5.4 Cirkels >

Hoofdstukken > Lijnen en cirkels

Vergelijking van een cirkel met middelpunt (0,0)

In een assenstelsel zijn vijf roosterpunten getekend.

Bereken met de stelling van Pythagoras de afstand van $A$ tot de oorsprong $O (0,0)$ .

Laat zien dat $A$ , $B$ , $C$ , $D$ en $E$ alle even ver van de oorsprong $O$ afliggen.

Wat krijg je als je alle punten tekent die op afstand $\sqrt{50}$ van $O$ afliggen?

Er zijn vier plaatjes getekend, met telkens een punt $(x, y)$ in een andere positie ten opzichte van de oorsprong $O$ .

De afstand van $(x, y)$ tot de oorsprong noemen we $r$ . Bij de driehoek linksboven is $x$ negatief en $y$ positief, dus de lengten van de rechthoekszijden zijn: $‐ x$ en $y$ .
Er geldt dus: ${(‐ x)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ .

Schrijf op je werkblad bij de onderste twee plaatjes de lengtes van de rechthoekszijden. (Dus: $x$ , $‐ x$ , $y$ of $‐ y$ ).

Leg uit (met de stelling van Pythagoras) dat je in alle vier de gevallen het verband $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ krijgt.

De cirkel met straal $r$ en middelpunt $O$ heeft als vergelijking: $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ .

Voorbeeld:

De punten die afstand $\sqrt{50}$ tot $O$ hebben vormen een cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 50$ .

Teken $P (‐ 2,4)$ in een assenstel. Neem de assen van $‐ 5$ tot en met $5$ .

$c$ is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 20$ .

Laat zien dat $P$ aan de vergelijking van $c$ voldoet.
Wat is de straal van $c$ ?

Teken de cirkel.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $c$ met de $x$ -as.

Gegeven zijn twee cirkels met $O$ als middelpunt. Het punt $(2,2)$ ligt op de ene cirkel en $(‐ 3,4)$ op de andere.

Teken deze twee cirkels in een assenstel. Neem de assen van $‐ 5$ tot en met $5$ .

Geef van beide cirkels een vergelijking.

$c$ is de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 25$ .

Wat is de straal van $c$ ?

Teken $c$ in een assenstel. Neem de assen van $‐ 5$ tot en met $5$ .

Geef zes roosterpunten die op $c$ liggen.

$k$ is de lijn met vergelijking $y = x$ .

Teken $k$ in het rooster erbij.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $k$ met $c$ .

$m$ is de lijn met vergelijking $y = x + 1$ .

Teken $m$ in het rooster erbij.

De snijpunten van $m$ en $c$ kun je zo aflezen. Je kunt ze ook berekenen. Hoe dat gaat, zie je in het onderstaande voorbeeld.

Voorbeeld
De eerste coördinaat van een snijpunt noemen we $a$ . Omdat het snijpunt op $m$ ligt, kunnen we zeggen: de tweede coördinaat is $a + 1$ .
Dus $(a, a + 1)$ is het snijpunt. Omdat $(a, a + 1)$ op $c$ ligt geldt: $a^{2} + {(a + 1)}^{2} = 25$ .

Los deze vergelijking in $a$ op en schrijf de coördinaten van de snijpunten op.

$n$ is de lijn met vergelijking $y = 2 x + 5$ .

Teken $n$ in het rooster erbij.

Bereken exact de snijpunten van $n$ met $c$ .

(hint)

Noem de eerste coördinaat van een snijpunt

a

, dan is de tweede ...

Er is precies één punt dat aan de vergelijking $x^{2} + y^{2} = 0$ voldoet.

Welk?

Hoeveel punten voldoen aan de vergelijking $x^{2} + y^{2} = ‐ 4$ ?

De grafiek bij de vergelijking $x^{2} + y^{2} = c$ is:

een cirkel met straal $\sqrt{c}$ als $c > 0$ ,
het punt $O (0,0)$ als $c = 0$ ,
helemaal niets als $c < 0$ .

Vergelijking van een cirkel met middelpunt

(a, b)

In de vorige paragraaf hebben we gezien dat de afstand van $X (x, y)$ tot $P (p, q)$ gelijk is aan $\sqrt{{(x - p)}^{2} + {(y - q)}^{2}}$ .
De afstand van $X (x, y)$ tot $M (2,‐1)$ is dus: $\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}}$ .

Laat zien dat de punten $X (x, y)$ met ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 52$ aan de vergelijking $\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} = 2 \sqrt{13}$ voldoen, dus een cirkel vormen met middelpunt $M$ en straal $2 \sqrt{13}$ .

Ga na dat de punten $(‐2,‐7)$ , $(6,5)$ , $(‐4,3)$ en $(‐4,‐5)$ aan de vergelijking ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 52$ voldoen.

In het assenstelsel is de cirkel met middelpunt $M$ en straal $2 \sqrt{13}$ getekend.

Neem de figuur over en teken daarin de lijn $x = 3$ .

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de lijn en de cirkel.

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de cirkel met de $x$ -as.

Gegeven de cirkel met middelpunt $M (‐ 3,1)$ en straal $3$ .

Teken de cirkel in een assenstelsel.

Kies een punt $X (x, y)$ op de cirkel.

Leg uit dat ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ .

In het plaatje staan vier cirkels met hun middelpunt getekend. Op elke cirkel is een punt aangegeven.

Geef van elke cirkel een vergelijking.

De cirkel met straal $r$ en middelpunt $(a, b)$ heeft als vergelijking: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .

Gegeven de cirkels met vergelijking:
${(x - 7)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 4$ ,
${(x + 2)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 4$ ,
${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ ,
${(x - 7)}^{2} + y^{2} = 5$ .

Bepaal op elke cirkel een roosterpunt en teken de cirkels in een assenstelsel.

Een cirkel gaat door $O$ , $A (24,0)$ en $B (12,18)$ .
We gaan het middelpunt van de cirkel zoeken.
Het middelpunt ligt op de middelloodlijn van $O A$ .

Waarom?

Geef een vergelijking van deze middelloodlijn.

Het middelpunt ligt op de middelloodlijn van $A B$ .

Geef een vergelijking van deze middelloodlijn.

Bereken de coördinaten van het middelpunt.

Geef een vergelijking van de cirkel.

Gegeven is de rechthoek $A B C D$ met $A (2,0)$ , $B (8,3)$ en $C (7,5)$ .

Bereken de coördinaten van $D$ exact.

$M$ is het middelpunt van de cirkel die door de hoekpunten van de rechthoek gaat.

Bereken exact de coördinaten van $M$ en geef een vergelijking van de cirkel.

Gegeven is de cirkel met middelpunt $M (10,3)$ en straal $4$ .

Geef een vergelijking van de cirkel.

De cirkel snijdt de $x$ -as in twee punten.

Bereken exact de coördinaten van die punten.

Bereken exact de afstand van de twee snijpunten.

Je kunt de afstand van de twee punten ook met de stelling van Pythagoras berekenen.

Hoe?

Een lijn snijdt de cirkel in twee punten $P$ en $Q$ .

Bereken $P Q^{2}$ exact en geef $P Q$ in één decimaal nauwkeurig als $∠ P M Q = 45 °$ .

(hint)

Pas de cosinusregel toe.

Bereken $P Q^{2}$ exact en geef $P Q$ in één decimaal nauwkeurig als $∠ P M Q = 135 °$ .

Gegeven cirkel met straal $5$ en middelpunt $(‐3,4)$ .

Geef een vergelijking van de cirkel.

Laat zien dat je deze vergelijking kunt herschrijven als $x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 0$ .

Aan de vergelijking $x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 0$ kun je niet zien dat dit een vergelijking van de cirkel met straal $5$ en middelpunt $(‐3,4)$ is.
Daarvoor moet je $x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 0$ weer schrijven in de vorm ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .
We noemen deze laatste vorm de middelpuntsvorm. Dit 'terugschrijven' in de middelpuntsvorm doe je met kwadraatafsplitsen.
We geven hieronder twee voorbeelden. Als je moeite hebt met kwadraatafsplitsen, bekijk dan nog eens paragraaf 3 van hoofdstuk 3.
Bij het kwadraatafsplitsen heb je twee van de drie merkwaardige producten nodig. We herhalen die hieronder.

Merkwaardige producten

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Voorbeeld:

We bepalen het middelpunt en de straal van de cirkel met vergelijking: $x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y = 24$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y$	$=$	$24$	herschikken
$x^{2} + 2 x + y^{2} - 10 y$	$=$	$24$	kwadraat afsplitsen van $x^{2} + 2 x$ en van $y^{2} - 10 y$
${(x + 1)}^{2} - 1 + {(y - 5)}^{2} - 25$	$=$	$24$	vereenvoudigen
${(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2}$	$=$	$50$

We hebben nu de middelpuntsvorm. Het middelpunt van de cirkel is $(‐1,5)$ en de straal is $\sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ .

Voorbeeld
We bepalen het middelpunt en de straal van de cirkel met vergelijking:
$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 x - 10 y = 36$

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 x - 10 y$	$=$	$36$	delen door $2$
$x^{2} + y^{2} + x - 5 y$	$=$	$18$	herschikken
$x^{2} + x + y^{2} - 5 y$	$=$	$18$	kwadraat afsplitsen van $x^{2} + x$ en van $y^{2} - 5 y$
${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + {(y - 2 \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$	$=$	$18$	vereenvoudigen
${(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2 \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$24 \frac{1}{2}$

We hebben nu de middelpuntsvorm. Het middelpunt van de cirkel is $(‐ \frac{1}{2},2 \frac{1}{2})$ en de straal is $\sqrt{24 \frac{1}{2}} = 3 \frac{1}{2} \sqrt{2}$ .

Bepaal van de volgende cirkels het middelpunt en de straal exact met behulp van kwadraatafsplitsen.
Vereenvoudig de wortels in je antwoorden.

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 18 y = 15$ ;
$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} - x - 2 y = 10$ ;
$x^{2} + y^{2} - 4 x = 16$ .

We bekijken de vergelijking $x^{2} - y^{2} + 2 y - 1 = 0$ .

Teken met GeoGebra of de GR de punten $(x, y)$ die aan de vergelijking voldoen.

Er geldt: $x^{2} - y^{2} + 2 y - 1 = (x + y - 1) (x - y + 1)$ .

Laat dat zien.

In het eerste onderdeel heb je twee lijnen zien verschijnen.

Verklaar dat met het vorige onderdeel.

Wat hoort bij de vergelijking $x^{2} - y^{2} = 0$ ?
Verklaar je antwoord zonder GeoGebra of GR.

Roosterpunten van de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + 1 = 0$ zijn: $(‐1,10)$ en $(4,5)$ , ga maar na.

Geef nog minstens drie roosterpunten van de cirkel.

We komen terug op de opgave in de intro.

$B$ is een punt dat precies oostelijk van $A$ ligt.
We bekijken alle punten $X$ die twee keer zo ver van $B$ liggen als van $A$ , dus $B X = 2 \cdot A X$ .
De punten $X$ lijken een cirkel vormen (Geogebra applet).
We gaan dat nu bewijzen.
We brengen een assenstelsel aan en kiezen een eenheid als volgt.
De oorsprong is $A$ , de positieve $x$ -as loopt door $B$ . De positieve $y$ -as loopt in noordelijke richting.
We nemen de eenheid zó dat $A B = 7 \frac{1}{2}$ .
Neem aan: $X (x, y)$ en $B X = 2 \cdot A X$ .

Ga na: $\sqrt{{(x - 7 \frac{1}{2})}^{2} + y^{2}} = 2 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Schrijf de vergelijking uit a zonder haakjes en zonder wortels.

Laat zien dat je die kunt herschrijven als: $x^{2} + y^{2} + 5 x = 18 \frac{3}{4}$ .

Wat is de straal en het middelpunt van de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} + 5 x = 18 \frac{3}{4}$ ?

Gegeven zijn de punten $A (‐1,1)$ , $B (5,‐1)$ , $C (5,7)$ en $M (3,3)$ .

Laat langs algebraïsche weg zien dat $M (3,3)$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ is.
Wat is de straal van die cirkel?

$Q$ is het punt $(5,1)$ .
Het punt $P$ ligt op lijnstuk $A C$ zó, dat $P Q$ en $A B$ evenwijdig zijn.

Wat zijn exact de coördinaten van $P$ ?

Wat is de straal van de omgeschreven cirkel van driehoek $P Q C$ exact?