Windenergie
De hoeveelheid vermogen die een windmolen levert is evenredig met de derde macht van de windsnelheid.
De windsnelheid noemen we $x$ (in m/s) en de geleverde energie $y$ (in watt). Er is dus een getal $c$ , zodat $y = c \cdot x^{3}$ ; $c$ is de zogenaamde evenredigheidsconstante.

Een zekere windmolen levert bij een windsnelheid van $10$ m/s $250$ watt energie.

Bereken de waarde van $c$ .

Neem de tabel over en bereken de waarden op de open plekken.

$x$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$	$20$
$y$

Teken op de GR de grafiek van $y$ als functie van $x$ . Kies een geschikt window.

Wat gebeurt er met de geleverde energie als de windsnelheid twee keer zo groot wordt?

Bij een zekere windsnelheid levert de molen $1000$ watt.
Je kunt uit de grafiek aflezen dat die windsnelheid ongeveer $15$ m/s is.

Bereken of die $15$ m/s iets te veel of iets te weinig is.

Deze laatste windsnelheid kun je ook rechtstreeks berekenen. Als volgt:

$1000$	$=$	$0,25 \cdot x^{3}$	DEEL DOOR $0,25$
$4000$	$=$	$x^{3}$	neem $\sqrt[3]{}$
$x$	$\approx$	$15,874$

Oppervlakte en inhoud
We bekijken de oppervlakte en inhoud van een kubus met ribbe $x$ (cm). De totale oppervlakte van de kubus (van de zes grensvlakken) noemen we $A$ ( ${cm}^{2}$ ) en de inhoud $I$ ( ${cm}^{3}$ ).

Geef een formule voor $A$ uitgedrukt in $x$ .
Geef ook een formule voor $I$ uitgedrukt in $x$ .

Bereken $x$ in één decimaal nauwkeurig als $A = 20$ .

Bereken $x$ in één decimaal nauwkeurig als $I = 20$ .

Hoeveel keer zo groot wordt de oppervlakte als je de ribbe verdubbelt?
Hoeveel keer zo groot wordt dan de inhoud?

Straling
Hete voorwerpen zenden veel straling uit, koude voorwerpen minder. Hoe meer een voorwerp afkoelt, des te minder straling het uitzendt.
Een onderzoeker heeft een plaatje metaal opgewarmd tot $800$ kelvin. (In de natuurkunde is men gewend de temperatuur uit te drukken in kelvin in plaats van in graden Celsius.)
Het plaatje koelt af. Om de $100$ kelvin meet de onderzoeker de straling. Zijn resultaten staan in de tabel hieronder; $T$ is de temperatuur in honderden kelvin, $S$ is de straling in watt.

$T$	$8$	$7$	$6$	$5$	$4$	$3$
$S$	$232,6$	$136,4$	$73,6$	$35,5$	$14,5$	$4,6$

De onderzoeker merkt op dat $S$ evenredig is met $T^{4}$ , dat wil zeggen dat het verband tussen $T$ en $S$ wordt gegeven door een formule in de gedaante $S = c \cdot T^{4}$ .

Bepaal met de gegevens uit de tabel de evenredigheidsconstante $c$ . Geef je antwoord afgerond op 3 decimalen.

Teken op de GR de bijbehorende grafiek; zet $T$ horizontaal uit en $S$ verticaal. Kies een geschikt window.

Na een tijdje is $T$ nog maar de helft van in het begin.

Hoe is dan de straling veranderd?

Ga na bij welke temperatuur (in kelvin) de straling $S$ nul is.

Roeien
In de tabel hieronder staat voor vier boten de snelheid die gemiddeld op topwedstrijden voor heren door de winnaar wordt gerealiseerd. Voor een grotere snelheid heb je een grotere boot (met meer roeiers) nodig.

	snelheid (m/s)	aantal roeiers
skiff	$4,55$	$1$
twee zonder	$4,91$	$2$
vier zonder	$5,30$	$4$
acht met	$5,73$	$8$

De snelheid noemen we $x$ (m/s), het aantal roeiers $y$ . Er geldt (bij benadering): $y = {(0,22 \cdot x)}^{9}$ .

Controleer deze formule voor twee van de boten.

Er bestaan geen officiële roeiwedstrijden voor boten met een ander aantal roeiers dan in de tabel staan. Die fantaseren we er nu maar even bij.

Bereken hoeveel roeiers je nodig hebt om een snelheid van $5,87$ m/s te halen.

Welke snelheid (in km/u) zou een zes-zonder-stuurman realiseren in een topwedstrijd? Rond je antwoord af op 1 decimaal.

In toepassingen zoals in de voorgaande opgaven kan de invoervariabele $x$ alleen een positieve waarde hebben. In de komende opgaven laten we ook negatieve waarden voor $x$ toe.

We bekijken de functie $y = x^{3}$ op het interval $[‐ 3,3]$ .

Maak een tabel voor deze functie en teken op de GR de grafiek.

$x$	$‐ 3$	$‐ 2$	$‐ 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$

Is de stijging van $y = x^{3}$ afnemend of toenemend?

Maak ook een tabel voor $y = x^{4}$ en teken op de GR de grafiek.

Omschrijf de daling/stijging van $y = x^{4}$ .

De grafiek van $y = x^{2}$ is een (dal)parabool. De grafiek van $y = x^{4}$ lijkt daar wel wat op, maar loopt 'vlakker' in de buurt van $x = 0$ en steiler buiten het interval $[‐ 1,1]$ . De grafiek van $y = x^{4}$ is géén parabool.

Bekijk de grafieken van $y = x^{3}$ en $y = x^{4}$ uit opgave 18 nog eens.

De lijn $x = 2 \frac{1}{2}$ snijdt de grafiek van $y = x^{3}$ in het punt $P$ en de grafiek van $y = x^{4}$ in het punt $Q$ .

Bereken exact de lengte van het lijnstuk $P Q$ .

De lijn $y = 25$ snijdt de grafiek van $y = x^{3}$ in het punt $R$ en de grafiek van $y = x^{4}$ in het punt $S$ .

Bereken de lengte van het lijnstuk $R S$ afgerond op 3 decimalen. Let op: er zijn twee mogelijkheden.

In deze paragraaf bekijken we de functies waarbij $y$ een macht is van $x$ , bijvoorbeeld: $y = x^{3}$ , $y = x^{4}$ en $y = x^{9}$ .
Dat zijn zogenaamde machtsfuncties.

Van dit soort functies zoeken we een formule voor de gemiddelde groei op een willekeurig $x$ -interval.
Voor de macht $2$ , dus $y = x^{2}$ , is in de vorige paragraaf gebleken dat de gemiddelde groei op het $x$ -interval $[a, b]$ gelijk is aan $a + b$ .
Maar hoe zit het bij andere machten?

Bekijk de functie $y = x^{3}$ .

Bereken de gemiddelde groei van $y$ op de volgende $x$ -intervallen: $[‐ 3,3]$ , $[‐ 1,2]$ en $[2,3]$ .

Bereken de gemiddelde groei van $y$ op het $x$ -interval $[a, b]$ . Probeer het quotiënt maar niet te vereenvoudigen; dat doen we verderop in opgave 21.

In het bijzondere geval dat $a = ‐ b$ kun je het quotiënt wel gemakkelijk vereenvoudigen. Doe dat.

We gaan de uitdrukking uit opgave 20b vereenvoudigen.
Algemeen geldt de formule $\frac{b^{3} - a^{3}}{b - a} = b^{2} + b a + a^{2}$ voor alle getallen $a$ en $b$ , met $a \neq b$ .

Controleer deze formule voor de drie intervallen in opgave 20a.

Om deze formule te bewijzen schrijven we hem anders:
$\frac{b^{3} - a^{3}}{b - a} = b^{2} + b a + a^{2}$ $\to$ $b^{3} - a^{3} = (b - a) (b^{2} + b a + a^{2})$ .

Leg uit hoe deze laatste formule volgt uit de twee onderstaande plaatjes.

Laat zien dat de formule juist is voor alle getallen $a$ en $b$ door de haakjes uit te werken.

Bereken algebraïsch voor welk getal $b$ (groter dan $1$ ) geldt: de gemiddelde groei van $y = x^{3}$ op het $x$ -interval $[1, b]$ is $31$ .

Bereken algebraïsch voor welk getal $a$ (kleiner dan $1$ ) geldt: de gemiddelde groei van $y = x^{3}$ op het $x$ -interval $[a,1]$ is $31$ .

Bekijk de functie $y = x^{4}$ .

Bereken de gemiddelde groei van $y$ op de volgende $x$ -intervallen: $[‐ 2,2]$ , $[‐ 1,2]$ en $[‐ 2,0]$ .

Bereken de gemiddelde groei van $y$ op het $x$ -interval $[a, b]$ . (Vereenvoudigen hoeft weer niet, dat doen we in opgave 24.)

Wat is de gemiddelde groei in het bijzondere geval dat $b = ‐ a$ ?

In het bijzondere geval dat $a = 0$ is de gemiddelde groei gemakkelijk te vereenvoudigen. Doe dat.

We gaan de uitdrukking uit opgave 23b vereenvoudigen.
Algemeen geldt de formule $\frac{b^{4} - a^{4}}{b - a} = b^{3} + b^{2} a + b a^{2} + a^{3}$ voor alle getallen $a$ en $b$ , met $a \neq b$ .

Controleer deze formule voor de drie intervallen in opgave 23a.

Om deze formule te bewijzen schrijven we hem anders:
$b^{4} - a^{4} = (b - a) (b^{3} + b^{2} a + b a^{2} + a^{3})$ .
Het lukt nu niet meer om bij de formule passende plaatjes te tekenen.

Laat zien dat de formule juist is voor alle getallen $a$ en $b$ door de haakjes uit te werken.

Schets de grafiek van de functie $y = x^{5}$ .
(Teken hem eerst op je GR.)

De gemiddelde groei van $y = x^{5}$ op het $x$ -interval $[a, b]$ is $\frac{b^{5} - a^{5}}{b - a}$ .

Kun je voor deze uitdrukking een formule maken zoals in opgave 21 en opgave 24, dus $\frac{b^{5} - a^{5}}{b - a} = ...$ ?

(hint)

Kijk goed naar de regelmaat in de machten van zowel $a$ als $b$ in de formules in opgave 21 en opgave 24.

Uit de formule van vraag b volgt (vul in):
$b^{5} - a^{5} = (.........) (..................)$ .

Bewijs dat de formule uit vraag c juist is voor alle getallen $a$ en $b$ door de haakjes uit te werken.

We bekijken nu $y = x^{6}$ .

Schets de grafiek.

Vul in wat er op de plaats van de puntjes moet staan.

De gemiddelde groei van $y = x^{6}$ op het $x$ -interval $[a, b]$ is
$\frac{b^{6} - a^{6}}{b - a} = ......$ dus $b^{6} - a^{6} = (b - a) (......)$ .

Bewijs dat de formule juist is voor alle getallen $a$ en $b$ door de haakjes uit te werken.

Schets de grafiek van de functie $y = x^{8}$ .

Schets de grafiek van de functie $y = x^{9}$ .

Voor de machtsfunctie $y = x^{n}$ onderscheiden we twee gevallen: " $n$ is even" en " $n$ is oneven".

Wat is het typerende verschil tussen de grafieken in deze gevallen?

De gemiddelde groei van $y = x^{10}$ op het $x$ -interval $[a, b]$ is $\frac{b^{10} - a^{10}}{b - a}$ .

Maak de formule af: $\frac{b^{10} - a^{10}}{b - a} = b^{9} + ...$ .