5.6  Raaklijn aan een cirkel >
Raaklijn meetkundig gezien
1
a

( x 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 20

b

Lijn M P heeft richtingscoëfficiënt 1 2 , dus de raaklijn heeft richtingscoëfficiënt 2 en gaat door P . Een vergelijking is: y = 2 x 10 .

2
a

Die lijn staat loodrecht op k en gaat door P . Dus de richtingscoëfficiënt is ‐1 1 2 . Een vergelijking is dus: y = 1 1 2 x + 6 1 2 .

b

( x 3 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 13

c

De coördinaten van het middelpunt zijn oplossing van de vergelijking { ( x 3 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 13 y = 1 1 2 x + 6 1 2 .
Die oplossingen zijn: ( 1,5 ) en ( 5,‐1 ) .

d

Het middelpunt van die cirkel is het snijpunt van de lijnen y = 2 x 18 en y = 1 1 2 x + 6 1 2 .
Dat is het punt ( 7,‐4 ) . De straal van de cirkel is 2 13 .

3

Lijn k heeft richtingscoëfficiënt 2 3 . Het middelpunt ligt op m , de lijn door P loodrecht op k , dus m heeft richtingscoëfficiënt 1 1 2 en gaat door ( 3,2 ) .
Een vergelijking van m is: y = 1 1 2 x 2 1 2 .
Het snijpunt van m met de y -as is: M ( 0, 2 1 2 ) .
De straal van de cirkel is 3 2 + ( 4 1 2 ) 2 = 29 1 4 = 1 1 2 13 .

4

De projectie van R op de x -as noemen we P .
De hoeken M O R en O R P zijn even groot (Z-hoeken), dus de driehoeken M O R en O R P zijn gelijkvormig, want ze hebben beide ook nog een rechte hoek.
De helling van lijn O R is 2 , dus driehoek R O P is gelijkvormig met een driehoek met zijden 1 , 2 en 5 , dus driehoek M O R ook, dus M O = 2 5 .

Andere aanpak met M ( 0, m ) geeft cirkel x 2 + ( y m ) 2 = 4 ;
Snijden met y = 2 x geeft de vergelijking x 2 + ( 2 x m ) 2 = 4
Uitwerken geeft de vergelijking 5 x 2 4 m x + m 2 4 = 0 ;
Ze moeten elkaar raken, dus D = 0 ( 4 m ) 2 4 5 ( m 2 4 ) = 0 m 2 = 20 , dus m = 20 = 2 5 .

5
a

De driehoeken P M S en Q N S zijn gelijkvormig, want ze hebben beide een rechte hoek, namelijk hoek P en hoek Q en ze hebben hoek S gemeenschappelijk.
Dus S N S M = Q N P M = 3 , dus x + 4 = 3 x , dus x = 2 .

b

tan ( α ) = P M P S = 1 3 3 , dus α = 30 ° .

c

y = 1 3 3 ( x 1 )

6
a

R ( 10,0 )

b

Lijn O M .

c

Lijn O M heeft richtingscoëfficiënt 1 2 , dus lijn Q R heeft richtingscoëfficiënt ‐2 , heeft dus vergelijking y = 2 x + b voor een of ander getal b . Lijn Q R gaat door R ( 10,0 ) , heeft dus vergelijking y = 2 x + 20 . We snijden lijn Q R met de cirkel.
Daarvoor vullen we voor y = 2 x + 20 in in de vergelijking van de cirkel ( x 10 ) 2 + ( y 5 ) 2 = 25 .
Dit geeft: ( x 10 ) 2 + ( 2 x + 15 ) 2 = 25 5 x 2 80 x + 300 = 0 x = 6 of x = 10 , dus Q ( 6,8 ) .

7
a

Als je voor y = 2 x + 2 in de vergelijking x 2 + y 2 6 x 2 y + 5 = 0 invult, krijg je de vergelijking x 2 + ( 2 x + 2 ) 2 6 x 2 ( 2 x + 2 ) + 5 = 0 5 x 2 10 x + 5 = 0 .
Deze vergelijking heeft één oplossing (omdat zijn discriminant 0 is of omdat je de vergelijking kunt schrijven als 5 ( x 1 ) 2 = 0 ).
De oplossing van de vergelijking is x = 1 , dus de oplossing van het stelsel is ( 1,0 ) .

b

Omdat k en c precies één punt gemeen hebben. Dit is het raakpunt ( 1,0 ) .

Raaklijn algebraïsch gezien
8
a

Als je voor x = 0 , krijg je y = 5 wat m ook is.

b

Voor y = m x + 5 invullen in x 2 + y 2 = 5 geeft: x 2 + ( m x + 5 ) 2 = 5 .
Deze vergelijking is te schrijven als: ( m 2 + 1 ) x 2 + 10 m x + 20 = 0 .
Deze vergelijking moet discriminant 0 hebben, dus:
100 m 2 4 20 ( m 2 + 1 ) = 0 , dus m = 2 of m = 2 .

c

Als m = 2 , wordt de vergelijking uit het vorige onderdeel: 5 x 2 + 20 x + 20 = 0 , deze heeft als enige oplossing x = 2 , het raakpunt is dan ( 2,1 ) .
Als m = 2 , wordt de vergelijking uit het vorige onderdeel: 5 x 2 20 x + 20 = 0 , deze heeft als enige oplossing x = 2 , het raakpunt is dan ( 2,1 ) .

9
a

y = m x

b

Voor y = m x invullen in ( x 10 ) 2 + ( y 5 ) 2 = 25 geeft:
( m 2 + 1 ) x 2 ( 10 m + 20 ) x + 100 = 0 .
Deze vergelijking heeft discriminant 0 , dus: ( 10 m + 20 ) 2 400 ( m 2 + 1 ) = 0 3 m 2 + 4 m = 0 , dus m = 0 of m = 1 1 3 . De raaklijnen zijn y = 0 (de x -as) en de lijn y = 1 1 3 x .

10

Een vergelijking van de cirkel is: x 2 + ( y 2 ) 2 = c , waarbij c het kwadraat van de straal is.
Het stelsel { x 2 + ( y 2 ) 2 = c y = x 2 heeft één oplossing voor y .
Vul voor x 2 in de eerste vergelijking y in.
Dan krijg je: y + ( y 2 ) 2 = c y 2 3 y + 4 c = 0 .
Deze vergelijking in y heeft één oplossing, dus
D = ( 3 ) 2 4 1 ( 4 c ) = 0 9 16 + 4 c = 0 c = 7 4 ,
dus de straal is 7 4 = 1 2 7 .