2.8 Rekentechniek

Hoofdstukken > Berekeningen in een driehoek

Wortels vereenvoudigen

De driehoek in de figuur is rechthoekig.

Ga dat na.

Bekijk de vier driehoeken met zijden
$\sqrt{\frac{1}{5}}$ , $2 \sqrt{\frac{1}{5}}$ en $1$ ;
$\frac{1}{2}$ , $1$ en $\sqrt{1 \frac{1}{4}}$ ;
$6$ , $12$ en $\sqrt{180}$ ;
$\sqrt{5}$ , $2 \sqrt{5}$ en $5$ .
Deze zijn rechthoekig.

Ga dat voor de eerste in de serie na.

Omdat de rechthoekszijden zich verhouden als $1 : 2$ , is elke driehoek uit de serie gelijkvormig met de driehoek in het plaatje hierboven.
Door de driehoek met zijden $1$ , $2$ en $\sqrt{5}$ met $\frac{1}{2}$ te vermenigvuldigen, krijg je enerzijds de driehoek met zijden $\frac{1}{2}$ , $1$ en $\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1 \frac{1}{4}}$ ,
en anderzijds de driehoek met zijden $\frac{1}{2}$ , $1$ en $\frac{1}{2} \sqrt{5}$ .
(Vergelijk de kortste rechthoekszijden.)
Dus $\sqrt{1 \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{5}$ .

Hoe volgt met gelijkvormigheid dat $\sqrt{180} = 6 \sqrt{5}$ ?

De driehoek met zijden $\sqrt{5}$ , $2 \sqrt{5}$ en $5$ is gelijkvormig met de driehoek met zijden $\sqrt{\frac{1}{5}}$ , $2 \sqrt{\frac{1}{5}}$ en $1$ .
Hoe volgt hieruit dat $\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \sqrt{5}$ ?

In opgave 1 hebben we met gelijkvormigheid gezien dat: $\sqrt{1 \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{5}$ , $\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \sqrt{5}$ , $\sqrt{180} = 6 \sqrt{5}$ .
We noemen dit vereenvoudigen van wortels. Je kunt dat ook puur algebraïsch doen:
$\sqrt{1 \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{5}$
$\sqrt{\frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{5} \sqrt{5}$
$\sqrt{180} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6 \sqrt{5}$

Op de middelbare school is het gebruik om wortels zo eenvoudig mogelijk te schrijven, dat betekent:

schrijf een zo klein mogelijk geheel getal achter het wortelteken:
$\sqrt{18} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ ,
schrijf geen wortel in de noemer:
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{6}$ ,
laat geen breuken onder het wortelteken staan:
$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{1}{3} \sqrt{6}$ .

Schrijf de volgende wortels zo eenvoudig mogelijk.

$\sqrt{72}$	$\sqrt{172}$
$\sqrt{162}$	$\sqrt{1000}$

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{4}}$
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$	$\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{\frac{1}{5}}$	$\sqrt{\frac{3}{5}}$
$\sqrt{3 \frac{3}{7}}$	$\sqrt{1 \frac{11}{25}}$

De $30-60-90-$ en de $45-45-90-$ graden driehoek

In de tweede klas heb je het volgende al gezien.

In een $30-60-90-$ graden driehoek (halve regelmatige driehoek) verhouden de zijden zich als $1 : \sqrt{3} : 2$ .
In een $45-45-90-$ graden driehoek (half vierkant) verhouden de zijden zich als $1 : 1 : \sqrt{2}$ .

Van een gelijkbenige driehoek is de tophoek $120 °$ en de gelijke benen zijn $1$ .

Bereken exact de basis $A B$ .

Gelijkvormigheid

Driehoek $A B C$ is rechthoekig in $A$ . Verder ligt $E$ op $B C$ en $D$ op $A B$ zó, dat hoek $B E D$ recht is. Verder is gegeven $B D = 10$ , $B E = 8$ , $E D = 6$ en $E C = 7$ .
$A D$ en $A C$ zijn $x$ en $y$ genoemd.

Driehoek $A B C$ en driehoek $E B D$ hebben twee hoeken gelijk. Leg dat uit.

Driehoek $A B C$ en driehoek $E B D$ zijn dus gelijkvormig. We halen ze uit elkaar en zetten ze in dezelfde stand.

Bij drie van de zes zijden zijn al de juiste getallen geplaatst.

Bepaal $B C$ en druk $A B$ in $x$ uit.

Bepaal de bijbehorende vergrotingsfactor $f$ en bereken $y$ en $x$ .

figuur 1

De twee driehoeken figuur 1 zijn gelijkvormig (hoeken met gelijke tekens zijn gelijk).

Bereken $x$ en $y$ .

Lijnstuk $D E$ in figuur 2 is evenwijdig met zijde $A B$ .

figuur 2

Bereken $x$ en $y$ .