h$ .

Bereken de hoeken van driehoek $A B C$ in graden nauwkeurig.

In de volgende opgave bewijzen we de cosinusregel.

Bekijk de driehoek. $C D$ is de hoogtelijn uit $C$ van driehoek $A B C$ .

Er geldt: $A D = b \cdot cos (α)$ , ga dat na.

In het volgende schrijven we, om haakjes te vermijden, $\cos^{2} (α)$ in plaats van ${(\cos (α))}^{2}$ .

Laat zien dat: $h^{2} = b^{2} - b^{2} \cdot {cos}^{2} (α)$ en $h^{2} = a^{2} - {(c - b \cdot cos (α))}^{2}$ .

Haakjes wegwerken geeft:
$a^{2} - {(c - b \cdot cos (α))}^{2} = a^{2} - c^{2} + 2 b \cdot c \cdot cos (α) - b^{2} \cdot {cos}^{2} (α)$ .

Waarom geldt nu: $b^{2} - b^{2} \cdot {cos}^{2} (α) = a^{2} - c^{2} + 2 b \cdot c \cdot cos (α) - b^{2} \cdot {cos}^{2} (α)$ ?

Laat zien dat: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b \cdot c \cdot cos (α)$ .

Door de rollen van bijvoorbeeld $A$ en $B$ te verwisselen krijg je $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a \cdot c \cdot cos (β)$ , enzovoort.

Cosinusregel

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b \cdot c \cdot cos (α)$
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a \cdot c \cdot cos (β)$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a \cdot b \cdot cos (γ)$

Opmerking:

In opgave 45 ligt de hoogtelijn uit $C$ tussen $A$ en $B$ , maar als $α$ stomp is ziet het er zó uit.

Ook in dit geval gelden de regels als hierboven. Het bewijs staat in Extra opgave 11.

Voorbeeld:

Hiernaast staat de driehoek die je in opgave 44a moest tekenen.

Vraag

Bereken $B C$ in één decimaal en de hoeken $B$ en $C$ in graden nauwkeurig.

Oplossing

We noemen $∠ B A C = α$ en $∠ A B C = β$ .
De zijden tegenover de hoeken $A$ , $B$ en $C$ noemen we $a$ , $b$ en $c$ .

We gebruiken de regel: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b \cdot c \cdot cos (α)$ .
Invullen geeft: $a^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot cos (40 °) \approx 6,61...$ , dus $B C = a = \sqrt{6,61 \dots} = 2,6$ .

Om $β$ te berekenen, kun je bijvoorbeeld de regel
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a \cdot c \cdot cos (β)$ gebruiken. Wij gebruiken de sinusregel.
Invullen in $\frac{sin (α)}{a} = \frac{sin (β)}{b}$ geeft: $\frac{sin (40 °)}{2,5719...} = \frac{sin (β)}{3}$ , dus $sin (β) = 3 \cdot \frac{sin (40 °)}{2,5719...} \approx 0,749...$ , dus hoek $B$ is $β = 49 °$ .
Dus hoek $C$ is $γ = 180 ° - 49 ° - 40 ° = 91 °$ .

Voorbeeld

In opgave 44b moest je een driehoek tekenen met zijden $13$ , $20$ en $21$ .
In het laatste onderdeel van die opgave moest je de hoeken van die driehoek in graden nauwkeurig berekenen. Daar hebben we dat gedaan door een hoogtelijn van de driehoek te tekenen. Maar het kan nu ook direct met de cosinusregel.
We berekenen als voorbeeld de hoek $α$ tegenover de zijde van lengte $20$ .
Volgens de cosinusregel geldt: $20^{2} = 21^{2} + 13^{2} - 2 \cdot 21 \cdot 13 \cdot \cos (α)$ . Dus $\cos (α) = \frac{5}{13}$ en $α = 67 °$ .

Opmerking:

Welke regel moet ik toepassen?

We hebben eigenlijk zes regels om zijden of hoeken in driehoek $A B C$ te berekenen.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b \cdot c \cdot cos (α)$	$\frac{sin (α)}{a} = \frac{sin (β)}{b}$
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a \cdot c \cdot cos (β)$	$\frac{sin (α)}{a} = \frac{sin (γ)}{c}$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a \cdot b \cdot cos (γ)$	$\frac{sin (β)}{b} = \frac{sin (γ)}{c}$

Je probeert ze alle zes. Als er, na invullen, twee onbekenden in zo'n regel blijven staan, kun je hem niet direct gebruiken. In dat geval probeer je een andere regel.

Voorbeeld:

Zie plaatje.

Vraag

Bereken hoek $R P Q$ in graden nauwkeurig.

Oplossing

Een 'sinusregel' gebruiken heeft geen zin, want je kent geen enkele hoek.
We passen de regel $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b \cdot c \cdot cos (α)$ toe, met $a = 12$ , $b = 5$ en $c = 10$ , dan is $α = ∠ R P Q$ .
Je krijgt: $144 = 100 + 25 - 100 \cdot cos (α)$ , dus $cos (α) = ‐ 0,19$ en hoek $P$ is $α = 101 °$ .

Gegeven zie figuur 1.

Bereken de lengte van de diagonalen van het parallellogram in twee decimalen.

figuur 1

figuur 2

Gegeven zie figuur 2.

Bereken de lengte van de zijde tegenover de hoek van $120 °$ exact.

Bereken de zijden en de hoeken met een vraagteken in de volgende figuren.
Geef zo mogelijk een exact antwoord, rond anders af op één decimaal.

In driehoek $A B C$ zijn de zijden $a$ , $b$ , $c$ en de hoeken $α$ , $β$ , $γ$ . In elk van de volgende onderdelen zijn drie van de zes gegeven.

$a$	$b$	$c$	$α$	$β$	$γ$
$8$	$5$				$65 °$
$8$	$5$		$65 °$
		$150$	$120 °$	$45 °$
	$12$	$15$	$55 °$
$6$	$10$	$8$
$15$	$15$				$20 °$
			$30 °$	$70 °$	$80 °$

Bereken zo mogelijk de andere drie. Rond de hoeken en de zijden af op een decimaal.

Van de vlieger staan de gegevens in de figuur.

Bereken de lengte van de korte diagonaal in één decimaal nauwkeurig. Doe dat op twee manieren: mét en zonder cosinusregel.

Bereken de andere hoeken van de vlieger in graden nauwkeurig.

Bereken de lengte van de lange diagonaal.