1

a

$A O = \sqrt{7^{2} + 1^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

b

$O B = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$
$O C = \sqrt{1^{2} + 7^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$
$O D = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$
$O E = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

c

Een cirkel met middelpunt $O (0,0)$ en straal $5 \sqrt{2}$ .

2

a

b

${(‐ x)}^{2} = x^{2}$ en ${(‐ y)}^{2} = y^{2}$

3

a

Zie de figuur hieronder.

b

${(‐ 2)}^{2} + 4^{2} = 20$ , klopt
$r = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$

c

Zie de figuur hieronder.

d

Dan $y = 0$ , dus $x^{2} = 20$ , dus $x = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ of $x = ‐ \sqrt{20} = ‐ 2 \sqrt{5}$ .
Dus $(2 \sqrt{5},0)$ en $(‐ 2 \sqrt{5},0)$ .

4

a

Zie de figuur hieronder.

b

$x^{2} + y^{2} = 8$ en $x^{2} + y^{2} = 25$

figuur bij opgave 30ac

figuur bij opgave 31a

5

a

$r = \sqrt{25} = 5$

b

c

$(3,4)$ , $(‐ 3,4)$ , $(‐ 4,3)$ , $(4, ‐ 3)$ , $(5,0)$ , $(‐ 5,0)$ , enzovoort.

d

Zie opgave b.

e

$x^{2} + x^{2} = 25$ , oftewel $2 x^{2} = 25$
$x^{2} = \frac{25}{2} = \frac{50}{4}$
$x = \sqrt{\frac{50}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{50} = 2 \frac{1}{2} \sqrt{2}$ of $x = ‐ 2 \frac{1}{2} \sqrt{2}$
Snijpunten $(2 \frac{1}{2} \sqrt{2},2 \frac{1}{2} \sqrt{2})$ en $(- 2 \frac{1}{2} \sqrt{2}, ‐ 2 \frac{1}{2} \sqrt{2})$ .

f

Zie opgave b.

g

$a^{2} + a^{2} + 2 a + 1 = 25$
$2 a^{2} + 2 a - 24 = 0$
$a^{2} + a - 12 = 0$
$(a + 4) (a - 3) = 0$

$a = ‐ 4$	of	$a = 3$
$y = a + 1 = ‐ 4 + 1 = ‐ 3$		$y = a + 1 = 3 + 1 = 4$

Snijpunten

(‐ 4, ‐ 3)

en

(3,4)

.

h

Zie opgave b.

i

Snijpunt is $(a,2 a + 5)$
$a^{2} + {(2 a + 5)}^{2} = 25$
$a^{2} + 4 a^{2} + 20 a + 25 = 25$
$5 a^{2} + 20 a = 0$
$5 a (a + 4) = 0$
$a = 0$ of $a = ‐ 4$
Snijpunten $(0,5)$ en $(‐ 4, ‐ 3)$ .

j

$(0,0)$

k

Niet één.

6

a

${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 52$ kun je schrijven als $\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ .
Dit laatste houdt in dat $X$ afstand $2 \sqrt{13}$ tot $M$ heeft.

b

-

c

d

${(3 - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 52$
${(y + 1)}^{2} = 51$
$y + 1 = \sqrt{51}$ of $y + 1 = ‐ \sqrt{51}$
$y = ‐ 1 + \sqrt{51}$ of $y = ‐ 1 - \sqrt{51}$
Snijpunten $(3, ‐ 1 + \sqrt{51})$ en $(3, ‐ 1 - \sqrt{51})$ .

e

$y = 0$ , dus ${(x - 2)}^{2} + 1 = 52$
${(x - 2)}^{2} = 51$
$x - 2 = \sqrt{51}$ of $x - 2 = ‐ \sqrt{51}$
$x = 2 + \sqrt{51}$ of $x = 2 - \sqrt{51}$
Snijpunten $(2 + \sqrt{51}, 0)$ en $(2 - \sqrt{51}, 0)$ .

7

a

Zie de figuur links hieronder.

figuur bij opgave 34a

figuur bij opgave 36

b

De afstand van $X$ tot $M$ is $\sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = 3$ .
Kwadrateren geeft het gewenste resultaat.

8

$M_{C_{1}} (3,3)$ en $r^{2} = 3^{2} = 9 \Rightarrow$ $C_{1} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$
$M_{C_{2}} (‐ 4,5)$ en $r^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5 \Rightarrow$ $C_{2} : {(x + 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 5$
$M_{C_{3}} (‐ 3, ‐ 2)$ en $r^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 13 \Rightarrow$ $C_{3} : {(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 13$
$M_{C_{4}} (2, ‐ 3)$ en $r^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 8 \Rightarrow$ $C_{4} : {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 8$

9

Zie de figuur rechts bij opgave 34.

10

a

Het middelpunt van de cirkel ligt evenver van $O$ als van $A$ .

b

$x = 12$

c

De richtingscoëfficiënt van lijn $A B$ is $‐ 1 \frac{1}{2}$ , dus de richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn van $A B$ is $\frac{2}{3}$ . Het midden $(18,9)$ ligt op de middelloodlijn, dus een vergelijking is: $y = \frac{2}{3} x - 3$ .

d

$y = \frac{2}{3} x - 3$ snijden met $x = 12$ geeft het middelpunt van de cirkel: $(12,5)$ .

e

De straal van de cirkel is de afstand van $(12,5)$ tot bijvoorbeeld $O$ , dus $13$ .
Een vergelijking van de cirkel is: ${(x - 12)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 169$ .

11

a

Van $B$ naar $C$ moet je $1$ eenheid naar links en $2$ naar boven. Om van $A$ naar $D$ te komen, moet je hetzelfde doen, dus $D = (1,2)$ .

b

Het middelpunt is het snijpunt van de diagonalen, oftewel met midden van de rechthoek, dat is $(4 \frac{1}{2},2 \frac{1}{2})$ .
Een vergelijking van de cirkel is: ${(x - 4 \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 2 \frac{1}{2})}^{2} = 12 \frac{1}{2}$ .

12

a

${(x - 10)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$

b

Voor $y = 0$ invullen in ${(x - 10)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ geeft: ${(x - 10)}^{2} = 7$ .
De snijpunten zijn $(10 + \sqrt{7},0)$ en $(10 - \sqrt{7},0)$ .

c

$2 \sqrt{7}$

d

Noem de projectie van $M$ op de $x$ -as $N$ , en één van de snijpunten $A$ , dan driehoek $A M N$ rechthoekig met schuine zijde $M A = 4$ en rechthoekszijde $M N = 3$ . De gevraagde afstand is $2 N A = 2 \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = 2 \sqrt{7}$ .

e

Pas de cosinusregel toe: $P Q^{2} = 4^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos (45) ° = 32 - 16 \sqrt{2}$ , dus $P Q = \sqrt{32 - 16 \sqrt{2}} \approx 3,1$ .

f

Pas weer de cosinusregel toe: $P Q^{2} = 4^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos (135 °) = 32 + 16 \sqrt{2}$ , dus $P Q = \sqrt{32 + 16 \sqrt{2}} \approx 7,4$ .

13

a

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$

b

${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} - 8 y + 16 = 25$ , vereenvoudigen geeft het resultaat.

14

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 18 y = 15 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 9)}^{2} - 4 - 81 = 15$ ,
dus middelpunt $(2,9)$ en straal $10$ .
$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{2} - x - 2 y = 10 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 20 \Leftrightarrow$ ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} - 1 - 4 = 20$ , dus middelpunt $(1,2)$ en straal $5$ .
$x^{2} + y^{2} - 4 x = 16 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + y^{2} - 4 = 16$ , dus middelpunt $(2,0)$ en straal $2 \sqrt{5}$ .

15

a

-

b

$(x + y - 1) (x - y + 1) = (x + y) (x - y) - (x - y) + (x + y) - 1 =$
$x^{2} - y^{2} - x + y + x + y - 1 = x^{2} - y^{2} + 2 y - 1$

c

$(x + y - 1) (x - y + 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0 of x - y + 1 = 0$
Je krijgt dus de lijn met vergelijking $x + y - 1 = 0$ en de lijn met vergelijking $x - y + 1 = 0$ .

d

$x^{2} - y^{2} = 0 \Leftrightarrow (x + y) (x - y) = 0$ , je krijgt de lijn $x + y = 0$ en de lijn $x - y = 0$ .

16

De cirkel heeft middelpunt $(‐1,5)$ en straal $5$ .
Punten met gehele coördinaten die op afstand $5$ van $(0,0)$ liggen zijn:
$(\pm 5,0), (\pm 3, \pm 4), (\pm 4, \pm 3)$ enzovoort, dus roosterpunten die op afstand $5$ van $(‐1,5)$ liggen zijn bijvoorbeeld:
$(‐1+4,5+3) =$ $(3,8)$ , $(‐1+3,5+4) =$ $(2,9)$ en $(‐1 - 4,5 + 3) = (‐5,8)$

17

a

$B = (7 \frac{1}{2},0)$ en $\sqrt{{(x - 7 \frac{1}{2})}^{2} + y^{2}}$ is de afstand van $X$ tot $B$ .
$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ is de afstand van $X$ tot $A$ $(= O)$ .

b

$\sqrt{{(x - 7 \frac{1}{2})}^{2} + y^{2}} = 2 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ kwadrateren geeft:
${(x - 7 \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 4 (x^{2} + y^{2}) \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 15 x + 56 \frac{1}{4} = 4 x^{2} + 4 y^{2}$ .

c

Klopt!

d

$x^{2} + y^{2} + 5 x = 18 \frac{3}{4} \Leftrightarrow {(x + 2 \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 25$ , dus middelpunt $(‐ 2 \frac{1}{2},0)$ en straal $5$ .

18

a

De afstanden van $M$ tot alledrie de hoekpunten zijn $2 \sqrt{5}$ , dat is ook de straal van de cirkel.

b

Driehoek $P Q C$ krijg je door driehoek $A B C$ ten opzichte van $C$ met $\frac{3}{4}$ te vermenigvuldigen. Van $A$ naar $C$ ga je $6$ eenheden naar boven en $6$ eenheden naar rechts. Dus om in $P$ te komen, moet je $\frac{1}{4} \cdot 6 = 1 \frac{1}{2}$ eenheid naar rechts en naar boven vanuit $A$ , dus $P = (\frac{1}{2},2 \frac{1}{2})$ .

c

De straal is $\frac{3}{4} \cdot 2 \sqrt{5} = 1 \frac{1}{2} \sqrt{5}$ .