Een mammoettanker heeft een lengte van een paar honderd meter. De grootste ter wereld is ruim $400$ meter lang en ruim $60$ meter breed. Aan boord van zo'n tanker kan de bemanning beschikken over fietsen om zich te verplaatsen. Een matroos fietst van de achtersteven van een mammoettanker in twee minuten helemaal naar voren. In het plaatje op de volgende bladzijde staan twee grafieken: $B$ is de tijd-afstand-grafiek van de boot, $F$ is de tijd-afstand-grafiek van de fietsende matroos op het dek. De fietser neemt dus deel aan twee verplaatsingen tegelijk.

Hoeveel meter is de matroos in totaal verplaatst in de twee minuten?

De afstand die de boot aflegt noemen we $B$ , de afstand die de fietser op het dek aflegt noemen we $F$ en de totale afstand noemen we $T$ .
$T$ is de afstand die de fietser aflegt ten opzichte van iemand op de kade.

Wat is het verband tussen $T$ enerzijds en $B$ en $F$ anderzijds?

We bekijken de situatie na $70$ seconden.
$B'$ is dan $5$ (m/s) en $F'$ is dan $1,3$ (m/s).

Controleer dat in de grafieken.

Hoe vind je hieruit wat $T'$ is na $70$ seconden?
Wat is de snelheid van de fietser op dat moment ten opzichte van de kade?

Hiernaast staan de grafieken van twee functies: $f$ en $g$ .
Een derde functie $h$ ontstaat uit $f$ en $g$ door bij elke $x$ de bijbehorende uitvoeren van $f$ en $g$ op te tellen.
In formulevorm: $h (x) = f (x) + g (x)$ .

Hoe groot is $h (1)$ ? En $h (‐ 2)$ ?

Stel dat je de grafiek van $h$ in het plaatje erbij zou tekenen.

Hoe zou je de grafiek van $h$ dan met behulp van de grafieken van $f$ en $g$ maken?

In het punt met $x = ‐ 2$ is de helling van de grafiek van $f$ gelijk aan $1 \frac{1}{4}$ en de helling van de grafiek van $g$ gelijk aan $\frac{3}{4}$ , dus $f' (‐ 2) = 1 \frac{1}{4}$ en $g' (‐ 2) = \frac{3}{4}$ .

Ga na of dat ongeveer klopt.

Hoe groot is de helling van de grafiek van $h$ in het punt met $x = ‐ 2$ ?
Ofwel: hoe groot is $h' (‐ 2)$ ?

We bekijken drie functies. De derde functie is de som van de andere twee.

Wat weet je dan van hun afgeleide functies?

De somfunctie $s$ van twee functies $f$ en $g$ wordt gegeven door: $s (x) = f (x) + g (x)$ .
Dan geldt voor de afgeleide functies: $s' (x) = f' (x) + g' (x)$ .
Deze regel staat bekend als de somregel voor differentiëren.

Voorbeeld:

De afgeleide functie van $y = 3 x^{4}$ is $y' = 12 x^{3}$ .
De afgeleide functie van $y = 5 x^{2}$ is $y' = 10 x$ .
De afgeleide functie van $y = 3 x^{4} + 5 x^{2}$ is dan $y' = 12 x^{3} + 10 x$ .

Differentieer de volgende functies.

$y = x^{2} + 10 x - 3$

$y = \frac{3}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - 1$

$y = 2 (x^{3} + 4 x^{2})$

$y = x (x^{2} + x + 1)$

$y = {(x^{2} + 2)}^{2}$

$y = 2015 x - 2000$

$y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + 1$

$y = (x + 3) (x + 2)$

$y = (x + 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1)$

$y = x - {(x - 1)}^{2}$

$y = a x^{2} + b x + c$

Teken de grafiek van de functie $y = \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x$ op de GR. De grafiek gaat door het punt $(2,6)$ .

Controleer dit door een berekening.

Bereken algebraïsch de richtingscoëfficiënt van de grafiek in dat punt.

Stel algebraïsch een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.

Hiernaast staat de grafiek van de functie $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ .

Bereken exact de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt $(0,2)$ .

Bereken exact de coördinaten van de punten van de grafiek waarin de raaklijn horizontaal is.

Van een functie is de afgeleide functie gegeven:
$y' = 2 x - 3$ .
De grafiek van de functie gaat door het punt $(1,2)$ .

Geef een formule voor deze functie.

Van een functie is de afgeleide functie gegeven: $y' = 4 + x$ .
De grafiek van de functie snijdt de $x$ -as in het punt $(2,0)$ .

Onder welke hoek snijdt de grafiek de $x$ -as? Geef je antwoord met 1 decimaal.

Onder welke hoek snijdt de grafiek de $y$ -as? Geef je antwoord met 1 decimaal.

Opmerking:

We zijn nu in staat alle functies te differentiëren die van de vorm $y = a + b x + c x^{2} + d x^{3} + ...$ zijn. Dit soort functies heten veeltermfuncties. In deze paragraaf heb je al veel voorbeelden van veeltermfuncties gezien.

Wat moet je hierboven voor $a$ , $b$ , $c$ en $d$ kiezen om de functie uit opgave 69 te krijgen?

Ook $y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2}$ is een veeltermfunctie.

Wat moet je hierboven voor $a$ , $b$ , $c$ en $d$ kiezen om deze functie te krijgen?

Noem een paar functies die geen veeltermfuncties zijn.
(Die kunnen we nu dan ook (nog) niet differentiëren.)

Bekijk de tweedegraadsfunctie $y = \frac{1}{2} x^{2} + 4 x + 1$ .

Bereken met differentiëren de coördinaten van de top, dat is het punt waar de raaklijn horizontaal is.

Bekijk de tweedegraadsfunctie $y = ‐ 3 x^{2} - 4 x + 7$ .

Bereken met differentiëren de coördinaten van de top.

Bekijk de tweedegraadsfunctie $y = a x^{2} + b x + c$ (met $a \neq 0$ ).

Bereken met differentiëren de $x$ -coördinaat van de top.
(Misschien herinner je deze uitdrukking voor de $x$ -coördinaat van de top nog uit hoofdstuk Kwadratische verbanden.)

In het bijzonder is elke tweedegraadsfunctie een veeltermfunctie: $y = a x^{2} + b x + c$ , met $a \neq 0$ .
De grafiek van dit soort functies is een parabool.
Wat weet je van de getallen $a$ , $b$ en $c$ als:

de parabool door de oorsprong gaat?

de parabool een bergparabool is?

de top van de parabool op de $y$ -as ligt?

de top van de parabool op de $x$ -as ligt?

$f (x) = x^{2} + 2 x$ en $g (x) = 4 + x^{2}$ .

Teken op de GR de grafieken van $f$ en $g$ in één window.

Bereken algebraïsch de coördinaten van het snijpunt van de grafieken.

Bereken de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het snijpunt.
Bereken ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $g$ in het snijpunt.

De hoek waaronder de grafieken elkaar snijden is gelijk aan de hoek die de raaklijnen in het snijpunt met elkaar maken.

Bereken de hoek waaronder de grafieken van $f$ en $g$ elkaar snijden. Geef je antwoord afgerond op 1 decimaal.

De hoek waaronder twee grafieken elkaar snijden is gelijk aan de hoek die de raaklijnen in het snijpunt met elkaar maken.

Hiernaast staan de grafieken getekend van de functies
$f (x) = \frac{1}{3} x^{3}$ en $g (x) = ‐ x$ .
$s$ is de somfunctie van $f$ en $g$ , dus $s (x) = f (x) + g (x)$ .

Teken op de GR de grafiek van $s$ .

Bereken de exacte waarden van $x$ waarvoor geldt $s (x) = 0$ .

Bereken algebraïsch de coördinaten van de punten van de grafiek van $s$ waarin de raaklijn horizontaal is.

Waar heeft de grafiek van $s$ afnemende/toenemende daling/stijging? Onderscheid vier $x$ -intervallen.

Wat is de meest negatieve waarde van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $s$ ?