1

a

b

We noemen de driehoek $A B C$ .
Teken $A B = 21$ ; teken een cirkel met straal $13$ en middelpunt $A$ en een cirkel met straal $20$ en middelpunt $B$ . Eén van de snijpunten van de twee cirkels is $C$ .

c

In driehoek $A D C$ :
$h^{2} = 13^{2} - x^{2}$ , dus $h^{2} = 169 - x^{2}$

In driehoek $D B C$ :
$h^{2} = 20^{2} - {(21 - x)}^{2}$ , dus $h^{2} = 400 - (441 - 42 x + x^{2})$ , dus $h^{2} = ‐ 41 + 42 x - x^{2}$

d

$169 - x^{2} = ‐ 41 + 42 x - x^{2}$ , dus $169 = ‐ 41 + 42 x$ , dus $210 = 42 x$ , dus $x = 5$ , dan $h = \sqrt{169 - 5^{2}} = 12$

e

$cos (∠ A) = \frac{5}{13}$ , dus $∠ A = 67 °$ ;
$sin (∠ B) = \frac{12}{20}$ , dus $∠ B = 37 °$ ; hoek $C$ is dan $76 °$ .

2

a

$cos (α) = \frac{A D}{b}$ , dus $A D = b \cdot cos (α)$

b

$h^{2} = b^{2} - A D^{2} = b^{2} - {(b \cdot cos (α))}^{2} = b^{2} - b^{2} \cdot {cos}^{2} (α)$

$h^{2} = a^{2} - D B^{2} = a^{2} - {(c - A D)}^{2} = a^{2} - {(c - b \cdot cos (α))}^{2}$

c

De linker- en de rechterkant van de gelijkheid zijn beide gelijk aan $h^{2}$ , zie onderdeel b.

d

De gelijkheid uit het vorige onderdeel vereenvoudigen.

3

a

Noem de hoekpunten van het parallellogram $A$ , $B$ , $C$ en $D$ , tegen de wijzers van de klok in, met $A$ linksonder.
De cosinsuregel in driehoek $A B D$ geeft: $D B^{2} = 8^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos (150 °) = 80 + 32 \sqrt{3}$ .
Dus $D B = 11,64$ .
De cosinsuregel in driehoek $A B C$ geeft: $A C^{2} = 8^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos (30 °) = 80 - 32 \sqrt{3}$ .
Dus $A C = 4,96$ .

b

Noem de lengte van die zijde $x$ en pas de cosinusregel toe:
$x^{2} = 2^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos (120 °) = 4 + 9 + 12 \cdot \frac{1}{2} = 19$ , dus de lengte van die zijde is $\sqrt{19}$ .

4

Linker plaatje

De gevraagde zijde
$B C^{2} = 5^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot cos (60 °)$
$B C^{2} = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2} = 21$
$B C = \sqrt{21}$

De gevraagde hoek
$5^{2} = {\sqrt{21}}^{2} + 4^{2} - 2 \cdot \sqrt{21} \cdot 4 \cdot \cos (∠ B)$
$25 = 37 - 8 \sqrt{21} \cdot cos (∠ B)$
$8 \sqrt{21} \cdot cos (∠ B) = 12$
$cos (∠ B) = \frac{12}{8 \sqrt{21}}$
$∠ B \approx 70,9 °$

Middelste plaatje

De gevraagde hoek
$\frac{sin (∠ D)}{6} = \frac{sin (∠ E)}{5}$
$\frac{sin (60 °)}{6} = \frac{sin (∠ E)}{5}$
$\frac{\frac{1}{2} \sqrt{3}}{6} = \frac{sin (∠ E)}{5}$
$sin (∠ E) = 5 \cdot \frac{\frac{1}{2} \sqrt{3}}{6} = \frac{5}{12} \sqrt{3}$
$∠ E \approx 46,2 °$

De gevraagde zijde
$∠ F = 180 ° - 46,194... ° - 60 ° = 73,805... °$
$\frac{sin (73,805... °)}{D E} = \frac{sin (60 °)}{6}$
$D E = \frac{6 \cdot \sin (73,805 \dots °)}{\sin (60 °)} = 6,7$

Rechter plaatje

We berekenen eerst $∠ L$ , dan zijde $K N$ , tenslotte de gevraagde hoek.
De sinusregel in $Δ K L M$ geeft:
$\frac{sin (70 °)}{10} = \frac{sin (∠ L)}{5}$
$sin (∠ L) = 5 \cdot \frac{sin (70 °)}{10}$
$∠ L \approx 28,0 °$

De cosinusregel in $Δ K L N$ geeft dan:
$K N^{2} = 8^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot cos (∠ L)$
$K N^{2} = 8^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot cos (28,024... °)$
$K N = 4,770...$
Nog een keer de cosinusregel in $Δ K L N$ geeft:
$10^{2} = 8^{2} + 4,770 {...}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 4,770 ... \cdot cos (∠ K N L)$
$cos (∠ K N L) = \frac{8^{2} + {4,770...}^{2} - 10^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 4,770...} = ‐ 0,173...$
$∠ K N L \approx 100,0 °$

5

$a$	$b$	$c$	$α$	$β$	$γ$
$8$	$5$	$7,4$	$77,4 °$	$37,6 °$	$65 °$
$8$	$5$	$8,7$	$65 °$	$34,5 °$	$80,5 °$
$501,9$	$409,8$	$150$	$120 °$	$45 °$	$15 °$
$12,7$	$12$	$15$	$55 °$	$50,5 °$	$74,5 °$
$6$	$10$	$8$	$36,9 °$	$90 °$	$53,1 °$
$15$	$15$	$5,2$	$80 °$	$80 °$	$20 °$
?	?	?	$30 °$	$70 °$	$80 °$

In het laatste geval kunnen $a$ , $b$ en $c$ niet berekend worden. Wel de verhouding tussen de zijden. Die is: $sin (α) : sin (β) : sin (γ) \approx 0,5 : 0,94 : 0,98$ .

6

a

Noem het onderste hoekpunt van de vlieger $A$ , het rechter eindpunt van de korte diagonaal $B$ , het bovenste hoekpunt $C$ , het vierde hoekpunt $D$ en het snijpunt van de diagonalen $S$ .
met cosinusregel
$B D^{2} = 15^{2} + 15^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos (86 °)$ , dit geeft: $B D = \sqrt{418,609...} = 20,5$ .
zonder cosinusregel
$sin (43 °) = \frac{\frac{1}{2} B D}{15}$
korte diagonaal $= 15 \cdot sin (43 °) \cdot 2 \approx 20,5$

b

$\frac{sin (43 °)}{26} = \frac{sin (∠ C A B)}{15}$
$sin (∠ C A B) = 15 \cdot \frac{sin (43 °)}{26}$
$∠ C A B = 23,169... ° \Rightarrow ∠ D A B = 46 °$
$∠ A D C = ∠ A B C = (360 ° - 86 ° - 46 °) : 2 = 114 °$

Dus de vlieger heeft twee hoeken van $114 °$ , een hoek van $86 °$ en een hoek van $46 °$ .

c

$\sqrt{15^{2} - {(\frac{1}{2} korte diagonaal)}^{2}} + \sqrt{26^{2} - {(\frac{1}{2} korte diagonaal)}^{2}} \approx 34,9$