Gegeven is de parabool met vergelijking $y = x^{2}$ .

We bekijken de lijnen $m_{k}$ met vergelijking $y = x + k$ .
Als je $k = 0$ neemt, krijg je de lijn $m_{0}$ , dat is de lijn met vergelijking $y = x$ . Zo is $m_{‐ 1}$ de lijn met vergelijking $y = x - 1$ , enzovoort.

In de figuur zijn de lijnen $m_{‐ 2}$ , $m_{‐ 1}$ , $m_{0}$ , $m_{1}$ en $m_{2}$ getekend.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $m_{0}$ met de parabool.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $m_{2}$ met de parabool.

Ga met een berekening na dat $m_{‐ 2}$ geen snijpunten met de parabool heeft. Gebruik de discriminant.

Als je $k$ groter maakt, schuift de lijn $m_{k}$ omhoog. Er is één getal $k$ waarvoor de lijn $m_{k}$ precies één gemeenschappelijk punt met de parabool heeft.

Met de applet raaklijn kun je deze lijn zoeken.

Doe dit.

Maar erg nauwkeurig is de gevonden waarde niet. Over hoe je de waarde exact kunt berekenen gaat het vervolg van deze opgave.

Om de $x$ -coördinaten te berekenen van de snijpunten

van de parabool met $m_{‐ 1}$ los je op: $x^{2} = x - 1$
van de parabool met $m_{0}$ los je op: $x^{2} = x$
van de parabool met $m_{1}$ los je op: $x^{2} = x + 1$

Bereken de discriminant $D$ van deze vergelijkingen.

Aan de discriminanten zie je dat $m_{‐ 2}$ en $m_{‐ 1}$ geen snijpunten met de parabool hebben en dat $m_{0}$ en $m_{1}$ twee snijpunten met de parabool hebben.

Als je de snijpunten van $m_{k}$ met de parabool wilt berekenen, bekijk je de vergelijking $x^{2} = x + k$ , dus $x^{2} - x - k = 0$ . De discriminant van deze vergelijking hangt van $k$ af.

Bereken die discriminant (de letter $k$ komt erin voor).

Bereken voor welke waarde van $k$ lijn $m_{k}$ precies één punt gemeenschappelijk heeft met de parabool.

Als je het goed gedaan hebt, vind je $k = ‐ \frac{1}{4}$ .
De vergelijking van de raaklijn is dus $y = x - \frac{1}{4}$ .

Bereken het gemeenschappelijke punt, het raakpunt, van de parabool met de lijn $y = x - \frac{1}{4}$ .

Alle lijnen die evenwijdig met de symmetrieas van de parabool zijn (dus verticaal zijn), hebben natuurlijk één gemeenschappelijk punt met de parabool. Als een lijn niet evenwijdig met de symmetrieas is en één gemeenschappelijk punt met de parabool heeft, dan is de lijn een raaklijn aan de parabool.

Als je het snijpunt van de parabool en een (niet verticale) lijn berekent, krijg je een tweedegraads vergelijking.
Voor de discriminant $D$ van deze vergelijking geldt:

$D < 0$ : de lijn heeft geen punten met de parabool gemeenschappelijk;
$D = 0$ : de lijn heeft één punt met de parabool gemeenschappelijk (raaklijn);
Dit gemeenschappelijke punt van de parabool en de raaklijn heet het raakpunt.
$D > 0$ : de lijn heeft twee snijpunten met de parabool gemeenschappelijk.

Voor de parabool uit opgave 48 geldt dus:
De lijn $y = x - \frac{1}{4}$ is een raaklijn aan de parabool $y = x^{2}$ .

Het raakpunt is $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ .

In het rooster is de parabool met vergelijking $y = ‐ x^{2} + 1$ getekend.
We bekijken de lijnen $y = a x + 3$ voor alle mogelijke waarden van $a$ .

De lijnen gaan voor alle waarden van $a$ door hetzelfde punt. Welk punt is dat?

Er zijn twee waarden van $a$ waarvoor je een raaklijn aan de parabool krijgt.

Stel een vergelijking op om de snijpunten van de lijnen met de parabool te berekenen. In de vergelijking komt de letter $a$ voor.

Bereken de discriminant. Ook hier komt de letter $a$ in voor.

Bereken exact voor welke twee waarden van $a$ de lijn de parabool raakt.

Bereken de exacte coördinaten van de twee raakpunten.

Bekijk de vergelijking $x^{2} + k x + 4 = 0$ .

Neem $k = 5$ en los de vergelijking op.

Er zijn twee waarden van $k$ waarvoor de vergelijking precies één oplossing heeft.

Bereken deze waarden van $k$ .

Eén van de waarden die je gevonden hebt, is $k = 4$ .

Los de vergelijking op als $k = 4$ .

Gegeven een parabool met vergelijking $y = p x^{2} - 6 x - 1$ .

De grafiek bij de vergelijking is niet voor elke waarde van $p$ een parabool.

Voor welke waarde(n) van $p$ ?

Bereken voor welke waarde van $p$ parabool één snijpunt met de $x$ -as heeft.

Gegeven een parabool met vergelijking $y = \frac{1}{2} x^{2} - p x + 2$ .

Bereken voor welke waarden van $p$ de parabool twee snijpunten heeft met de $x$ -as.

Gegeven een parabool met vergelijking $y = 2 x^{2} + 4 x + p$ .

Bereken voor welke waarden van $p$ de parabool geen snijpunten met de $x$ -as heeft.

We bekijken de lijnen $m_{k}$ met vergelijking $y = k x$ .

Voor elke waarde van $k$ krijg je een lijn door de oorsprong.

Waarom?

Voor welke $k$ krijg je de $x$ -as?
En de lijn door $(‐ 2,5)$ ?

Eén lijn door de oorspong krijg je niet. Welke?

In de figuur zijn de parabool met vergelijking $y = {(x - 1)}^{2}$ en de lijnen $m_{1}$ , $m_{3}$ en $m_{‐ 2}$ getekend.

Er zijn twee lijnen $m_{k}$ die de parabool raken.

Met de applet raaklijn_2 kun je deze lijn zoeken.

Doe dit.

We kunnen de twee waarden van $k$ ook berekenen.

Om de snijpunten van $m_{k}$ met de parabool te vinden, moet je de vergelijking ${(x - 1)}^{2} = k x$ oplossen.

Laat zien dat die vergelijking geschreven kan worden als: $x^{2} - (2 + k) x + 1 = 0$ .

Bereken de discriminant van deze vergelijking.

Hoe kun je aan de discriminant zien dat $m_{1}$ twee snijpunten met de parabool heeft?

Welk getal moet je voor $k$ nemen om ervoor te zorgen dat $m_{k}$ precies één gemeenschappelijk punt met de parabool heeft?

Geef de vergelijkingen van de twee raaklijnen aan de parabool.

Gegeven de parabool met vergelijking $y = 4 - x^{2}$ .
We bekijken de lijnen $m_{k}$ met vergelijking $y = k x + 5$ .

Bereken voor welke waarde van $k$ de lijn $m_{k}$ raaklijn is aan de parabool.

Bereken in graden nauwkeurig de hellingshoek van deze twee raaklijnen.