3.2 Parabolen >

Hoofdstukken > Kwadratische verbanden

Deze paragraaf bestaat voornamelijk uit herhaling van stof uit de derde klas.

De som van twee getallen is $6$ . Noem het ene getal $x$ .

Hoe groot is het andere getal? Druk je antwoord uit in $x$ .

Het product van deze twee getallen noemen we $y$ .

Druk $y$ uit in $x$ .
Schrijf je formule zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Neem de tabel hieronder over en vul hem verder in. Teken ook de grafiek. Zet $x$ horizontaal en $y$ verticaal.

Als je de grafiek goed getekend hebt, zie je dat de grafiek symmetrisch is.

Verklaar waarom de grafiek symmetrisch is.

Wat is de vergelijking van de symmetrieas?

Het verschil van twee getallen is $5$ . Het kleinste getal noemen we $x$ . Ook hier vermenigvuldigen we deze getallen met elkaar.
De uitkomst van de vermenigvuldiging noemen we $y$ .

Druk $y$ uit in $x$ .
Schrijf je formule zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

Maak net zo’n tabel als hierboven, met $‐ 6 \leq x \leq 2$ en teken de grafiek.
Zet $x$ horizontaal en $y$ verticaal.

Ook deze grafiek is symmetrisch.

Kun je dat verklaren?

Wat is de vergelijking van de symmetrieas?

De twee grafieken die je getekend hebt noemen we parabolen. We onderscheiden twee soorten: dalparabolen en bergparabolen. In opgave 2 heb je een bergparabool getekend en in opgave 3 een dalparabool.

Elke parabool heeft een symmetrieas. Dat is de verticale lijn door de top.

De top van een bergparabool is het hoogste punt. Bij een dalparabool is dat het laagste punt. Let op: ook dat wordt de top genoemd.
Hiernaast staat een (deel van een) dal- en een bergparabool getekend.

In de figuur hiernaast zie je vijf dalparabolen getekend: elk in een andere kleur.
Op elk van de parabolen zijn een aantal roosterpunten aangegeven die op de parabool liggen.
Gegeven zijn de volgende zeven formules:

$y = \frac{1}{4} x^{2}$
$y = \frac{1}{3} x^{2}$
$y = \frac{1}{2} x^{2}$
$y = x^{2}$
$y = 2 x^{2}$
$y = 3 x^{2}$
$y = 4 x^{2}$

Ga na welke formule bij welke grafiek hoort. Gebruik daarbij de roosterpunten op de grafieken. (Er blijven twee formules over.)

We kijken nu naar de parabool met vergelijking $y = ‐ x^{2}$ .
Bij $x = 2$ hoort dan $y = ‐ 2^{2} = ‐ 4$ .
Let op: kwadrateren gaat vóór tegengestelde nemen!

Leg uit hoe de grafiek van $y = ‐ x^{2}$ eruit ziet. (Maak zonodig eerst een tabel en teken de grafiek.)
Hoe krijg je de grafiek van $y = ‐ x^{2}$ uit de grafiek van $y = x^{2}$ ?

Wat is het verband tussen de grafieken bij tegengestelde waarden van $c$ bij grafieken met de formule $y = c x^{2}$ ?

Hoe ziet de grafiek van $y = c x^{2}$ eruit als $c = 0$ ?

Met de applet verander_c kun je goed zien hoe de grafiek van $y = c x^{2}$ verandert als je de waarde van $c$ verandert.

Je ziet voor drie waarden van $c$ de parabolen met vergelijking $y = c x^{2}$ getekend. Op elke parabool is een roosterpunt $(x, y)$ aangegeven.

Bereken bij elke parabool de exacte waarde van $c$ .

De grafiek bij het verband $y = c x^{2}$ is:

een dalparabool als $c > 0$ en
een bergparabool als $c < 0$ .

Voor positieve $c$ geldt: hoe groter $c$ , hoe smaller de parabool.

Voor negatieve $c$ geldt: hoe kleiner $c$ (meer negatief), hoe smaller de parabool.

Bij tegengestelde waarden van $c$ horen parabolen die elkaars spiegelbeeld in de $x$ -as zijn.

De top is $(0,0)$ .

De parabool met vergelijking $y = x^{2}$ noemen we de standaardparabool.

Een bergparabool met vergelijking $y = c x^{2}$ heeft op hoogte $‐ 4$ breedte $10$ .

Bereken $c$ .

Op zekere hoogte (of eigenlijk diepte) is de breedte van deze parabool $100$ .

Op welke hoogte is dat?

De grafiek van de parabool met vergelijking $y = ‐ x^{2}$ wordt $9$ omhoog geschoven.

Welke formule hoort bij de nieuwe grafiek?
Wat zijn de coördinaten van de top van de parabool?
Bereken exact de afstand tussen de twee snijpunten van de grafiek met de $x$ -as.

De grafiek van $y = ‐ x^{2}$ wordt nu $6$ omhoog geschoven.

Welke formule hoort bij de nieuwe grafiek?
Wat zijn de coördinaten van de top van de parabool?
Bereken exact de afstand tussen de twee snijpunten van de grafiek met de $x$ -as.

Dezelfde drie vragen als de grafiek van $y = ‐ x^{2}$ over een afstand $a$ omhoog wordt geschoven.

Bereken hoeveel de grafiek van $y = ‐ x^{2}$ omhoog moet worden geschoven zodat het na de verschuiving door het punt $(‐ 3,3)$ gaat.

We bekijken de vergelijking $y = x^{2} + x - 6$ .

Neem de tabel hieronder over en vul hem verder in. Teken ook de grafiek.

Wat is de vergelijking van de symmetrieas van deze parabool?

Bereken de coördinaten van de top van de parabool.

De snijpunten met de $x$ -as heb je al gevonden bij het invullen van de tabel.
Maar deze had je ook kunnen vinden door de vergelijking $x^{2} + x - 6 = 0$ op te lossen.
In de derde klas heb je geleerd dat je deze vergelijking kunt oplossen door $x^{2} + x - 6$ te ontbinden in factoren:
$x^{2} + x - 6 = (x + ...) \cdot (x - ...) = 0$

Los de vergelijking op deze manier verder op (als je nog weet hoe dat moet).
Krijg je dezelfde oplossingen als in de tabel?

Ontbind in factoren:

$x^{2} + 7 x$	$x^{2} - 6 x + 9$
$x^{2} - 10 x$	$x^{2} + 10 x + 25$
$x^{2} - 8 x + 7$	$x^{2} - 12 x + 36$
$x^{2} + 6 x - 27$	$4 x^{2} - 12 x + 9$

Opmerking:

Je kunt het ontbinden in factoren oefenen met de applet Sleepspel ontbinden in factoren .

Het ontbinden in factoren doen we om vergelijkingen systematisch op te lossen.
Bij het systematisch oplossen zijn er twee belangrijke stappen:

herleiden op $0$ ,
ontbinden in factoren.

Na het ontbinden heb je namelijk een product met uitkomst nul.
Dat kan natuurlijk alleen als minstens één van beide factoren nul is:

$(x + 1) \cdot (x - 3) = 0$ $\to$ $x = ‐ 1$ of $x = 3$
$x \cdot (4 - x) = 0$ $\to$ $x = 0$ of $x = 4$

Op die manier heb je dan de oorspronkelijke vergelijking opgelost.

Voorbeeld:

Los op:

$x (2 x - 7)$	$=$	${(x - 2)}^{2}$	haakjes uitwerken
$2 x^{2} - 7 x$	$=$	$x^{2} - 4 x + 4$	herleiden op nul
$x^{2} - 3 x - 4$	$=$	$0$	ontbinden in factoren
$(x - 4) (x + 1)$	$=$	$0$
$x = 4$	of	$x = ‐ 1$

Bij wiskunde B moet je vaak allerlei vergelijkingen oplossen volgens deze stapsgewijze weg. Deze werkwijze noemen wij de algebraïsche weg: je moet dan stapsgewijs, via letterrekenen laten zien hoe je aan je antwoord bent gekomen.
Als je een exact antwoord moet geven, dan mag je bij de tussenstappen en in je eindantwoord geen afgeronde getallen gebruiken. Dan moet je dus breuken en bijvoorbeeld wortels laten staan.

Los de volgende vergelijkingen langs algebraïsche weg op.

$x^{2} + 10 x = ‐ 16$	$x^{2} - 5 x = 6$
$10 x = x^{2}$	$3 - 4 x = 1 - 2 x^{2}$
$x^{2} + 6 x = 16$	$12 - 11 x = x^{2}$
$x^{2} + 16 = 8 x$	$3 x^{2} = 6 x - 3$
$3 (x + 1) = x^{2} + 5$	$5 x^{2} = ‐ 15 x$
$(x + 1) (x + 3) = 1 - x^{2}$	$2 (x^{2} - 2) = 4 (x^{2} - 3)$

Gegeven is de parabool met vergelijking $y = x^{2} - 5 x - 24$ .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de parabool met de $x$ -as.

Bereken exact de coördinaten van de top van de parabool.

Dezelfde twee vragen voor de parabool met vergelijking $y = ‐ x^{2} - 2 x + 8$ .

Dezelfde twee vragen voor de parabool met vergelijking $y = \frac{1}{2} x^{2} + x - 7 \frac{1}{2}$ .

We kijken nog eens naar de tekening van de parabool van de intro-paragraaf.
$F$ is het punt $(0,1)$ en $P$ is het punt $(x, y)$ .
Dan is $B (x,11)$ .

Punt $Q$ ligt recht onder $B$ en $P$ op hoogte $1$ , dus $Q (x,1)$ .

Druk de lengte van $B P$ en van $P Q$ uit in $x$ en $y$ .

Met de stelling van Pythagoras kun je de lengte van $P F$ berekenen.
Je krijgt dan: $P F = \sqrt{y^{2} - 2 y + 1 + x^{2}}$ .

Laat dit met een berekening zien.

Omdat de lengte van het touwtje $11$ is, volgt hieruit:
$y = \sqrt{y^{2} - 2 y + 1 + x^{2}}$ .

Laat dat zien.

Herleid de formule $y = \sqrt{y^{2} - 2 y + 1 + x^{2}}$ tot een formule van de vorm $y =$ _ $x^{2} +$ __.

Je krijgt de vergelijking van een parabool.

Wat zijn de coördinaten van de top van de parabool?