Raaklijn meetkundig gezien

Als je het goed gedaan hebt, heb je in de laatste vraag van de vorige opgave $a = 2 \sqrt{2}$ gevonden. Het enige punt dat $k_{a}$ in dit geval met de cirkel gemeen heeft, is het punt $P (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ .
We zeggen dat de lijn $k_{a}$ de cirkel raakt in $P$ .
De lijn $O P$ staat loodrecht op $k_{a}$ .

We zeggen: een cirkel $c$ raakt een lijn $k$ als $c$ en $k$ precies één punt, het raakpunt, gemeen hebben.
Als $c$ middelpunt $M$ heeft en het raakpunt $P$ is, dan staat lijn $M P$ loodrecht op $k$ .

We bewijzen dit in het volgende.

Gegeven een cirkel $c$ met middelpunt $M$ en straal $3$ en een lijn $k$ .
Neem aan: $c$ heeft één punt gemeen met $k$ , zeg $P$ . Dan liggen de andere punten van $k$ meer dan $3$ van $M$ af. Dus $P$ is het punt van $k$ dat het dichtst bij $c$ ligt.
Dus lijn $M P$ staat loodrecht op $k$ .
Omgekeerd.
Als $P$ een gemeenschappelijk punt van $k$ en $c$ is en $M P$ staat loodrecht op $k$ , dan geldt voor elk ander punt $Q$ van $c$ dat $M Q > 3$ (stelling van Pythagoras in driehoek $M P Q$ ), dus dan is $P$ het enige punt dat $c$ en $k$ gemeen hebben.

Voorbeeld:

Gegeven is de cirkel met vergelijking ${(x + 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 10$ met daarop het punt $P (0,‐6)$ .
We geven een vergelijking van de raaklijn in $P$ aan de cirkel.

Het middelpunt van de cirkel is $M (‐1,‐3)$ . Lijn $P M$ heeft richtingscoëfficiënt $‐ 3$ . Deze staat loodrecht op de raaklijn, dus de raaklijn heeft richtingscoëfficiënt $\frac{1}{3}$ .
Een vergelijking van de raaklijn is dus: $y = \frac{1}{3} x + b$ .
De raaklijn gaat door $P$ , dus een vergelijking van de raaklijn is: $y = \frac{1}{3} x - 6$ .

Gegeven zijn de punten $M (1,2)$ en $P (5,0)$ .
$c$ is de cirkel met middelpunt $M$ die door $P$ gaat.

Geef een vergelijking van $c$ .

Geef een vergelijking van de lijn die $c$ in $P$ raakt.

Gegeven is de lijn $k$ met vergelijking $y = \frac{2}{3} x$ met daarop het punt $P (3,2)$ .
De middelpunten van de cirkels die $k$ in $P$ raken, liggen op een lijn.

Geef een vergelijking van die lijn.

(hint)

Maak eerst een schets van de situatie.

Geef een vergelijking van de cirkel waarop de punten liggen die afstand $\sqrt{13}$ tot $P$ hebben.

Een cirkel $c$ met straal $\sqrt{13}$ raakt $k$ in $P$ .

Bereken de coördinaten van het middelpunt van $c$ (twee mogelijkheden).

Een cirkel raakt $k$ in $P$ . Het middelpunt van de cirkel ligt op de lijn met vergelijking $y = 2 x - 18$ .

Bereken de straal van die cirkel.

$k$ is de lijn met vergelijking $2 x + 3 y = 12$ met daarop het punt $P (3,2)$ . Op de $y$ -as ligt een punt $M$ . Een cirkel met middelpunt $M$ raakt $k$ in $P$ .

Bereken exact de coördinaten van $M$ en de straal van de cirkel.

Een bal met straal $2$ zit in een kegel. In de figuur zie je een doorsnede van de situatie. $M$ is het middelpunt van de cirkel die raakt aan de lijn $y = 2 x$ (in $R$ ) en aan de lijn $y = ‐ 2 x$ .

Bereken exact hoe ver het middelpunt $M$ van de oorsprong $O$ afligt.

(hint)

Projecteer

R

op de

x

-as en gebruik gelijkvormigheid.
Of noem het middelpunt

M (0, m)

en stel een vergelijking op van de cirkel; stel een vergelijking op om het snijpunt van de lijn en de cirkel te berekenen en gebruik de discriminant.

Gegeven zijn de cirkel met middelpunt $M (3,0)$ en straal $1$ en de cirkel met middelpunt $N (7,0)$ en straal $3$ .

Een lijn raakt de kleine cirkel in $P$ en de grote cirkel in $Q$ .
Deze lijn snijdt de $x$ -as in $S$ .
De lengte van lijnstuk $M S$ noemen we $x$ .

Stel een vergelijking voor $x$ op en bereken $x$ exact, gebruik gelijkvormigheid.

(hint)

De driehoeken

P M S

Q N S

zijn gelijkvormig.

Hoek $P S M$ noemen we $α$ .

Bereken $\tan (α)$ en $α$ exact.

Geef een exacte vergelijking van lijn $P Q$ .

(hint)

De richtingscoëfficiënt is

tan (α)

Hieronder staat de cirkel met middelpunt $M (10,5)$ en straal $5$ .

De cirkel raakt de $x$ -as.

Welk punt is het raakpunt $R$ ?

Er zijn twee raaklijnen door $O (0,0)$ . Een daarvan is de $x$ -as.
De andere raaklijn is ook getekend. Die raakt de cirkel in $Q$ .
$Q$ vind je door $R$ te spiegelen in de juiste lijn.

Welke lijn is dat?

Bereken de coördinaten van $Q$ exact.

Gegeven is de cirkel $c$ met vergelijking $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 5 = 0$ en de lijn $k$ met vergelijking $2 x + y = 2$ .
Het stelsel ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 5 = 0 \\ 2 x + y = 2 \end{cases}$ heeft één oplossing.

Laat dat zien en bepaal de oplossing exact.

Hoe volgt uit het vorige onderdeel dat $k$ de cirkel $c$ raakt?
Wat zijn de coördinaten van het raakpunt?

Raaklijn algebraïsch gezien

Voorbeeld:

In opgave 50 hebben we de raaklijnen aan de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 4$ bepaald die evenwijdig zijn met de lijn $x + y = 0$ . Nu doen we dat nog eens op een andere manier.
De raaklijnen hebben vergelijking $x + y = a$ voor zekere waarden van $a$ .
Het stelsel ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 4 \\ x + y = a \end{cases}$ moet één oplossing hebben.
Vul voor $y = a - x$ in, in de vergelijking $x^{2} + y^{2} = 4$ , dit geeft:
$x^{2} + {(a - x)}^{2} = 4 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4 = 0$ . Deze vergelijking (in $x$ ) moet één oplossing hebben, dus de discriminant van de vergelijking is $0$ .
Dus: $(‐ 2 a)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} - 4) = 0 \Leftrightarrow 4 a^{2} - 8 a^{2} + 32 = 0$ .
Dus $a = 2 \sqrt{2}$ of $a = ‐ 2 \sqrt{2}$ .
De raaklijnen hebben dus vergelijking $x + y = 2 \sqrt{2}$ en $x + y = ‐ 2 \sqrt{2}$ .

Opmerking:

Je kunt de werkwijze vergelijken met die in hoofdstuk 3, paragraaf 6. Daar heb je met behulp van een discriminant raaklijnen aan een parabool bepaald.

Gegeven zijn de lijnen $k_{m}$ met vergelijking $y = m x + 5$ voor alle mogelijke waarden van $m$ en de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 5$ .

De lijnen $k_{m}$ gaan alle door het punt $(0,5)$ .

Laat dat zien.

Gegeven het stelsel ${\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 5 \\ y = m x + 5 \end{cases}$ .
Voor twee waarden van $m$ heeft dit stelsel één oplossing.

Bereken deze waarden exact.

Uit het vorige onderdeel volgt dat de lijnen $y = 2 x + 5$ en $y = ‐ 2 x + 5$ de cirkel raken.

Bepaal de coördinaten van de raakpunten exact.

In de figuur hieronder staat de cirkel met middelpunt $M (10,5)$ en straal $5$ , zie opgave 56. Er zijn twee raaklijnen door punt $O (0,0)$ aan de cirkel. Eén van die lijnen is de $x$ -as. De andere raaklijn hebben we in opgave 56 bepaald. We doen dat in deze opgave nog eens met behulp van een discriminant.

Een vergelijking van de cirkel is ${(x - 10)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ .

Geef een vergelijking van de lijn door $O (0,0)$ met richtingscoëfficiënt $m$ .

Bereken de exacte waarden van $m$ waarvoor het stelsel ${\begin{cases} {(x - 10)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25 \\ y = m x \end{cases}$ één oplossing heeft.

Een bal wordt in een paraboolvormige vaas gegooid. Hieronder rechts zie je een doorsnede van de situatie. Er is een assenstelsel aangebracht. De parabool heeft vergelijking $y = x^{2}$ . Het middelpunt van de bal is $(0,2)$ .

Bereken de straal van de cirkel (bal) exact. (De cirkel raakt dus de parabool.)