kwadratische vergelijkingen oplossen

De nulpunten van een vergelijking zijn de oplossingen van de vergelijking als y = 0 .

Bij het systematisch oplossen van kwadratische vergelijkingen zijn er twee belangrijke stappen:

  • herleiden op 0,

  • daarna kun je kiezen uit:

    • ontbinden in factoren

      Na het ontbinden heb je een product met uitkomst nul. Dat kan alleen als minstens één van beide factoren nul is.
      Voorbeeld

      x 2 3 x 4 = 0
      ontbinden in factoren
      ( x 4 ) ( x + 1 ) = 0
      x = 4    of    x = 1
    • kwadraatafsplitsen
      Voorbeeld

      2 x 2 + 12 x + 6 = 0
      DELEN DOOR 2
      x 2 + 6 x + 3 = 0
      kwadraatafsplitsen
      ( x + 3 ) 2 9 + 3 = 0
      PLUS 6
      ( x + 3 ) 2 = 6
      x + 3 = 6    of    x + 3 = 6
      x = 3 + 6    of    x = 3 6
    • abc-formule (wortelformule)
      Van de vierkantsvergelijking a x 2 + b x + c = 0 (met a 0 ) is D = b 2 4 a c de discriminant.
      De vergelijking heeft

      • geen oplossingen als D < 0

      • één oplossing als D = 0 , namelijk: x = b 2 a

      • twee oplossingen als D > 0 namelijk: x = b + D 2 a of x = b D 2 a

      Voorbeeld

               

      2 x 2 + 4 x 1 = 0

      a = 2 , b = 4 , c = 1

      D = 4 2 4 2 1 = 24       D = 24 = 2 6

      x = 4 2 6 4  of  x = 4 + 2 6 4

      x = 1 1 2 6  of  x = 1 + 1 2 6

parabolen

De parabool met vergelijking y = x 2 noemen we de standaardparabool.

De parabool y = c ( x a ) 2 + b (met c 0 ) ontstaat uit de standaardparabool door die eerst met factor c ten opzichte van de x -as te vermenigvuldigen en daarna a eenheden naar rechts en b eenheden naar boven te schuiven.

De top van de parabool is ( a , b ) .

Je krijgt een dalparabool als c > 0 en een bergparabool als c < 0 .

Voor positieve c geldt: hoe groter c , hoe smaller de parabool.

Voor negatieve c geldt: hoe kleiner c (meer negatief), hoe smaller de parabool.

De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top. Een vergelijking van de symmetrieas is: x = a .

drie verschijningsvormen

Er zijn drie verschijningsvormen van de vergelijking van een parabool, elk met zijn voor- en nadelen.

  • De standaardvorm y = a x 2 + b x + c
    Vooral handig voor het oplossen van vergelijkingen, bijvoorbeeld voor toepassen van de abc-formule.

  • De topvorm y = c ( x a ) 2 + b
    De top is dan ( a , b ) .
    De symmetrieas is x = a .

  • De nulpuntsvorm y = c ( x a ) ( x b )
    Dit kan alleen als de parabool nulpunten heeft bij x = a en x = b .
    De symmetrieas is dan x = a + b 2 = 1 2 a + 1 2 b
    De eerste (of x -) coördinaat van de top is 1 2 a + 1 2 b .

opstellen van een vergelijking voor parabolen

Gebruik de topvorm: de vergelijking is y = c ( x a ) 2 + b (met c 0 ),
( a , b ) is de top en een willekeurig punt is ( x , y ) .

Voorbeeld (zie grafiek):

De top van de parabool is ( 1,2 ) , dus a = 1 en b = 2 .

Dit geeft: y = c ( x + 1 ) 2 + 2 .
Een punt op de parabool is ( 3,1 ) , dan x = 3 en y = 1 .
Dit punt invullen geeft:
1 = c ( 3 + 1 ) 2 + 2
1 = 16 c + 2
1 = 16 c
1 16 = c
Vergelijking van de parabool: y = 1 16 ( x + 1 ) 2 + 2 .

parabool en (raak)lijn

Alle lijnen die evenwijdig met de symmetrieas van de parabool zijn (dus verticaal zijn), hebben natuurlijk één gemeenschappelijk punt met de parabool. Als een lijn niet evenwijdig met de symmetrieas is en één gemeenschappelijk punt met de parabool heeft, dan is de lijn een raaklijn aan de parabool.


Als je het snijpunt van de parabool en een (niet verticale) lijn berekent, krijg je een tweedegraads vergelijking.
Voor de discriminant D van deze vergelijking geldt:

  • D < 0 : de lijn heeft geen punten met de parabool gemeenschappelijk;

  • D = 0 : de lijn heeft één punt met de parabool gemeenschappelijk (raaklijn);
    Dit gemeenschappelijke punt van de parabool en de raaklijn heet het raakpunt.

  • D > 0 : de lijn heeft twee snijpunten met de parabool gemeenschappelijk.

nog meer vergelijkingen

Sommige vergelijkingen zien er niet direct uit als kwadratische vergelijkingen, maar kunnen wel met een extra tussenstap worden teruggebracht tot een kwadratische vergelijking.

  • kruislings vermenigvuldigen
    Als a b = c d dan a d = b c

    • Noemers mogen niet 0 zijn. (Delen door nul is 'flauwekul'.)

    • Door kruislings te vermenigvuldigen werk je noemers weg.

    • De vergelijking na kruislings vermenigvuldigen kan dus getallen als oplossing hebben waarvoor de oorspronkelijke vergelijking geen betekenis heeft.

    Ga bij gebroken vergelijkingen daarom na welke getallen een noemer 0 maken. Voor dergelijke getallen heeft de vergelijking geen betekenis.

  • een macht van x buiten haakjes halen

  • substitutie (of vervanging)