1

a

$2 x + 1$

b

3

c

$\frac{2 x + 1}{x} = 3$
$2 x + 1 = 3 x$
$1 = x$

d

$\frac{2 x + 3}{x + 1} = 4$
Beide kanten met $x + 1$ vermenigvuldigen geeft:
$2 x + 3 = 4 (x + 1)$
$2 x + 3 = 4 x + 4$
$‐ 1 = 2 x$
$‐ \frac{1}{2} = x$

e

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 2} = 2$
$x^{2} + 1 = 2 (x^{2} - 2)$
$x^{2} + 1 = 2 x^{2} - 4$
$5 = x^{2}$
$x = \sqrt{5}$ of $x = ‐ \sqrt{5}$

f

$\frac{x - 1}{x} = x + 3$
$x - 1 = x (x + 3)$
$x - 1 = x^{2} + 3 x$
$0 = x^{2} + 2 x + 1$
${(x + 1)}^{2} = 0$
$x = ‐ 1$

2

a

Beide driehoeken hebben een rechte hoek en dezelfde hellingshoek, dus zijn alle hoeken gelijk (en dus zijn ze gelijkvormig).

b

De diagonaal deelt de grote rechthoek in twee gelijke driehoeken,
dus A + B + E = C + D + F
en omdat A = C en B = D geldt E = F.

c

Opp_E = $b \cdot c$
Opp_F = $a \cdot d$
Ook nu geldt: als $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ dan $a d = b c$

3

a

$\frac{4}{x + 1} = \frac{2}{x - 1}$
$4 (x - 1) = 2 (x + 1)$
$4 x - 4 = 2 x + 2$
$2 x = 6$
$x = 3$

b

$\frac{x}{2 x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$
$x (x - 1) = (2 x + 1) (x + 1)$
$x^{2} - x = 2 x^{2} + 3 x + 1$
$0 = x^{2} + 4 x + 1$
${(x + 2)}^{2} - 4 + 1 = 0$
${(x + 2)}^{2} = 3$
$x + 2 = \sqrt{3}$ of $x + 2 = ‐ \sqrt{3}$
$x = ‐ 2 + \sqrt{3}$ of $x = ‐ 2 - \sqrt{3}$

c

$\frac{x + 1}{x} = \frac{4 x}{x + 1}$
${(x + 1)}^{2} = 4 x^{2}$
$x + 1 = 2 x$    of    $x + 1 = ‐ 2 x$
$x = 1$    of    $3 x = ‐ 1$
$x = 1$    of    $x = ‐ \frac{1}{3}$

d

$\frac{3}{2 x - 2} = \frac{1}{1 - x}$
$3 (1 - x) = 2 x - 2$
$3 - 3 x = 2 x - 2$
$5 = 5 x$
$1 = x$ , maar let op, zie het antwoord bij de volgende opgave!!

4

De linkerkant wordt dan bijvoorbeeld $\frac{3}{0}$ en dit heeft geen betekenis.

5

a

$x = ‐ \frac{1}{2}$ en $x = 1$ ; $x = 0$ en $x = ‐ 1$

b

De waarden $0$ en $1$ .

c

$x = x^{2} - x$
$0 = x^{2} - 2 x$
$x (x - 2) = 0$
$x = 0$ of $x = 2$
Maar $x = 0$ maakt noemers 0, dus de enige oplossing is $x = 2$ .

6

a

$\frac{x + 3}{x + 4} = \frac{3 x + 3}{x + 6 \frac{1}{2}}$

b

$\frac{x + 3}{x + 4}$	$=$	$\frac{3 x + 3}{x + 6 \frac{1}{2}}$	kruislings vermenigvuldigen
$(x + 3) (x + 6 \frac{1}{2})$	$=$	$(x + 4) (3 x + 3)$	haakjes weg
$x^{2} + 9 \frac{1}{2} x + 19 \frac{1}{2}$	$=$	$3 x^{2} + 15 x + 12$	op nul herleiden
$0$	$=$	$2 x^{2} + 5 \frac{1}{2} x - 7 \frac{1}{2}$	KEER 2
$0$	$=$	$4 x^{2} + 11 x - 15$	abc-formule
$x = \frac{‐ 11 - \sqrt{361}}{8}$	of	$x = \frac{‐ 11 + \sqrt{361}}{8}$	uitrekenen
$x = ‐ 3 \frac{3}{4}$	of	$x = 1$

c

$x = 1$ (want kan niet negatief zijn)

7

a

$x + 2 \sqrt{x} - 3 = 0$ (noem $p = \sqrt{x}$ )
$p^{2} + 2 p - 3 = 0$
$(p + 3) (p - 1) = 0$
$p = ‐ 3$ of $p = 1$
$\sqrt{x} = ‐ 3$ of $\sqrt{x} = 1$
$x = 1$ ( $\sqrt{x} = ‐ 3$ kan niet)
Anders:
$(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1) = 0$
$\sqrt{x} = ‐ 3$ of $\sqrt{x} = 1$
$x = 1$ ( $\sqrt{x} = ‐ 3$ kan niet)

b

$x {(x + 1)}^{2} = 25 x$
$x (x^{2} + 2 x + 1) = 25 x$
$x^{3} + 2 x^{2} - 24 x = 0$
$x (x^{2} + 2 x - 24) = 0$
$x (x + 6) (x - 4) = 0$
$x = 0$ of $x = ‐ 6$ of $x = 4$

Handiger:
$x {(x + 1)}^{2} = 25 x$
$x = 0$ of ${(x + 1)}^{2} = 25$
$x = 0$ of $x + 1 = ‐ 5$ of $x + 1 = 5$
$x = 0$ of $x = ‐ 6$ of $x = 4$

c

$\sqrt{2 x + 20} = ‐ x$ (kwadrateren)
$2 x + 20 = x^{2}$
$0 = x^{2} - 2 x - 20$
$0 = {(x - 1)}^{2} - 1 - 20$
$21 = {(x - 1)}^{2}$
$x - 1 = ‐ \sqrt{2} 1$ of $x - 1 = \sqrt{2} 1$
$x = 1 - \sqrt{2} 1$ of $x = 1 + \sqrt{2} 1$
$x = 1 + \sqrt{2} 1$ voldoet niet, dan is $‐ x$ een negatief getal en dus $\sqrt{2 x + 20}$ $(= ‐ x)$ een negatief getal. De wortel kan nooit negatief zijn. De enige oplossing is dus $x = 1 - \sqrt{2} 1$ .

d

$x^{4} - 7 x^{2} + 10 = 0$ (noem $p = x^{2}$ )
$p^{2} - 7 p + 10 = 0$
$(p - 2) (p - 5) = 0$
$p = 2$ of $p = 5$
$x^{2} = 2$ of $x^{2} = 5$
$x = ‐ \sqrt{2}$ of $x = \sqrt{2}$ of $x = ‐ \sqrt{5}$ of $x = \sqrt{5}$

e

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x} + 4 = 0$ (alles keer $x^{2}$ )
$1 - 5 x + 4 x^{2} = 0$
$4 x^{2} - 5 x + 1 = 0$
$D = {(‐ 5)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9$ , dus $\sqrt{D} = 3$
$x = \frac{5 - 3}{8}$ of $x = \frac{5 + 3}{8}$
$x = \frac{1}{4}$ of $x = 1$
Anders:
noem $p = \frac{1}{x}$ , dan: $p^{2} - 5 p + 4 = 0$
$(p - 1) (p - 4) = 0$
$p = 1$ of $p = 4$
$\frac{1}{x} = 1$ of $\frac{1}{x} = 4$
$x = 1$ of $x = \frac{1}{4}$

f

Eerst: ${(x + 2)}^{3}$ $= (x + 2) (x + 2) (x + 2)$ $= (x + 2) (x^{2} + 4 x + 4)$ $= x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$
Dus: $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = 8 x^{2} + 12 x + 8$
$x^{3} - 2 x^{2} = 0$
$x^{2} (x - 2) = 0$
$x = 0$ of $x = 2$