1

a

$x < 1$ en $y > 2$
$x < 1$ en $y < 2$
$x > 1$ en $y < 2$

b

a bij 3, b bij 4, c bij 2 en d bij 1

c

Het kwadraat van een getal is gelijk aan het kwadraat van zijn tegengestelde.

2

a

$\sqrt{{(‐3 - 2)}^{2} + {(‐2 - 1)}^{2}} = \sqrt{34}$

b

$\sqrt{{(100 - ‐2)}^{2} + {(‐3 - 70)}^{2}} = \sqrt{15.733}$

3

a

Dat punt is $(a, a)$ , dus ${(a - 1)}^{2} + {(a - 3)}^{2} = {(2 \sqrt{13})}^{2} \Leftrightarrow (a - 7) (a + 3) = 0$ , dit geeft de punten $(‐3,‐3)$ en $(7,7)$ .

b

Zo'n punt is $(a, ‐ a)$ , dus ${(a - 1)}^{2} + {(‐ a - 3)}^{2} = {(2 \sqrt{34})}^{2} \Leftrightarrow (a - 7) (a + 9) = 0$ , dit geeft de punten $(‐9,9)$ en $(7,‐7)$ .

4

a

$A B = 3 \sqrt{5}$ , $A C = 2 \sqrt{10}$ en $B C = 5$ .

b

Lijn $A B$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{1}{2}$ , dus de hoogtelijn heeft richtingscoëfficiënt $‐2$ en gaat door $C$ , heeft dus vergelijking $y = ‐ 2 x + 3$ .
Het snijpunt van deze lijn met lijn $A B$ (vergelijking $y = \frac{1}{2} x - 2$ ) is: $D (2,‐1)$ .
$C D = 2 \sqrt{5}$ .

c

De oppervlakte van driehoek $A B C = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C D = 15$ .

d

oppervlakte driehoek $A B P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$ ,
oppervlakte driehoek $B Q C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ ,
oppervlakte driehoek $A R C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ . Klopt.

e

Noem die hoek $α$ , dan: $5^{2} = {(2 \sqrt{10})}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - 2 \cdot 2 \sqrt{10} \cdot 3 \sqrt{5} \cdot \cos (α) \Leftrightarrow 25 = 40 + 45 - 60 \sqrt{2} \cdot \cos (α)$ , dus $\cos (α) = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ , dus $α = 45 °$ exact.

5

Teken vanuit $A$ een loodlijn op de kust (die is nagenoeg recht). Noem het voetpunt van de loodlijn $P$ . Meet lijnstuk $A P$ en het lijnstuk dat $1$ km aangeeft en deel het eerste getal dat je gemeten hebt door het tweede. De uitkomst is het antwoord in km. (Ik heb $4,5$ km gevonden.)

6

a

$P R = \sqrt{5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34}$

b

$P X^{2} = P Q^{2} + X Q^{2} > P Q^{2}$ want $X Q \neq 0$ .

7

a

Beide $1$ .

b

$2$ ; $1 \frac{1}{2}$ ; $6$

c

Noem die afstand $x$ .
Oppervlakte driehoek $A M C = 6 - 2 - 1 \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot A C = 2 \frac{1}{2} x$ , dus $x = 1$ .

d

-

e

De driehoeken $M A P$ en $M A Q$ zijn congruent, want het zijn rechthoekige driehoeken met de schuine zijde en de zijden van lengte $1$ even lang (dus volgens de stelling van Pythagoras hebben ze de derde zijde ook even lang).

8

Het kortste verbindingslijnstuk gaat van $P$ naar het midden van $A B$ .
Er zijn twee mogelijkheden.
1. $P$ ligt binnen driehoek $O A B$ .
Zie linker plaatje: $O A = 3 + 2 \sqrt{2} + 3 = 6 + 2 \sqrt{2}$ .

2. $P$ ligt buiten driehoek $O A B$ .
Zie rechter plaatje. Het blauwe driehoekje heeft rechthoekszijden $3 - 2 \sqrt{2}$ , dus $O A = 3 + (3 - 2 \sqrt{2}) = 6 - 2 \sqrt{2}$ .

9

De afstand van $P$ tot $M$ is: $\sqrt{6^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{10}$ en de straal van de cirkel is $\sqrt{10}$ , de afstand van $P$ tot de cirkel is dan $2 \sqrt{10} - \sqrt{10} = \sqrt{10}$ .
(Maak een tekening.)

10

a

Oppervlakte driehoek $O A B =$ oppervlakte driehoek $O A C = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ .

b

Het punt $P$ ligt op de lijn $y = 2$ of op de lijn $y = ‐2$ .
Dus $P = (24,2)$ of $P = (16,‐2)$ .