4.4  Groeisnelheid op één moment >
1
a

De linker grafiek hoort bij vat IV.
De rechter grafiek hoort bij vat I.

b
figuur opgave 29b
2
a

3 4 π 0,24  cm/minuut, dus 2,4  mm/min.

b

120 km 1 uur = 120.000 m 3600 s = 33 1 3  m/s
(Of direct: 120 : 3,6 = 33 1 3  m/s.)

c

1,5  °C/hm

3
a

Op [ 3,5 ] : Δ y Δ x = 19 1 2 ( 1 2 ) 5 ( 3 ) = 20 8 = 2 1 2 .

b

Op [ a , b ] : Δ y Δ x = 2 1 2 b + 7 ( 2 1 2 a + 7 ) b a = 2 1 2 b 2 1 2 a b a = 2 1 2 ( b a ) b a = 2 1 2 .

c

Het is een lineaire functie (rechte lijn), dus de gemiddelde groei op elk interval is gelijk aan de richtingscoëfficiënt.

4
a

Dat de gemiddelde snelheid misschien wel 40  km/u was, maar dat de topsnelheid (veel) hoger dan 50  km/u was.

b

Een rechte lijn door ( 0,0 ) en ( 15,10 ) .

c

De snelheid (rc raaklijn) is ongeveer 75  km/u, dus de boete is 100  florijnen.

d

Lijn met helling van 50  km/u tekenen: lijn door bijv. ( 0,0 ) en ( 12,10 ) .
Het hele stuk tussen 5 en 10  km hebben ze te hard gereden, dus in totaal 5  km.

e

Ja.

5
a

Helling = 4 .

b

In ( 1,1 ) : helling = 2 ;
in ( 2 1 2 ,6 1 4 ) : helling = 5 .

c

Helling = 3 in ( 1 1 2 ,2 1 4 ) ;
helling = 5 in ( 2 1 2 ,6 1 4 ) .

6

Niets.

7

45  meter in 5  seconden, dat is gemiddeld 9  m/s.
125  meter in 5  seconden, dat is gemiddeld 25  m/s.
De auto ging steeds harder, dus na 5  seconden reed hij tussen 9 en 25  m/s.

8
a

Op [ 1,9 ; 2 ] : 1,9 + 2 = 3,9 .
Op [ 2 ; 2,1 ] : 2 + 2,1 = 4,1 .
De helling bij x = 2 ligt tussen 3,9 en 4,1 .

b

Op [ 1,99 ; 2 ] : 1,99 + 2 = 3,99 .
Op [ 2 ; 2,01 ] : 2 + 2,01 = 4,01 .
De helling bij x = 2 ligt tussen 3,99 en 4,01 .

c

De helling bij x = 2 is 4 .

9
a

Intervallen [ 2,9 ; 3 ] en [ 3 ; 3,1 ] geeft een helling tussen 5,9 en 6,1 ;
intervallen [ 2,99 ; 3 ] en [ 3 ; 3,01 ] geeft een helling tussen 5,99 en 6,01 ; etc.
Dus de helling bij x = 3 is 6 .

b

De helling bij x = 4,5 is 9 .

c

Intervallen [ p 0,1 ; p ] en [ p ; p + 0,1 ] geeft een helling tussen 2 p 0,1 en 2 p + 0,1 ;
intervallen [ p 0,01 ; p ] en [ p ; p + 0,01 ] geeft een helling tussen 2 p 0,01 en 2 p + 0,01 ; etc.
Dus de helling bij x = p is 2 p .

10
a

2 p = 5 p = 2 1 2 , dus in het punt ( 2 1 2 ,6 1 4 ) .

b

2 1,23 = 2,46

c

Dan moet de helling 1 zijn, dus bij x = 1 2 ; punt ( 1 2 , 1 4 ) .

11
a

richtingscoëfficiënt = 2 2 = 4

b

y = 4 x + b ; punt ( 2,4 ) invullen: 4 = 4 2 + b b = 4
raaklijn y = 4 x 4

c

2 p = 7 p = 3 1 2 ( 3 1 2 ,12 1 4 )

d

y = 7 x + b ; punt ( 3 1 2 ,12 1 4 ) invullen: 12 1 4 = 7 3 1 2 + b b = 12 1 4
raaklijn y = 7 x 12 1 4

12
a

Op [ a ,2 ] : Δ y Δ x = a 2 + a 2 + 2 2 = a 2 + 2 a + 4 ;
Op [ 2, b ] : Δ y Δ x = 2 2 + 2 b + b 2 = 4 + 2 b + b 2

b

Ietsje kleiner dan Δ y Δ x = 2 2 + 2 2 + 4 = 12 ;
Ietsje groter dan 4 + 2 2 + 2 2 = 12 .

c

Helling = 12 .

d

Δ y Δ x = a 2 + a 3 + ( 3 ) 2 = a 2 3 a + 9

e

( 3 ) 2 3 3 + 9 = 27

f

Bij x = 1 : helling = 1 2 + 1 1 + 1 2 = 3 ;
Bij x = p : helling = p 2 + p p + p 2 = 3 p 2

13
a

a 3 + a 2 2 + a 2 2 + 2 3 = a 3 + 2 a 2 + 4 a + 8

b

2 3 + 2 2 2 + 4 2 + 8 = 32

c

( 1 ) 3 + ( 1 ) 2 1 + 1 ( 1 ) 2 + ( 1 ) 3 = 4

d

p 3 + p 2 p + p p 2 + p 3 = 4 p 3

14

functie

gem. helling op [ a , p ]

helling in punt met x = p

y = x 2

a + p

2 p

y = x 3

a 2 + a p + p 2

3 p 2

y = x 4

a 3 + a 2 p + a p 2 + p 3

4 p 3

y = x 5

a 4 + a 3 p + a 2 p 2 + a p 3 + p 4

5 p 4

y = x 10

a 9 + a 8 p + a 7 p 2 + a 6 p 3 + a 5 p 4 + a 4 p 5 + a 3 p 6 + a 2 p 7 + a p 8 + p 9

10 p 9