5.6  Raaklijn aan een cirkel >
Raaklijn meetkundig gezien

Als je het goed gedaan hebt, heb je in de laatste vraag van de vorige opgave a = 2 2 gevonden. Het enige punt dat k a in dit geval met de cirkel gemeen heeft, is het punt P ( 2 , 2 ) .
We zeggen dat de lijn k a de cirkel raakt in P .
De lijn O P staat loodrecht op k a .

We zeggen: een cirkel c raakt een lijn k als c en k precies één punt, het raakpunt, gemeen hebben.
Als c middelpunt M heeft en het raakpunt P is, dan staat lijn M P loodrecht op k .

We bewijzen dit in het volgende.

Gegeven een cirkel c met middelpunt M en straal 3 en een lijn  k .
Neem aan: c heeft één punt gemeen met k , zeg P . Dan liggen de andere punten van k meer dan 3 van M af. Dus P is het punt van k dat het dichtst bij c ligt.
Dus lijn M P staat loodrecht op k .
Omgekeerd.
Als P een gemeenschappelijk punt van k en c is en M P staat loodrecht op k , dan geldt voor elk ander punt Q van c dat M Q > 3 (stelling van Pythagoras in driehoek M P Q ), dus dan is P het enige punt dat c en k gemeen hebben.

Voorbeeld:

Gegeven is de cirkel met vergelijking ( x + 1 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 10 met daarop het punt P ( 0,‐6 ) .
We geven een vergelijking van de raaklijn in P aan de cirkel.

Het middelpunt van de cirkel is M ( ‐1,‐3 ) . Lijn P M heeft richtingscoëfficiënt 3 . Deze staat loodrecht op de raaklijn, dus de raaklijn heeft richtingscoëfficiënt 1 3 .
Een vergelijking van de raaklijn is dus: y = 1 3 x + b .
De raaklijn gaat door P , dus een vergelijking van de raaklijn is: y = 1 3 x 6 .

1

Gegeven zijn de punten M ( 1,2 ) en P ( 5,0 ) .
c is de cirkel met middelpunt M die door P gaat.

a

Geef een vergelijking van c .

b

Geef een vergelijking van de lijn die c in P raakt.

2

Gegeven is de lijn k met vergelijking y = 2 3 x met daarop het punt P ( 3,2 ) .
De middelpunten van de cirkels die k in P raken, liggen op een lijn.

a

Geef een vergelijking van die lijn.

(hint)
Maak eerst een schets van de situatie.

b

Geef een vergelijking van de cirkel waarop de punten liggen die afstand 13 tot P hebben.

Een cirkel c met straal 13 raakt k in P .

c

Bereken de coördinaten van het middelpunt van c (twee mogelijkheden).

Een cirkel raakt k in P . Het middelpunt van de cirkel ligt op de lijn met vergelijking y = 2 x 18 .

d

Bereken de straal van die cirkel.

3

k is de lijn met vergelijking 2 x + 3 y = 12 met daarop het punt P ( 3,2 ) . Op de y -as ligt een punt M . Een cirkel met middelpunt M raakt k in P .

Bereken exact de coördinaten van M en de straal van de cirkel.

4

Een bal met straal 2 zit in een kegel. In de figuur zie je een doorsnede van de situatie. M is het middelpunt van de cirkel die raakt aan de lijn y = 2 x (in R ) en aan de lijn y = 2 x .

Bereken exact hoe ver het middelpunt M van de oorsprong O afligt.

(hint)
Projecteer R op de x -as en gebruik gelijkvormigheid.

5

Gegeven zijn de cirkel met middelpunt M ( 3,0 ) en straal 1 en de cirkel met middelpunt N ( 7,0 ) en straal 3 .

Een lijn raakt de kleine cirkel in P en de grote cirkel in Q .
Deze lijn snijdt de x -as in S .
De lengte van lijnstuk M S noemen we x .

a

Stel een vergelijking voor x op en bereken x exact, gebruik gelijkvormigheid.

(hint)
De driehoeken P M S en Q N S zijn gelijkvormig.

Hoek P S M noemen we α .

b

Bereken tan α en α exact.

c

Geef een exacte vergelijking van lijn P Q .

(hint)
De richtingscoëfficiënt is tan α .

6

Hieronder staat de cirkel met middelpunt M ( 10,5 ) en straal 5 .

De cirkel raakt de x -as.

a

Welk punt is het raakpunt R ?

Er zijn twee raaklijnen door O ( 0,0 ) . Een daarvan is de x -as.
De andere raaklijn is ook getekend. Die raakt de cirkel in Q .
Q vind je door R te spiegelen in de juiste lijn.

b

Welke lijn is dat?

c

Bereken de coördinaten van Q exact.

7

Gegeven is de cirkel c met vergelijking x 2 + y 2 6 x 2 y + 5 = 0 en de lijn k met vergelijking 2 x + y = 2 .
Het stelsel { x 2 + y 2 6 x 2 y + 5 = 0 2 x + y = 2 heeft één oplossing.

a

Laat dat zien en bepaal de oplossing exact.

b

Hoe volgt uit het vorige onderdeel dat k de cirkel c raakt?
Wat zijn de coördinaten van het raakpunt?

Raaklijn algebraïsch gezien
Voorbeeld:

In opgave 50 hebben we de raaklijnen aan de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 = 4 bepaald die evenwijdig zijn met de lijn x + y = 0 . Nu doen we dat nog eens op een andere manier.
De raaklijnen hebben vergelijking x + y = a voor zekere waarden van a .
Het stelsel { x 2 + y 2 = 4 x + y = a moet één oplossing hebben.
Vul voor y = a x in, in de vergelijking x 2 + y 2 = 4 , dit geeft:
x 2 + ( a x ) 2 = 4 2 x 2 2 a x + a 2 4 = 0 . Deze vergelijking (in x ) moet één oplossing hebben, dus de discriminant van de vergelijking is 0 .
Dus: ( 2 a ) 2 4 2 ( a 2 4 ) = 0 4 a 2 8 a 2 + 32 = 0 .
Dus a = 2 2 of a = 2 2 .
De raaklijnen hebben dus vergelijking x + y = 2 2 en x + y = 2 2 .

Opmerking:

Je kunt de werkwijze vergelijken met die in hoofdstuk 3, paragraaf 6. Daar heb je met behulp van een discriminant raaklijnen aan een parabool bepaald.

8

Gegeven zijn de lijnen k m met vergelijking y = m x + 5 voor alle mogelijke waarden van m en de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 = 5 .

De lijnen k m gaan alle door het punt ( 0,5 ) .

a

Laat dat zien.

Gegeven het stelsel { x 2 + y 2 = 5 y = m x + 5 .
Voor twee waarden van m heeft dit stelsel één oplossing.

b

Bereken deze waarden exact.

Uit het vorige onderdeel volgt dat de lijnen y = 2 x + 5 en y = 2 x + 5 de cirkel raken.

c

Bepaal de coördinaten van de raakpunten exact.

9

In de figuur hieronder staat de cirkel met middelpunt M ( 10,5 ) en straal 5 , zie opgave 56. Er zijn twee raaklijnen door punt O ( 0,0 ) aan de cirkel. Eén van die lijnen is de x -as. De andere raaklijn hebben we in opgave 56 bepaald. We doen dat in deze opgave nog eens met behulp van een discriminant.

Een vergelijking van de cirkel is ( x 10 ) 2 + ( y 5 ) 2 = 25 .

a

Geef een vergelijking van de lijn door O ( 0,0 ) met richtingscoëfficiënt m .

b

Bereken de exacte waarden van m waarvoor het stelsel { ( x 10 ) 2 + ( y 5 ) 2 = 25 y = m x één oplossing heeft.

10

Een bal wordt in een paraboolvormige vaas gegooid. Hieronder rechts zie je een doorsnede van de situatie. Er is een assenstelsel aangebracht. De parabool heeft vergelijking y = x 2 . Het middelpunt van de bal is ( 0,2 ) .

Bereken de straal van de cirkel (bal) exact. (De cirkel raakt dus de parabool.)