1

a

${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = {(1 + 2)}^{2} + {(4 - 3)}^{2} = 10$

b

Het middelpunt noemen we $M$ en het punt $(1,4)$ noemen we $R$ . Dan heeft lijn $M R$ richtingscoëfficiënt $\frac{1}{3}$ , dus de raaklijn heeft richtingscoëfficiënt $‐3$ .
Een vergelijking van de raaklijn is dus: $y = ‐3 x + 7$ .

2

Het middelpunt van de cirkel is $M (‐2,3)$ .
Noem het raakpunt $T$ , dan staat lijn $M T$ loodrecht op de lijn $‐ x + 3 y = a$ , heeft dus richtingscoëfficiënt $‐3$ . Dus lijn $M T$ heeft vergelijking $y = ‐ 3 x - 3$ .
We bepalen het snijpunt van lijn $M T$ met de cirkel.
${\begin{cases} {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10 \\ y = ‐ 3 x - 3 \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} {(x + 2)}^{2} + {(‐3 x - 6)}^{2} = 10 \\ y = ‐ 3 x - 3 \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} x^{2} + 4 x + 3 = 0 \\ y = ‐ 3 x - 3 \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} x = ‐1 of x = ‐3 \\ y = ‐ 3 x - 3 \end{cases}$ .
Dus het raakpunt is $(‐1,0)$ of $(‐3,6)$ , dus $a = 1$ of $a = 21$ .

3

a

Lijn $O B$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{2}{3}$ , dus lijn $A C$ heeft richtingscoëfficiënt $‐1 \frac{1}{2}$ , dus een vergelijking van lijn $A C$ is: $y = ‐1 \frac{1}{2} x + 8$ (want $C$ ligt erop.)
$y = ‐ 1 \frac{1}{2} x + 8$ snijden met $y = \frac{2}{3} x$ geeft: $S (3 \frac{9}{13},2 \frac{6}{13})$ .

b

Van $C$ naar $S$ ga je $1 \frac{9}{13}$ naar rechts en $2 \frac{7}{13}$ naar beneden, dus van $S$ naar $A$ moet je dat nog eens doen. Je komt dan in $A (5 \frac{5}{13}, ‐ \frac{1}{13})$ .

4

a

Het midden van de rechthoek $A B C D$ is het middelpunt van de cirkel door de hoekpunten van de rechthoek, dus ook het middelpunt van de cirkel door de punten $A$ , $B$ en $D$ . Het middelpunt is dus het midden van $B D$ dus $(2,2 \frac{1}{2})$ .
De straal is $\frac{1}{2} B D = 2 \frac{1}{2}$ .

b

Lijn $D B$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{3}{4}$ , dus lijn $D A$ heeft richtingscoëfficiënt $‐ 1 \frac{1}{3}$ . Een vergelijking van lijn $A D$ is dus: $y = ‐ 1 \frac{1}{3} x + 2 \frac{2}{3}$ . snijden met $y = \frac{3}{4} x + 1$ geeft $E (\frac{4}{5},1 \frac{3}{5})$ .

c

De hoeken $A D E$ en $A D B$ zijn even groot en beide driehoeken hebben een rechte hoek. De vergrotingsfactor is $\frac{D B}{D A} = \sqrt{5}$ .

d

$D E = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5} = 1$

e

De straal is $\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot 2 \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{5}$ .

5

$x^{2} + y^{2} + 10 x + 20 y = 0 \Leftrightarrow {(x + 5)}^{2} + {(y + 10)}^{2} - 25 - 100 = 0$ ,
dus middelpunt $(‐5, ‐10)$ en straal $\sqrt{125} = 5 \sqrt{5}$ ;
$x^{2} + y^{2} - 3 x + 1 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1 \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} - 2 \frac{1}{4} + 1 = 0$ ,
dus middelpunt $(1 \frac{1}{2},0)$ en straal $\sqrt{1 \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{5}$ ;
$2 x^{2} + 2 y^{2} + 10 x - 20 y = 22 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 5 x - 10 y = 11 \Leftrightarrow$
${(x + 2 \frac{1}{2})}^{2} + {(y - 5)}^{2} - 6 \frac{1}{4} - 25 = 11$ ;
middelpunt $(‐2 \frac{1}{2},5)$ en straal $\sqrt{42 \frac{1}{4}} = 6 \frac{1}{2}$ .

6

Het middelpunt $M$ van die cirkel ligt op de lijn door $O$ loodrecht op de lijn $y = 3 x$ , dus op de lijn $y = ‐ \frac{1}{3} x$ .
$M$ ligt ook op afstand $10$ van $O$ , dus op de cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 100$ .
Het gezochte middelpunt is oplossing van het volgende stelsel.
${\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 100 \\ x = ‐3 y \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} 10 y^{2} = 100 \\ x = ‐3 y \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} y = \sqrt{10} of y = ‐ \sqrt{10} \\ x = ‐3 y \end{cases}$ .
Dus $M = (3 \sqrt{10}, ‐ \sqrt{10})$ of $M = (‐ 3 \sqrt{10}, \sqrt{10})$ .

7

Het middelpunt ligt op de lijn door $(4,0)$ loodrecht op de lijn $2 x + 3 y = 8$ .
Het middelpunt ligt dus op de lijn $y = 1 \frac{1}{2} x - 6$ .
Het middelpunt ligt ook op de middelloodlijn van $(0,0)$ en $(4,0)$ , dus op de lijn $x = 2$ , dus het middelpunt is $(2, ‐3)$ .

8

Het raakpunt ligt op de lijn door $(5,0)$ loodrecht op de lijn met vergelijking $x + 2 y = a$ , dus op de lijn met vergelijking $y = 2 x - 10$ . Het raakpunt is dus oplossing van het stelsel:
${\begin{cases} y = 2 x - 10 \\ {(x - 5)}^{2} + y^{2} = 20 \end{cases} \Leftrightarrow$ ${\begin{cases} y = 2 x - 10 \\ x = 7 of x = 3 \end{cases}$ , dus het raakpunt is: $(7,4)$ of $(3,‐4)$ ,
dus $a = 15$ of $a = ‐5$ .

9

a

$C (5,0)$ .
Lijn $l$ heeft richtingscoëfficiënt $2$ , dus $m$ heeft richtingscoëfficiënt $‐ \frac{1}{2}$ , dus $m$ heeft vergelijking $y = ‐ \frac{1}{2} x + b$ . Het punt $B$ voldoet aan de vergelijking, dus een vergelijking van $m$ is: $y = ‐ \frac{1}{2} x + 2 \frac{1}{2}$ .
$C$ voldoet aan deze vergelijking, dus het klopt.

b

$3 x - 4 y + 25 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4} x + 6 \frac{1}{4}$ , dus lijn $n$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{3}{4}$ .
Lijn $O B$ heeft richtingscoëfficiënt $‐ 1 \frac{1}{3}$ , dus $n$ en lijn $O B$ staan loodrecht op elkaar, dus $n$ is de raaklijn aan $c$ in $B$ .

10

a

$P (5 \sqrt{2},0)$ en $Q (0,5 \sqrt{2})$ .

b

Het midden van lijnstuk $P Q$ noemen we $M$ , dan is $M (2 \frac{1}{2} \sqrt{2},2 \frac{1}{2} \sqrt{2})$ .
Lijn $O M$ staat loodrecht op lijn $P Q$ , want driehoek $O P Q$ is gelijkbenig, dus de afstand is $O M = 5$ .

c

Het raakpunt ligt op de lijn $y = x$ , is dus $(5,5)$ of $(‐5,‐5)$ .
Een vergelijking van de raaklijn is dus: $x + y = 10$ of $x + y = ‐10$ .

11

a

Lijn $A B$ : $y = \frac{1}{3} x + 2 \frac{1}{3}$ ; lijn $P Q$ : $y = ‐3 x + 4$

b

Snijpunt: $(\frac{1}{2},2 \frac{1}{2})$

c

$P Q = \sqrt{{(\frac{1}{2} + 1)}^{2} + {(7 - 2 \frac{1}{2})}^{2}} = 1 \frac{1}{2} \sqrt{10}$

d

$α + β = 90 °$ en $γ + β = 90 °$ , dus $α = γ$ . Verder hebben beide driehoeken een rechte hoek.

e

$\frac{A B}{A P} = \frac{3}{5} \sqrt{10}$

f

$P Q \cdot \frac{3}{5} \sqrt{10} = A C = 9$ ,
dus $P Q = 1 \frac{1}{2} \sqrt{10}$ .

g

Als je $A P$ als basis neemt, is de bijbehorende hoogte $y_{B} - y_{A} = 9$ , de oppervlakte is dus: $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 9 = 22 \frac{1}{2}$ .

h

Oppervlakte driehoek
$B A P = \frac{1}{2} \cdot P Q \cdot A B = 22 \frac{1}{2}$ ,
dus $P Q = \frac{45}{3 \sqrt{10}} = 1 \frac{1}{2} \sqrt{10}$ .

12

Dat is het snijpunt van de cirkel met lijn $O M$ .
Een vergelijking van de cirkel is: ${(x - 9)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 10$ en een vergelijking van lijn $O M$ is $y = ‐ \frac{1}{3} x$
Voor $y = ‐ \frac{1}{3} x$ invullen in de vergelijking van de cirkel geeft: $(x - 9)^{2} + {(\frac{1}{3} x + 3)}^{2} = 10 \Leftrightarrow$ $1 \frac{1}{9} x^{2} - 16 x + 80 = 0 \Leftrightarrow 5 x^{2} - 72 x + 144 = 0$ , dus $x = \frac{72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 144}}{10} = \frac{72 \pm 48}{10}$ .
De snijpunten zijn dus $(12,‐4)$ en $(6,‐2)$ . Het punt $(6,‐2)$ ligt het dichtst bij $O$ .

13

a

$P M = 6$ en $R M = 2$ , dus $P R = \sqrt{6^{2} - 2^{2}} = 4 \sqrt{2}$ .

b

Beide hebben een rechte hoek, verder hebben ze hoek $P$ hetzelfde.

c

De factor is: $\frac{P R}{P M} = \frac{4 \sqrt{2}}{6} = \frac{2}{3} \sqrt{2}$ , dus: $R S = \frac{2}{3} \sqrt{2} \cdot R M = 1 \frac{1}{3} \sqrt{2}$ en $P S = \frac{2}{3} \sqrt{2} \cdot P R = 5 \frac{1}{3}$ , dus $S = (4 \frac{1}{3},1 \frac{1}{3} \sqrt{2})$ .

14

a

Het midden van lijnstuk $O A$ noemen we $N$ , dan is driehoek $O M N$ een $30$ - $60$ - $90$ -graden driehoek.
Dus die afstand is $M N = 5$ .

b

De hellingshoek van lijn $O A$ is $30 °$ , dus de richtingscoëfficiënt is $\tan 30 ° = \frac{1}{3} \sqrt{3}$ .
Een vergelijking van lijn $O A$ is dus: $y = \frac{1}{3} \sqrt{3} \cdot x$ .

c

$O A = 2 \cdot O N = 2 \cdot 5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}$ .

d

De loodrechte projectie van $A$ op de $x$ -as noemen we $P$ . Dan is $O P A$ een $30$ - $60$ - $90$ -graden driehoek, dus $A P = \frac{1}{2} \cdot O A = 5 \sqrt{3}$ en $O P = \sqrt{3} \cdot A P = 15$ , dus $A (15,5 \sqrt{3})$ .