$f\text{'}(x)=\mathrm{0,75}{x}^4-3x^2$;
Bij $x=1$: $\text{rc}=f\text{'}(1)=\mathrm{‐}\mathrm{2,25}$;
Bij $x=2$: $\text{rc}=f\text{'}(2)=0$.

Bij $x=1$: punt $(1;\mathrm{‐}\mathrm{0,85})$ invullen in $y=\mathrm{‐}\mathrm{2,25}x+b$ $\to$ $b=\mathrm{1,40}$
dus raaklijn $y=\mathrm{‐}\mathrm{2,25}x+\mathrm{1,40}$;
Bij $x=2$: punt $(2;\mathrm{‐}\mathrm{3,2})$ en rc = $0$, dus raaklijn $y=\mathrm{‐}\mathrm{3,2}$.

$f\text{'}(x)=\mathrm{0,75}{x}^4-3x^2=0$ $\to$ $\mathrm{0,75}{x}^2(x^2-4)=0$ $\to$ $x=0$ of $x=\mathrm{‐}2$ of $x=2$;
Punten: $(\mathrm{0,0})$, $(2;\mathrm{‐}\mathrm{3,2})$ en $(\mathrm{‐}2;\mathrm{3,2})$.

De exponenten $5$ en $3$ zijn oneven; de uitkomsten van $x^5$ en $x^3$ zijn tegengesteld voor tegengestelde waarden van $x$. Dus is $y=\mathrm{0,15}{x}^5-x^3$ tegengesteld voor tegengestelde waarden van $x$.
In formuletaal: $f(\mathrm{‐}a)=\mathrm{0,15}\cdot {(\mathrm{‐}a)}^5-{(\mathrm{‐}a)}^3=\mathrm{‐}\mathrm{0,15}{a}^5+a^3=\mathrm{‐}(\mathrm{0,15}{a}^5-a^3)=\mathrm{‐}f(a)$, dus is de grafiek van $f$ puntsymmetrisch in $(\mathrm{0,0})$.

$x{(x-2)}^2=0$ $\to$ $x=0$ of $x=2$

$f(x)=x{(x-2)}^2=x(x^2-4x+4)=x^3-4x^2+4x$, dus $f\text{'}(x)=3x^2-8x+4=0$ $\to$ $x=\frac{2}{3}$ of $x=2$ (abc-formule)

$g(x)=\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}{x}^2+5=0$ $\to$ $D={(\frac{1}{3})}^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot 5=\mathrm{‐}9\frac{8}{9}<0$, dus voor geen enkele waarde van $x$.

$g(x)=\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}{x}^2+5$, dus $g\text{'}(x)=\frac{1}{3}+x=0$ $\to$ $x=\mathrm{‐}\frac{1}{3}$.

Het kleinst op $[1;\mathrm{1,01}]$, het grootst op $[\mathrm{0,99};1]$, want er is sprake van afnemende stijging.

Het best is de gemiddelde helling op $[\mathrm{0,99};\mathrm{1,01}]$; de ene is te groot, de andere is te klein en deze middelt dit een beetje uit.

$f(x)=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+x+c$, maar omdat de grafiek door $(\mathrm{0,3})$ gaat, geldt $c=3$;
Dus $f(x)=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+x+3$.

Haakjes uitwerken: $(x^2+1)(x+1)=x^3+x^2+x+1$.

Dan moet gelden $f\text{'}(x)<0$;
Eerst $f(x)=0$ $\to$ $x^2+1=0$ of $x+1=0$ $\to$ $x=\mathrm{‐}1$.
Dan een grafiek tekenen van $f(x)=(x^2+1)(x+1)$, bijv. met de GR. Dan zien we dat $f$ dalend is op $\langle \leftarrow ,\mathrm{‐}1\rangle$.

$s(45)=\mathrm{‐}{45}^2+90\cdot 45-1125=900$ meter.

Gemiddelde snelheid = $\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{{15}^2}{15}=15$ m/s.

Gemiddelde snelheid = $\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{900}{45}=20$ m/s.

Op eerste stuk $s\text{'}=20$: $2t=20$ $\to$ $t=10$;
Op tweede stuk is de snelheid nooit $20$ m/s;
Op derde stuk $s\text{'}=20$: $\mathrm{‐}2t+90=20$ $\to$ $t=35$.

$f(x)=x^3+2x^2+x=0$ $\to$ $x{(x+1)}^2=0$ $\to$ $x=0$ of $x=\mathrm{‐}1$.

$f\text{'}(x)=3x^2+4x+1$ $\to$ $f\text{'}(0)=1$ $\to$ $\tan (\text{α})=1$ $\to$ $\text{α}=45°$

$f\text{'}(x)=3x^2+4x+1=0$ $\to$ $(3x+1)(x+1)=0$ $\to$ $x=\mathrm{‐}\frac{1}{3}$ of $x=\mathrm{‐}1$ (of met de abc-formule).

$f(1)=4$ en $rc=f\text{'}(1)=8$, dus $(\mathrm{1,4})$ invullen in $y=8x+b$ $\to$ $4=8\cdot 1+b$ $\to$ $b=\mathrm{‐}4$;
raaklijn: $y=8x-4$

$f\text{'}\text{'}(x)=6x+4=0$ $\to$ $x=\mathrm{‐}\frac{2}{3}$;
$f(\mathrm{‐}\frac{2}{3})=\mathrm{‐}\frac{2}{27}$ en $f\text{'}(\mathrm{‐}\frac{2}{3})=\mathrm{‐}\frac{1}{3}$ $\to$ $y=\mathrm{‐}\frac{1}{3}x+b$ buigpunt $(\mathrm{‐}\frac{2}{3},\mathrm{‐}\frac{2}{27})$ invullen $\to$ $b=\mathrm{‐}\frac{8}{27}$;
buigraaklijn: $y=\mathrm{‐}\frac{1}{3}x-\frac{8}{27}$

$y\text{'}=2x^2$; $y\text{'}=\frac{1}{2}$ $\to$ $x^2=\frac{1}{4}$ $\to$ $x=\mathrm{‐}\frac{1}{2}$ of $x=\frac{1}{2}$
Punten: $(\mathrm{‐}\frac{1}{2},\mathrm{‐}\frac{1}{12})$ en $(\frac{1}{2},\frac{1}{12})$.

$y\text{'}=2$ $\to$ $x^2=1$ $\to$ $x=\mathrm{‐}1$ of $x=1$;
$x=1$ geeft de gegeven raaklijn; $x=‐1$ geeft raakpunt $(‐\mathrm{1,}‐\frac{2}{3})$,
invullen in $y=2x+b$ $\to$ $‐\frac{2}{3}=2\cdot ‐1+b$ $\to$ $b=1\frac{1}{3}$
Raaklijn: $y=2x+1\frac{1}{3}$.

Gebruik op de TI84 de optie Draw-Tangent. Klopt.

Punt $(\mathrm{2,1})$ invullen in $y=\frac{1}{2}x+b$ geeft $b=0$;
Raaklijn: $y=\frac{1}{2}x$.

$g(2)=3\cdot f(2)+2=3\cdot 1+2=5$;
$g\text{'}(2)=3\cdot f\text{'}(2)=3\cdot \frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$;
Punt $(\mathrm{2,5})$ invullen in $y=1\frac{1}{2}x+b$ geeft $b=2$;
Raaklijn: $y=1\frac{1}{2}x+2$.

Eerst $f(x)=0$: $x^3+3x^2=0$ $\to$ $x^2(x+3)=0$ $\to$ $x=0$ of $x=\mathrm{‐}3$;
Kijk naar de grafiek, antwoord: $x\ge \mathrm{‐}3$.

$f\text{'}(x)=3x^2+6x$;
Dalend als $3x^2+6x<0$ $\to$ eerst $3x^2+6x=0$ $\to$ $3x(x+2)=0$
$\to$ $x=0$ of $x=\mathrm{‐}2$ dus dalend op interval $[\mathrm{‐}\mathrm{2,0}]$.

$f(1)=4$ en $f\text{'}(1)=9$;
Punt $(\mathrm{1,4})$ invullen in $y=9x+b$ $\to$ $b=\mathrm{‐}5$;
Raaklijn: $y=9x-5$.

$f(0)=0$ en $f(\mathrm{‐}2)=4$; toppen $(\mathrm{0,0})$ en $(\mathrm{‐}\mathrm{2,4})$;
De horizontale lijn moet tussen de toppen liggen: $0<p<4$.

In het begin (op tijdstip $0$).

$\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{80-35}{8-2}=7\frac{1}{2}$

Teken de raaklijn en lees af: ${\text{rc}}_{\text{raaklijn}}\approx 11$.

$y=3x^2-15x+1$ $\to$ $\frac{1}{3}y=x^2-5x+\frac{1}{3}$ $\to$ $\frac{1}{3}y={(x-2\frac{1}{2})}^2-6\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$ $\to$ $\frac{1}{3}y={(x-2\frac{1}{2})}^2-5\frac{11}{12}$ $\to$ $y=3{(x-2\frac{1}{2})}^2-17\frac{3}{4}$

Top $(2\frac{1}{2},\mathrm{‐}17\frac{3}{4})$, dus de minimale waarde is $\mathrm{‐}17\frac{3}{4}$.

$f\text{'}(x)=6x-15$;
$f\text{'}(x)=0$ $\to$ $6x-15=0$ $\to$ $x=2\frac{1}{2}$; $f(2\frac{1}{2})=‐17\frac{3}{4}$

De grafiek loopt duidelijk minder steil omstreeks $t=2$. Toen reed de auto dus langzamer (en maakte toen waarschijnlijk een bocht).

Snelheid $=A\text{'}=3t^2-12t+16$.

$60$ km/uur = $10$ hm/min. $\to$ $A\text{'}=10$ $\to$ $3t^2-12t+6=0$ $\to$ $t^2-4t+2=0$
$\to$ abc-formule: $t=2+\sqrt{2}\approx \mathrm{3,41}$ of $t=2-\sqrt{2}\approx \mathrm{0,59}$.

$f(x)=0$ en $p=x^2$ $\to$ $p^2-7p+12=0$ $\to$ $(p-3)(p-4)=0$ $\to$ $p=3$ of $p=4$ $\to$ $x^2=3$ of $x^2=4$ $\to$ $x=\mathrm{‐}2$ of $x=2$ of $x=\mathrm{‐}\sqrt{3}$ of $x=\sqrt{3}$.

$f\text{'}(x)=4x^3-14x$; $f\text{'}(x)=0$ $\to$ $4x^3-14x=0$ $4x(x^2-3\frac{1}{2})=0$ $\to$ $x=0$ of $x=\mathrm{‐}\sqrt{3\frac{1}{2}}$ of $x=\sqrt{3\frac{1}{2}}$;
(met de grafiek op de GR:) minimum $f\left(\sqrt{3\frac{1}{2}}\right)=f\left(\sqrt{\mathrm{‐}3\frac{1}{2}}\right)=\mathrm{‐}\frac{1}{4}$.

$f(0)=12$; dus toppen op hoogte $‐\frac{1}{4}$ en $12$;
Een top moet op de $x$-as komen $\to$ $p=\frac{1}{4}$ of $p=\mathrm{‐}12$.

Hoogte rechthoek is $a^4-7a^2+12$ en de breedte $2a$, dus de oppervlakte is $2a(a^4-7a+12)=2a^5-14a^3+24a$.

$\text{opp}\text{'}=10a^4-42a^2+24$;
$\text{opp}\text{'}=0$ $\to$ $10a^4-42a^2+24=0$ $\to$ Calc-Zero met de GR geeft $a=\mathrm{0,826}$.

Lijn $PQ$: $y=3x-2$;
Punt $S$: $3x-2=2$ $\to$ $x=\frac{4}{3}$;
Punt $T$: $x^2=2$ $\to$ $x=\sqrt{2}$;
$ST=\sqrt{2}-1\frac{1}{3}\approx \mathrm{0,08}$.

$Q=(a,a^2)$ $\to$ $rc=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4-a^2}{2-a}=\frac{(2+a)(2-a)}{2-a}=2+a$

$2+a=\frac{y_P-y_S}{x_P-x_S}=\frac{2}{2-x_S}$ $\to$ $(2+a)(2-x_S)=2$ $\to$ $2-x_S=\frac{2}{2+a}$ $\to$ $x_S=2-\frac{2}{2+a}$

$\sqrt{2}-(2-\frac{2}{2+a})<\mathrm{0,01}$ $\frac{2}{2+a}<\mathrm{0,595786...}$ $\to$ $\frac{2+a}{2}>\frac{1}{\mathrm{0,595786...}}=\mathrm{1,678...}$ $\to$ $2+a>\mathrm{3,3569...}$ $\to$ $a>\mathrm{1,36}$, maar ook kleiner dan $x_T=\sqrt{2}$,
dus antwoord: $\mathrm{1,36}<a<\mathrm{1,41}$.

$O(h)=h^2$

$I(h)=\frac{1}{3}{h}^3$

$I(4)=21\frac{1}{3}$ (dm³)