1
a

f ' ( x ) = 2 5 x 2 = 0 x = 5 ; f ' ( x ) > 0 als x > 5 ; f ' ( x ) < 0 als x < 5

b

Raaklijn horizontaal in ( 5,1 ) ; Stijgend op 5, ; Dalend op ,5

c

-

2
a

f ' ( x ) = 0,1 x + 1 = 0 x = 10 ;
f ' ( x ) < 0 als x > 10 ;
f ' ( x ) > 0 als x < 10

b

Raaklijn horizontaal in ( 10,15 ) ;
Stijgend op ,10 ;
Dalend op 10, .

c

-

3
a

f ' ( x ) = 3 x 2 12 , g ' ( x ) = 3 x 2 en h ' ( x ) = 3 x 2 + 12

b

h ' ( x ) = 3 x 2 + 12 is voor elke waarde van x positief, want een kwadraat is groter of gelijk aan 0 , dus 3 x 2 is ook groter of gelijk aan 0 , dus 3 x 2 + 12 is groter of gelijk aan 12 (dus groter of gelijk aan 0 ).

c

Als 2 < x < 2 , dan x 2 < 4 , dus 3 x 2 < 12 , dus f ' ( x ) < 0 .

d

Grafiek A is van functie f ; grafiek C is van functie h .

4
a

f ' ( x ) = x 2 12 x + 27 = 0 ( x 3 ) ( x 9 ) = 0 x = 3 of x = 9 ;
Toppen ( 3,36 ) en ( 9,0 ) .

b

Als 3 < x < 9 dan x 9 < 0 en x 3 > 0 , dus f ' ( x ) = ( x 9 ) ( x 3 ) < 0 .
Dalend op 3,9 .
Stijgend op ,3 en op 9, .

c

-

d

f ' ( x ) = x 2 12 x + 27 = ( x 6 ) 2 36 + 27 = ( x 6 ) 2 9

e

y = ( x 6 ) 2 9 is een dalparabool met top ( 6, 9 ) , dus als x = 6 is de uitkomst (de helling) minimaal, namelijk 9 .

f

Op ,3 : afnemende stijging;
op 3,6 : toenemende daling;
op 6,9 : afnemende daling;
op 9, : toenemende stijging.

5
a

Omdat hij anders uit de bocht vliegt.

b

Voor de bocht hangt hij naar rechts, na de bocht naar links.

c

Halverwege de bocht.

6
a

Daar is de kromming naar links; de raaklijn ligt dan onder de grafiek.

b

Daar wisselt de raaklijn van kant ten opzichte van de grafiek.

7
a

( 2,1 ) , ( 4,2 ) , ( 5 1 2 ,4 ) , ( 8,2 ) , ( 11,2 ) , ( 13,3 ) , ( 15,4 )

b

1 , 0 , 6 , 3 , 1 , 0 , 1

8

A: maximaal; B: minimaal; C: maximaal; D: minimaal

9
a

f ' ( x ) = x 2 + 4 x = 0 x ( x 4 ) = 0 x = 0 of x = 4 ;
Punten ( 0,0 ) en ( 4,10 2 3 ) .

b

f ' ( x ) = x 2 + 4 x = ( x 2 4 x ) = ( ( x 2 ) 2 4 ) = ( x 2 ) 2 + 4

c

De grafiek van de hellingfunctie f ' ( x ) = ( x 2 ) 2 + 4 , is een bergparabool met top ( 2,4 ) , dus bij x = 2 is de helling maximaal 4 .

d

Buigpunt: y = f ( 2 ) = 5 1 3 , dus ( 2,5 1 3 ) ;
Coördinaten buigpunt invullen in y = 4 x + b : 5 1 3 = 4 2 + b b = 2 2 3 ;
Buigraaklijn: y = 4 x 2 2 3

e

f ( a ) = f ( 2 a ) 1 3 a 3 + 2 a 2 = 1 3 ( 2 a ) 3 + 2 ( 2 a ) 2 1 3 a 3 + 2 a 2 = 8 3 a 3 + 8 a 2 ... 7 a 3 18 a 2 = 0 a 2 ( 7 a 18 ) = 0 a = 0 of a = 18 7 a = 2 4 7

10
a

x 4 0 voor elke x , dus y = x 4 4 4 voor alle x .

b

De raaklijn is horizontaal en heeft richtingscoëfficiënt 0 .

c

y ' = 4 x 3 = 0 x = 0 ; het minimum is y ( 0 ) = 0 4 4 = 4

d

Zie figuur bij opgave 89b.

e

x 4 4 = 0 x 4 = 4 x = 2 of x = 2

11
a

y ' = 4 x 3 4 ; y ' ( 1 ) = 4 1 3 4 = 0 , dus horizontale raaklijn.
Ja, 3 is het minimum.

b

Zie figuur bij opgave 89b.

c

y ' ( 0 ) = 4 tan ( α ) = 4 α 76 °
(Let op: de hoek tussen twee lijnen is altijd scherp! Een hellingshoek kan wél stomp zijn.)

12
a

y ' = 4 x 3 8 x ;
y ' ( 1 ) = 4 , dus geen horizontale raaklijn en dus geen minimum.

b

y ' = 0 4 x 3 8 x = 0 4 x ( x 2 2 ) = 0 x = 0 of x 2 = 2
x = 0 of x = 2 of x = 2 ;
y ( 0 ) = 0 , y ( 2 ) = y ( 2 ) = 4 , dus 4 is het minimum.

c

Zie figuur bij opgave 89b.

13
a

y ' = 4 x 3 12 x 2 = 0 4 x 2 ( x 3 ) = 0 x = 0 of x = 3 ;
y ( 0 ) = 0 en y ( 3 ) = 27 , dus 27 is het minimum.

b
opgave 86
opgave 87
opgave 88
opgave 89
14
a

y = x 4 4 : 0 buigpunten;
y = x 4 4 x : 0 buigpunten;
y = x 4 4 x 2 : 2 buigpunten;
y = x 4 4 x 3 : 2 buigpunten.

b

y ' = 4 x 3 y ' ' = 12 x 2
y ' ' = 12 x 2 = 0 x = 0 ;
Nee, er is géén buigpunt bij x = 0 !

c

Bij y = x 4 4 x : geen buigpunten;
Bij y = x 4 4 x 2 : y ' ' = 12 x 2 8 = 0 x 2 = 2 3 x = 2 3 of x = 2 3 ;
Bij y = x 4 4 x 3 : y ' ' = 12 x 2 24 x = 0 12 x ( x 2 ) = 0 x = 0 of x = 2

d

( x ) 4 = x 4 en ( x ) 2 = x 2 , dus voor tegengestelde waarden van x geeft de functie dezelfde uitkomst.

15
a

y ' = x 4 6 x 2 + 5 = 0 (noem p = x 2 :) p 2 6 p + 5 = 0 ( p 1 ) ( p 5 ) = 0 p = 1 of p = 5 x 2 = 1 of x 2 = 5 x = 1 of x = 1 of x = 5 of x = 5

b

Drie buigpunten.

c

rc = y ' ( 0 ) = 5 punt ( 0,2 ) invullen in y = 5 x + b b = 2 ;
Raaklijn: y = 5 x + 2 .