Parabolen verschuiven

De standaardparabool is de parabool met vergelijking $y = x^{2}$ .

Wat is de top van de standaardparabool?

Wat is de top van de parabool met vergelijking $y = x^{2} + 1$ ?
Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om deze parabool te krijgen?

Wat is de top van de parabool met vergelijking $y = x^{2} - 3$ ?
Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om deze parabool te krijgen?

De top van de parabool met vergelijking $y = {(x + 2)}^{2}$ is wat moeilijker te vinden.

Neem de tabel over en vul hem verder in.

Wat is de top van de parabool met vergelijking $y = {(x + 2)}^{2}$ ?
Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om deze parabool te krijgen?

Wat is de top van de parabool met vergelijking $y = {(x - 1)}^{2}$ ?
Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om deze parabool te krijgen?

We bekijken de parabool met vergelijking $y = {(x - 2)}^{2} - 1$ .

Neem de tabel over en vul hem verder in.

Wat is de top van de parabool met vergelijking $y = {(x - 2)}^{2} - 1$ ?
Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om deze parabool te krijgen?

Wat is de top van de parabool met vergelijking $y = {(x + 3)}^{2} + 5$ ?
Hoe moet je de standaardparabool verschuiven om deze parabool te krijgen?

Je kunt ook beredeneren wat de top is van de parabool met vergelijking $y = {(x + 3)}^{2} + 5$ :
Een kwadraat is minimaal $0$ , dus ${(x + 3)}^{2}$ is minimaal $0$ . En je krijgt de waarde $0$ door $x = ‐ 3$ te nemen.
Dus is $y = {(x + 3)}^{2}$ minimaal $0$ bij $x = ‐ 3$ .
$y = {(x + 3)}^{2} + 5$ is dus minimaal $5$ .
Dus is $(‐ 3,5)$ het laagste punt van de parabool.

Geef op dezelfde manier met een redenering de top van de parabool met vergelijking $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ .

Bij een bergparabool gaat de redenering grotendeels hetzelfde, behalve dat je dan gebruikt dat ${(...)}^{2}$ minimaal $0$ is, dan is $‐ {(...)}^{2}$ maximaal $0$ .

Geef met een redenering de top van de parabool met vergelijking $y = ‐ {(x + 3)}^{2} + 5$ .

Wat is de top van de parabool met vergelijking $y = ‐ {(x - 2)}^{2} + 1$ ?
Hoe moet je de parabool $y = ‐ x^{2}$ verschuiven om deze parabool te krijgen?

We verschuiven de standaardparabool $y = x^{2}$ naar rechts over een afstand $100$ .

Op welke hoogte ligt dan het punt op de verschoven parabool bij $x = 101$ ? En bij $x = 105$ ? En bij $x = 97$ ? En bij een willekeurige $x$ ?
Wat is de formule bij de verschoven parabool en wat is de top?

We verschuiven de standaardparabool $y = x^{2}$ naar links over een afstand $50$ en daarna $10$ omhoog.

Op welke hoogte ligt dan het punt op de verschoven parabool bij $x = ‐ 49$ ? En bij $x = ‐ 45$ ? En bij $x = ‐ 53$ ? En bij een willekeurige $x$ ?
Wat is de formule bij de verschoven parabool en wat is de top?

We verschuiven de parabool $y = ‐ x^{2}$ naar rechts over een afstand $10$ en daarna $3$ omlaag.

Op welke hoogte ligt dan het punt op de verschoven parabool bij $x = 11$ ? En bij $x = 15$ ? En bij $x = 7$ ? En bij een willekeurige $x$ ?
Wat is de formule bij de verschoven parabool en wat is de top?

De parabool $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ heeft géén nulpunten.

Hoe kun je dat direct aan de formule zien?

Wat kan $y$ allemaal zijn als je voor $x$ een willekeurig getal invult?

Is $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ een vergelijking van een dal- of een bergparabool? Licht je antwoord toe.

Je kunt beredeneren wat de top van deze parabool is.

Bepaal de top met zo'n redenering.
En wat is de symmetrieas?

Door de parabool verticaal te verschuiven, kun je ervoor zorgen dat de parabool precies één nulpunt heeft.

Welke verschuiving? En wat wordt dan de vergelijking van de parabool?

Hoeveel moet ik de parabool verticaal verschuiven zodat de parabool twee nulpunten heeft? Hoe ziet dan de vergelijking eruit?

Hoe moet ik de parabool horizontaal en verticaal verschuiven zodat de top in $(0,0)$ komt?

De parabool met vergelijking $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ kun je krijgen door de parabool met vergelijking $y = 2 x^{2}$ in horizontale en verticale richting te verschuiven.

Welke twee verschuivingen zijn dat?

De parabool $y = c {(x - a)}^{2} + b$ (met $c \neq 0$ ) ontstaat door de parabool $y = c x^{2}$ als volgt te verschuiven:
$a$ eenheden naar rechts en $b$ eenheden naar boven.
(Een ander woord voor een verschuiving is een translatie.)
De top van de parabool is dus $(a, b)$ .
Je krijgt een dalparabool als $c > 0$ en een bergparabool als $c < 0$ . Het getal $c$ bepaalt hoe ‘breed’ de parabool is.
De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top. Een vergelijking van de symmetrieas is: $x = a$ .

De vergelijking van de parabool in de vorm $y = c {(x - a)}^{2} + b$ wordt de topvorm van de parabool genoemd, omdat direct de coördinaten van de top zijn af te lezen.

Voorbeeld:

De grafiek van de vergelijking $y = ‐ \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 4$ ontstaat uit de parabool $y = ‐ \frac{1}{2} x^{2}$ door $3$ eenheden naar links te schuiven en $4$ naar beneden.
(In plaats van $3$ naar links zeggen we ook wel $‐ 3$ naar rechts. En in plaats van $4$ naar beneden ook wel $‐ 4$ naar boven.)
Het is een bergparabool met top $(‐ 3, ‐ 4)$ .
De symmetrieas heeft vergelijking $x = ‐ 3$ .

Geef van elk van de volgende parabolen de coördinaten van de top.

$y = ‐ 2 {(x - 2)}^{2} + 2$	$y = {(x + 3)}^{2}$
$y = {(x - 3)}^{2} + 2$	$y = x^{2} + 3$

Vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as

In een eerdere paragraaf hebben wij gezien hoe de grafiek van $y = c x^{2}$ er voor verschillende waarden van $c$ eruit ziet.
In de volgende opgave gaan wij hier nauwkeuriger naar kijken.

Hiernaast staan de grafieken getekend van $y = x^{2}$ en $y = \frac{1}{3} x^{2}$ .

Neem de tabel over en vul hem verder in.

Keer welk getal moet je de uitkomsten van $y = x^{2}$ doen om de uitkomsten van $y = \frac{1}{3} x^{2}$ te krijgen?

Neem het punt

(a, b)

op de grafiek van

y = x^{2}

.
Dan ligt het punt

(a,...)

op de grafiek van

y = \frac{1}{3} x^{2}

Vul de open plaats hierboven in.

Omschrijf hoe je de grafiek van $y = \frac{1}{3} x^{2}$ krijgt uit de grafiek van $y = x^{2}$ .

Omschrijf hoe je de grafiek van $y = ‐ 2 x^{2}$ krijgt uit de grafiek van $y = x^{2}$ .

De grafiek van $y = c x^{2}$ krijg je uit de grafiek van $y = x^{2}$ door deze met factor $c$ te vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as.
Als het punt $(a, b)$ ligt op de grafiek van $y = x^{2}$ dan ligt het punt $(a, b c)$ op de grafiek van $y = c x^{2}$ .

Het vermenigvuldigen en verschuiven van parabolen kunnen ook gecombineerd worden.

De grafiek van de vergelijking $y = ‐ \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 4$ ontstaat uit de parabool $y = x^{2}$ door deze eerst met factor $‐ \frac{1}{2}$ te vermenigvuldigen ten opzichte van de $x$ -as en daarna $3$ eenheden naar links te schuiven en $4$ naar beneden.

Teken de grafiek van $y = ‐ \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 4$ . Teken eerst de top en maak een tabel.

We draaien nu de volgorde om: eerst de translatie en daarna de vermenigvuldiging ten opzichte van de

x

-as.

Teken in een tweede rooster de grafiek van $y = x^{2}$ ; daarna met een andere kleur de grafiek van de parabool die je krijgt als je deze standaardparabool 3 naar links schuift en 4 naar beneden; teken tenslotte met nog een andere kleur de grafiek die je krijgt als je de verschoven grafiek met factor $‐ \frac{1}{2}$ vermenigvuldigt ten opzichte van de $x$ -as.

Vergelijk de twee grafieken van onderdelen a en b. Zijn de grafieken gelijk? Wat is het verschil tussen beide grafieken?

De volgorde waarin je de vermenigvuldiging en de translatie toepast maakt dus wel degelijk uit. Maar het is toch mogelijk om eerst een translatie uit te voeren en daarna een vermenigvuldiging om de grafiek van $y = ‐ \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 4$ te krijgen.

Welke translatie en welke vermenigvuldiging zijn dat?

De grafiek van $y = ‐ \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 4$ kan je op twee manieren krijgen uit de standaardparabool $y = x^{2}$ :

Door eerst met factor $‐ \frac{1}{2}$ te vermenigvuldigen t.o.v. de $x$ -as, dan krijg je $y = ‐ \frac{1}{2} x^{2}$
en daarna $3$ naar links en $4$ naar beneden te schuiven, dat geeft $y = ‐ \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 4$
Door eerst $3$ naar links en $8$ naar boven te schuiven, dat geeft $y = {(x + 3)}^{2} + 8$
en daarna met factor $‐ \frac{1}{2}$ te vermenigvuldigen t.o.v. de $x$ -as: $y = ‐ \frac{1}{2} ({(x + 3)}^{2} + 8) = ‐ \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 4$

Hoewel er twee mogelijke volgordes zijn, ligt de eerste manier veel meer voor de hand. Want bij de eerste manier kan je de vermenigvuldiging en verschuivingen direct in de formule zien.

De grafiek van $y = c {(x - a)}^{2} + b$ kun je uit de grafiek van de standaardparabool $y = x^{2}$ krijgen door achtereenvolgens de volgende transformaties toe te passen:

Eerst een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$ -as met factor $c$ ;
Daarna de translatie $a$ naar rechts en $b$ naar boven.

Geef van elk van de volgende parabolen aan met welke transformaties (en in welke volgorde) je de grafiek krijgt uit de grafiek van de standaardparabool $y = x^{2}$ .
Geef ook telkens de coördinaten van de top.
Bij de laatste twee moet je eerst kwadraatafsplitsen.

$y = 3 {(x + 1)}^{2} + 2$

$y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 2$

$y = x^{2} - 2 x + 4$

$y = ‐ x^{2} - 4 x + 1$

Vergelijkingen voor parabolen opstellen

Van een parabool is de top $(‐ 2,3)$ .
Een vergelijking van de parabool is: $y = c {(x + 2)}^{2} + 3$ voor een getal $c$ .
Als je buiten de top nog een punt van de parabool kent, kun je $c$ bepalen. Als bijvoorbeeld $(‐ 6, ‐ 5)$ er op ligt, krijg je:
$‐ 5 = c {(‐ 6 + 2)}^{2} + 3$
$‐ 5 = 16 c + 3$
$‐ 8 = 16 c$
$‐ \frac{1}{2} = c$

Een vergelijking van de parabool is: $y = ‐ \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 3$ .

In het rooster zijn vijf parabolen A t/m E getekend.

Van twee parabolen is de vergelijking al bekend, namelijk: $y = ‐ 2 {(x - 3)}^{2} + 2$ en $y = ‐ \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} + 2$ .

Zoek uit welke vergelijking bij welke parabool hoort. Licht je keuze toe.

Op de overige drie parabolen is een roosterpunt aangegeven.

Geef zelf de ontbrekende vergelijkingen voor deze drie parabolen. Gebruik het aangegeven roosterpunt.

Kwadraatafsplitsen (2)

In opgave 23 en opgave 24 hebben we gezien dat het vinden van de top van een parabool niet zo eenvoudig is als de vergelijking in de vorm zonder haakjes staat.
Deze vorm zonder haakjes van de vergelijking van de parabool wordt de standaardvorm genoemd.
Een manier om in zo'n geval de top te vinden is om eerst de symmetrieas te zoeken: door het midden te nemen van de twee nulpunten (als die er zijn), of het midden van de twee snijpunten van de parabool met een horizontale lijn.

Een andere manier is om de standaardvorm in de topvorm te zetten, dus in de vorm $y = c {(x - a)}^{2} + b$ .

Schrijf de vorm $y = x^{2} + 4 x - 3$ met kwadraatafsplitsen in de vorm: $y = {(x + ...)}^{2} - ...$ .

We willen de top vinden van de parabool $y = 2 x^{2} + 8 x - 6$ .
Daarvoor moeten we ook nu kwadraatafsplitsen, maar dat gaat nu een stukje lastiger omdat het getal $2$ voor $x^{2}$ staat.

Neem over en vul de passende getallen in.

$y$	$=$	$2 x^{2} + 8 x - 6$	2 buiten haakjes halen
$y$	$=$	$2 (x^{2} + ......)$	binnen haakjes kwadraatafsplitsen
$y$	$=$	$2 ({(x ....)}^{2} - ....)$	buitenste haakjes weg
$y$	$=$	$2 {(x ....)}^{2} - ....$

Wat is dus de top van de parabool $y = 2 x^{2} + 8 x - 6$ ?

Zoek de top van de parabool $y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 2$ .

Ga als volgt te werk:
$y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 2$
$y = \frac{1}{2} (...........)$
enz.

Wat is dus de top van de parabool $y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 2$ ?

Zoek de top van de volgende vier parabolen.

$y = ‐ x^{2} + x$	$y = ‐ {(2 x + 4)}^{2} + 4$
$y = ‐ 2 x^{2} + 10 x + 1$	$y = (x + 3) (x - 7)$

Voorbeeld:

Een vergelijking van een parabool omzetten in de topvorm met kwadraatafsplitsen is best lastig als er een getal voor $x^{2}$ staat.
Een iets andere manier (waarbij je minder haakjes nodig hebt) is de volgende:

$y$	$=$	$2 x^{2} + 8 x - 6$	DELEN DOOR 2
$\frac{1}{2} y$	$=$	$x^{2} + 4 x - 3$	kwadraatafsplitsen
$\frac{1}{2} y$	$=$	${(x + 2)}^{2} - 4 - 3$	vereenvoudigen
$\frac{1}{2} y$	$=$	${(x + 2)}^{2} - 7$	KEER 2
$y$	$=$	$2 {(x + 2)}^{2} - 14$

Zet de volgende vier vergelijkingen van parabolen met kwadraatafsplitsen om in de topvorm en geef de coördinaten van de top.

$y = 3 x^{2} - 12 x + 18$

$y = ‐ 2 x^{2} - 4 x + 3$

$y = ‐ (x - 3) (x + 2)$

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{4}{5} x + 1$

Gegeven is de parabool met vergelijking $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ .

Schrijf de vergelijking in de topvorm en bepaal hiermee de coördinaten van de top.

De parabool wordt $3$ naar links en $2$ omlaag geschoven.

Wat is de top van de parabool die je dan krijgt?

Wat is dus de formule van de parabool die je krijgt?
Schrijf de formule in de standaardvorm.

Geef de formule van de parabool (in de standaardvorm) die je krijgt als je de parabool met vergelijking $y = ‐ x^{2} - 4 x - 7$ verschuift over een afstand $4$ naar rechts en $2$ omhoog.

De lijnen $y = \frac{1}{2} x$ , $y = ‐ \frac{1}{2} x + 4$ en de $x$ -as sluiten een driehoek in.

Bereken de coördinaten van de hoekpunten van de driehoek.

In de driehoek wordt een rechthoek getekend met twee hoekpunten op de $x$ -as en twee op de opstaande zijden van de driehoek.
De eerste coördinaat van het hoekpunt linksonder van de rechthoek noemen we $x$ .

Toon aan dat de oppervlakte van de rechthoek $4 x - x^{2}$ is.

Voor welke waarde van $x$ is de oppervlakte van de rechthoek maximaal?
Bereken die waarde met kwadraatafsplitsen.
Wat is de maximale oppervlakte?

Nulpunten

Bereken de nulpunten van de vergelijking $y = 2 x^{2} - 4 x - 6$ .

Laat zien dat geldt: $2 x^{2} - 4 x - 6 = 2 (x + 1) (x - 3)$ .

Met de vorm $y = 2 (x + 1) (x - 3)$ kun je snel de symmetrieas en de $x$ -coördinaat van de top bepalen.

Wat is de symmetrieas? En wat is de top?

Neem over en vul de open plekken in:
$3 x^{2} + 6 x - 24 = .... (x ......) (x ......)$

Wat is dus de symmetrieas en de top van de parabool met vergelijking $y = 3 x^{2} + 6 x - 24$ ?

Neem over en vul de open plekken in:
$‐ 2 x^{2} + 16 x - 24 = .... (x ......) (x ......)$
Wat is dus de symmetrieas en de top van de parabool met vergelijking $y = ‐ 2 x^{2} + 16 x - 24$ ?

Als een parabool nulpunten heeft bij $x = a$ en $x = b$ dan kun je de vergelijking van de parabool schrijven in de vorm $y = c (x - a) (x - b)$ .
Deze vorm van de vergelijking van de parabool heet de nulpuntsvorm van de parabool.

De symmetrieas is dan $x = \frac{a + b}{2} = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$ .
De eerste (of $x$ -) coördinaat van de top is $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$ .

De top van een parabool ligt op de $y$ -as. Een nulpunt van de parabool is $x = 3$ . De parabool gaat verder door het punt $(‐ 1,16)$ .

Is dit een berg- of een dalparabool? Licht je antwoord toe.

Geef een vergelijking van de parabool.

(hint)

Bedenk wat het tweede nulpunt is en gebruik de nulpuntsvorm van de parabool.

Wat is de top van de parabool?

Drie verschijningsvormen

Er zijn drie verschijningsvormen van de vergelijking van een parabool, elk met zijn voor- en nadelen:

De standaardvorm $y = a x^{2} + b x + c$
Vooral handig voor het oplossen van vergelijkingen, bijvoorbeeld voor toepassen van de abc-formule.
De topvorm $y = c {(x - a)}^{2} + b$
Vooral handig voor het vinden van de top van de parabool en de symmetrieas.
De nulpuntsvorm $y = c (x - a) (x - b)$
Je kunt direct de snijpunten met de $x$ -as aflezen. De symmetrieas zit er dan midden tussen (evenals de top).

Let op: de waarden van $a$ , $b$ en $c$ zijn in de bovenstaande vormen telkens verschillend.

Hieronder staat telkens de vergelijking van een parabool in een van de drie vormen gegeven.
Schrijf de formule telkens in de twee andere vormen.

$y = ‐ \frac{1}{2} (x - 3) (x + 5)$

$y = ‐ 2 {(x + 3)}^{2} + 18$

$y = 5 x^{2} - 5 x - 60$