3.4  Formules van parabolen >
Parabolen verschuiven
1
a

( 0,0 )

b

( 0,1 ) ; 1  omhoog schuiven

c

( 0, 3 ) ; 3  omlaag schuiven

d
e

( 2,0 ) ; 2  naar links schuiven

f

( 1,0 ) ; 1  naar rechts schuiven

g
h

( 2, 1 ) ; 2 naar rechts en 1  omlaag schuiven (of andersom)

i

( 3,5 ) ; 3 naar links en 5  omhoog schuiven (of andersom)

2
a

Een kwadraat is minimaal 0 , dus ( x - 1 ) 2 is minimaal 0 . En je krijgt de waarde 0 door x = 1 te nemen. Dus is y = ( x - 1 ) 2 minimaal 0 bij x = 1 . y = ( x - 1 ) 2 - 2 is dus minimaal 2 , want er wordt 2 afgetrokken. Dus is ( 1, 2 ) het laagste punt van de parabool.

b

( x + 3 ) 2 is maximaal 0 . En je krijgt de waarde 0 door x = 3 te nemen. y = ( x + 3 ) 2 + 5 is dus maximaal 5 , want er wordt 5 bij opgeteld. Dus is ( 3,5 ) het hoogste punt van de parabool.

c

( 2,1 ) ; 2 naar rechts en 1  omhoog schuiven (of andersom)

d

y = 1 2 = 1 ; y = 5 2 = 25 ; y = ( 3 ) 2 = 9 ; y = ( x 100 ) 2
y = ( x 100 ) 2 en top ( 100,0 )

e

y = 1 2 + 10 = 11 ; y = 5 2 + 10 = 35 ; y = ( 3 ) 2 + 10 = 19 ; y = ( x + 50 ) 2 + 10
y = ( x + 50 ) 2 + 10 en top ( 50,10 )

f

y = 1 2 3 = 4 ; y = 5 2 3 = 28 ; y = ( 3 ) 2 3 = 12 ; y = ( x 10 ) 2 3
y = ( x 10 ) 2 3 en top ( 10, 3 )

3
a

Een kwadraat is minimaal nul, dus is 2 ( x 1 ) 2 minimaal nul. Dus 2 ( x 1 ) 2 + 3 is minimaal 3 en kan dus nooit nul zijn.

b

y 3

c

Een dalparabool, omdat 2 ( x 1 ) 2 minimaal 0 is.

d

Zie ook vraag a; y = 2 ( x 1 ) 2 + 3 is minimaal 3 ; dit is als ( ... ) 2 = 0 , dus als x = 1 ; top ( 1,3 )
symmetrieas: x = 1

e

3 naar beneden;
y = 2 ( x 1 ) 2

f

Meer dan 3 naar beneden schuiven;
y = 2 ( x 1 ) 2 - c waarbij c een positief getal is.

g

1 naar links en 3  omlaag (of andersom)

h

1 naar rechts en 3  omhoog (of andersom)

4

( 2,2 ) ; ( 3,0 )
( 3,2 ) ; ( 0,3 )

Vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as
5
a
b

keer 1 3

c

( a , 1 3 b )

d

Het punt op y = 1 3 x 2 komt op 1 3 deel van de hoogte van het punt op y = x 2

e

De grafiek wordt gespiegeld in de x -as en bovendien opgerekt met factor 2 .

6
a
b

Zie tweede figuur hierboven.

c

Nee: de verticale ligging klopt niet.

d

Eerst 3 naar links en 8 omhoog en daarna vermenigvuldigen met 1 2 ten opzichte van de x -as.

7
a

Eerst vermenigvuldigen t.o.v. de x -as met factor 3 en daarna 1 naar links en 2  omhoog schuiven; top: ( 1,2 )

b

Eerst vermenigvuldigen t.o.v. de x -as met factor 1 2 en daarna 2 naar rechts en 2  omlaag schuiven; top: ( 2, 2 )

c

y = x 2 2 x + 4 = ( x 1 ) 2 1 + 4 = ( x 1 ) 2 + 3 , dus alleen een verschuiving van 1 naar rechts en 3 omhoog; top: ( 1,3 )

d

y = x 2 4 x + 1 = ( x + 2 ) 2 + 4 + 1 = ( x + 2 ) 2 + 5 , dus eerst vermenigvuldigen t.o.v. de x -as met factor 1 en daarna 2 naar links en 5  omhoog schuiven; top: ( 2,5 )

Vergelijkingen voor parabolen opstellen
8
a

y = 2 ( x 3 ) 2 + 2 :
bergparabool met top ( 3,2 ) , dus D.

y = 1 2 ( x + 3 ) 2 + 2 :
bergparabool met top ( 3,2 ) , dus A.

b

TopB ( 2, 4 )
y = c ( x + 2 ) 2 4
6 = c ( 1 + 2 ) 2 4 (invullen ( 1,6 ) )
6 = 9 c 4
10 = 9 c
1 1 9 = c
Vergelijking B: y = 1 1 9 ( x + 2 ) 2 4


TopC ( 3,2 )
y = c ( x 3 ) 2 + 2
3 = c ( 5 3 ) 2 + 2 (invullen ( 5,3 ) )
3 = 4 c + 2
1 = 4 c
1 4 = c
Vergelijking C: y = 1 4 ( x 3 ) 2 + 2


TopE ( 5, 2 )
y = c ( x 5 ) 2 2
4 = c ( 6 5 ) 2 2 (invullen ( 6, 4 ) )
4 = c 2
2 = c
Vergelijking E: y = 2 ( x 5 ) 2 2

Kwadraatafsplitsen (2)
9
a

y = x 2 + 4 x 3 = ( x + 2 ) 2 7

b

y = 2 x 2 + 8 x 6
y = 2 ( x 2 + 4 x 3 )
y = 2 ( ( x + 2 ) 2 7 )
y = 2 ( x + 2 ) 2 14

c

( 2, 14 )

d

y = 1 2 x 2 + 3 x + 2
y = 1 2 ( x 2 + 6 x + 4 )
y = 1 2 ( ( x + 3 ) 2 5 )
y = 1 2 ( x + 3 ) 2 2 1 2

e

( 3, 2 1 2 )

f

Linkerkolom:

y = x 2 + x
y = ( x 2 x )
y = ( ( x 1 2 ) 2 1 4 )
y = ( x 1 2 ) 2 + 1 4
Top ( 1 2 , 1 4 )


y = 2 x 2 + 10 x + 1
y = 2 ( x 2 5 x 1 2 )
y = 2 ( ( x 2 1 2 ) 2 6 3 4 )
y = 2 ( x 2 1 2 ) 2 + 13 1 2
Top ( 2 1 2 ,13 1 2 )


Rechterkolom:

y = ( 2 x + 4 ) 2 + 4
Top ( 2,4 )


y = ( x + 3 ) ( x 7 )
snijpunten met de x -as zijn: ( 3,0 ) en ( 7,0 ) . De symmetrieas ligt daar midden tussen.
symmetrieas van de parabool: x = 3 + 7 2 = 2 ,
y = ( 2 + 3 ) ( 2 7 ) = 25
Top ( 2, 25 )

10
a

y

=

3 x 2 12 x + 18

Delen door 3

1 3 y

=

x 2 4 x + 6

Kwadraatafsplitsen

1 3 y

=

( x 2 ) 2 + 2

Keer 3

y

=

3 ( x 2 ) 2 + 6

Top:

( 2,6 )

b

y

=

2 x 2 4 x + 3

Delen door 2

1 2 y

=

x 2 + 2 x 1 1 2

Kwadraatafsplitsen

1 2 y

=

( x + 1 ) 2 2 1 2

Keer 2

y

=

2 ( x + 1 ) 2 + 5

Top:

( 1,5 )

c

y

=

( x 3 ) ( x + 2 )

Haakjes weg

y

=

x 2 + x + 6

Delen door 1

y

=

x 2 x 6

Kwadraatafsplitsen

y

=

( x 1 2 ) 2 6 1 4

Keer 1

y

=

( x 1 2 ) 2 + 6 1 4

Top:

( 1 2 ,6 1 4 )

d

y

=

1 5 x 2 + 4 5 x + 1

Keer 5

5 y

=

x 2 + 4 x + 5

Kwadraatafsplitsen

5 y

=

( x + 2 ) 2 + 1

Delen door 5

y

=

1 5 ( x + 2 ) 2 + 1 5

Top:

( 2, 1 5 )

11
a

y = 2 x 2 4 x + 5
1 2 y = x 2 2 x + 2 1 2
1 2 y = ( x 1 ) 2 1 + 2 1 2
y = 2 ( x 1 ) 2 + 3
Top: ( 1,3 )

b

( 2,1 )

c

y = 2 ( x + 2 ) 2 + 1 = 2 x 2 + 8 x + 9

d

y = x 2 4 x 7
y = x 2 + 4 x + 7
y = ( x + 2 ) 2 4 + 7
y = ( x + 2 ) 2 3
Top ( 2, 3 ) wordt door de verschuiving top ( 2, 1 ) ,
dus y = ( x 2 ) 2 1 = x 2 + 4 x 5

12
a

( 0,0 ) , ( 8,0 ) en ( 4,2 )

b

Het hoekpunt rechtsonder heeft eerste coördinaat 8 x ; De horizontale breedte van de rechthoek is ( 8 x ) x = 8 2 x ;
De hoogte van de rechthoek is y , dus is 1 2 x ;
De oppervlakte is 1 2 x ( 8 2 x ) = 4 x x 2

c

Opp. = 4 x x 2 = ( x 2 4 x ) = ( ( x 2 ) 2 4 ) = ( x 2 ) 2 + 4
De oppervlakte is maximaal bij de top, dus bij x = 2 en is maximaal 4 .

Nulpunten
13
a

0

=

2 x 2 4 x 6

Delen door 2

0

=

x 2 2 x 3

Ontbinden

0

=

( x + 1 ) ( x 3 )

x = 1

  of  

x = 3

b

Dat zie je door 2 ( x + 1 ) ( x 3 ) zonder haakjes te schrijven:
2 ( x + 1 ) ( x 3 ) = 2 ( x 2 2 x 3 ) = 2 x 2 4 x 6

c

symmetrieas: x = 1 + 3 2 = 1
Invullen geeft y = 2 2 2 = 8 , dus top ( 1, 8 )

d

3 x 2 + 6 x 24 = 3 ( x 2 ) ( x + 4 )

e

symmetrieas: x = 4 + 2 2 = 1
Invullen geeft y = 3 3 3 = 27 , dus top ( 1, 27 )

f

2 x 2 + 16 x 24 = 2 ( x 2 ) ( x - 6 )
symmetrieas: x = 2 + 6 2 = 4 ; top ( 4,8 )

14
a

Het nulpunt geeft punt ( 3,0 ) op de parabool. Als de top op de y -as ligt, dan liggen vanwege de symmetrie ook de punten ( 1,16 ) en ( 3,0 ) op de parabool. Dus dan moet het een bergparabool zijn.

b

De nulpunten zijn x = 3 en x = 3 , dus de formule is van de vorm y = c ( x + 3 ) ( x 3 ) . Punt ( 1,16 ) invullen: 16 = c ( 1 + 3 ) ( 1 3 ) 16 = 8 c c = 2
Vergelijking: y = 2 ( x + 3 ) ( x 3 ) ( = 2 x 2 + 18 )

c

Top: ( 0,18 )

Drie verschijningsvormen
15
a

Standaardvorm: y = 1 2 x 2 x + 7 1 2
Topvorm: y = 1 2 ( x + 1 ) 2 + 8

b

Standaardvorm: y = 2 x 2 12 x
Nulpuntsvorm: y = 2 x ( x + 6 )

c

Nulpuntsvorm: y = 5 ( x 4 ) ( x + 3 )
Topvorm: y = 5 ( x 1 2 ) 2 - 61 1 4