Lijn heeft richtingscoëfficiënt , dus de raaklijn heeft richtingscoëfficiënt en gaat door . Een vergelijking is: .
Die lijn staat loodrecht op en gaat door . Dus de richtingscoëfficiënt is . Een vergelijking is dus: .
De coördinaten van het middelpunt zijn oplossing van de vergelijking
.
Die oplossingen zijn: en
.
Het middelpunt van die cirkel is het snijpunt van de lijnen
en
.
Dat is het punt . De straal van de cirkel is .
Lijn heeft richtingscoëfficiënt . Het middelpunt ligt op , de lijn door loodrecht op
, dus
heeft richtingscoëfficiënt
en gaat door .
Een vergelijking van is: .
Het snijpunt van met de -as is:
.
De straal van de cirkel is
.
De projectie van op de -as
noemen we .
De hoeken en
zijn even groot (Z-hoeken),
dus de driehoeken
en
zijn gelijkvormig, want ze hebben beide ook nog een rechte hoek.
De helling van lijn is , dus driehoek
is gelijkvormig met een driehoek met zijden
, en
, dus driehoek
ook, dus
.
Andere aanpak met geeft cirkel
;
Snijden met
geeft de vergelijking
Uitwerken geeft de vergelijking ;
Ze moeten elkaar raken, dus
, dus
.
De driehoeken en
zijn gelijkvormig, want ze hebben beide een rechte hoek, namelijk hoek
en hoek en ze hebben hoek
gemeenschappelijk.
Dus , dus
, dus
.
, dus .
Lijn .
Lijn heeft richtingscoëfficiënt
, dus
lijn heeft richtingscoëfficiënt , heeft dus vergelijking
voor een of ander getal .
Lijn gaat door
, heeft dus vergelijking
.
We snijden lijn met de cirkel.
Daarvoor vullen we voor in in de vergelijking van de cirkel
.
Dit geeft: of
, dus
.
Als je voor in de vergelijking
invult, krijg je de vergelijking
.
Deze vergelijking heeft één oplossing (omdat zijn discriminant is of omdat je
de vergelijking kunt schrijven als ).
De oplossing van de vergelijking is , dus de oplossing van het stelsel is
.
Omdat en precies één punt gemeen hebben. Dit is het raakpunt .
Als je voor , krijg je wat ook is.
Voor invullen in
geeft:
.
Deze vergelijking is te schrijven als: .
Deze vergelijking moet discriminant hebben, dus:
, dus
of
.
Als , wordt de vergelijking uit het vorige onderdeel:
, deze heeft als enige oplossing
, het raakpunt is dan
.
Als , wordt de vergelijking uit het vorige onderdeel:
, deze heeft als enige oplossing
, het raakpunt is dan
.
Voor invullen in
geeft:
.
Deze vergelijking heeft discriminant , dus:
, dus
of .
De raaklijnen zijn (de
-as) en de lijn
.
Een vergelijking van de cirkel is: , waarbij
het kwadraat van de straal is.
Het stelsel
heeft één oplossing voor .
Vul voor in de eerste vergelijking
in.
Dan krijg je:
.
Deze vergelijking in heeft één oplossing, dus
,
dus de straal is .