Hevel

Uit een kraan stroomt continu water in een bak: $6$ liter per minuut. Zodra het water het niveau " $20$ liter" bereikt, loopt het weg via de hevel: $8$ liter per minuut. Het water gaat dan dus dalen. Dat blijft doorgaan totdat het niveau gezakt is tot het niveau “ $5$ liter”. Dan begint het proces weer van voren af aan: Het waterniveau gaat weer stijgen, enzovoort.

Teken de tijd-waterniveau-grafiek; zet de tijd (in min.) horizontaal uit en het waterniveau (in liters) verticaal. Neem aan dat op tijdstip $0$ het niveau
" $5$ liter" is.

Om de hoeveel minuten herhaalt het proces zich?

Geef de tijdstippen tussen $0$ en $30$ minuten waarop het waterniveau
" $17$ liter" is.

Het waterniveau schommelt tussen $5$ en $20$ liter. Om de $10$ minuten gebeurt er weer precies hetzelfde.

De beweging van de waterspiegel is periodiek. Het aantal minuten dat het basispatroon duurt, is de periode van de beweging. De hele beweging kun je opbouwen door steeds weer het basispatroon te herhalen.

De naaipatronen van opgave 1 zijn ook periodiek.

Een kabelbaan
Van het grondstation $G$ loopt een kabelbaan naar de top $T$ . Voortdurend pendelt er een gondel heen en weer. Een enkele reis duurt $10$ minuten; de wachttijden in $G$ en $T$ bedragen elk $5$ minuten. $G$ ligt op $100$ meter boven de zeespiegel; $T$ ligt op een hoogte van $500$ meter.
De hoogte rekenen we in meters boven de zeespiegel, de tijd in minuten.

Teken de tijd-hoogte-grafiek. Neem aan dat de gondel op tijdstip $0$ uit $G$ vertrekt en gelijkmatig stijgt en daalt.

Wat is de periode van de beweging?

Geef de eerste vijf tijdstippen na $0$ , waarop de hoogte $400$ meter is.

Hoe hoog is de gondel op tijdstip $1000$ minuten?

De hoogte na $t$ minuten noemen we $H (t)$ (meter). De functie $H$ ken je helemaal als je hem voor de tijdsduur van één periode kent. Een periode valt uiteen in vier stukken: $10$ minuten stijgen, $5$ minuten in $T$ wachten, $10$ minuten dalen, $5$ minuten in $G$ wachten.

Geef een formule voor $H (t)$

als $0 \leq t \leq 10$ ;
als $10 \leq t \leq 15$ ;
als $15 \leq t \leq 25$ ;
als $25 \leq t \leq 30$ .

Er is nog een tweede gondel, met dezelfde reis- en wachttijden. Als de eerste gondel uit $G$ vertrekt, vertrekt de tweede gondel uit $T$ .

Teken in de figuur van opgave 3a de tijd-hoogte-grafiek van deze tweede gondel.

De tweede gondel maakt precies dezelfde beweging als de eerste, maar dan een vaste tijdsduur later.

Hoeveel minuten later?

$H_{2} (t)$ is de hoogte van de tweede gondel op tijdstip $t$ .

Vul in: $H_{2} (t) = H (....)$ .

Er is een eenvoudige manier om de hoogte van de tweede gondel op een tijdstip uit te rekenen als je de hoogte van de eerste gondel op dat tijdstip kent.

Wat is $H_{2} (t)$ als $H (t) = 100$ ?
Wat is $H_{2} (t)$ als $H (t) = 133$ ?
Wat is $H_{2} (t)$ als $H (t) = 499$ ?

Als je de hoogte $H (t)$ voor een zeker tijdstip kent, ken je de hoogte $H_{2} (t)$ voor datzelfde tijdstip ook.

Hoe dan?

Een beweging heet periodiek met periode 30 minuten als:

de situatie op elk moment precies dezelfde is als $30$ minuten daarvoor,
er geen kleinere positieve tijdsduur is dan $30$ minuten met deze eigenschap.

Wat is de periode van de beweging in opgave 2?

Geef de periode van de volgende periodieke "bewegingen". Sommige periodes moet je schatten.

De beweging van de aarde om de zon.
De menstruatiecyclus van de vrouw.
De hartslag van een gezonde mens in rust.
Het draaien van de grote wijzer van de klok.
Het draaien van de kleine wijzer van de klok.
De getijdebewegingen van zeeën en oceanen.

Weet je nog andere periodieke bewegingen? Denk bijvoorbeeld aan sport, verkeer, ziektes, klimaat, seizoenen. De periodes mogen best een beetje onzeker zijn.

De cycloïde
Een fiets rijdt. We volgen het ventiel van een van de wielen. Het verplaatst zichin de rijrichting en maakt gelijktijdig een cirkelbeweging. Het ventiel beschrijft een kromme baan: een cycloïde. Hieronder staat (een deel van) de cycloïde die hoort bij een wiel met een diameter van $80$ cm. De dikte van de band is verwaarloosd.
Zie de applet cycloïde ; kies diameter $80$ cm.

Hoeveel cm is de periode van de beweging? Geef het antwoord exact (met $π$ ) en ook in één decimaal nauwkeurig.

We starten met het ventiel op het laagste punt. Als de fiets dan naar rechts gaat, gaat het ventiel omhoog. De horizontale verplaatsing noemen we $x$ (cm).

Voor welke exacte waarden van $x$ tussen $0$ en $1000$ is het ventiel onderaan?

Cycloïden kun je tekenen met een spirograaf. Alleen wordt dan de banddikte niet verwaarloosd.

Bij $x = 50$ is het ventiel ongeveer $60$ cm hoog.

Wat is de eerstvolgende waarde van $x$ waarbij het ventiel op dezelfde hoogte is?

Een ander fietswiel heeft diameter $40$ cm. Op tijdstip $0$ is het ventiel onderaan.
Zie de applet cycloïde ; kies daarbij diameter $40$ cm.

Verklaar het resultaat.

Bepaal met behulp van het antwoord van vraag c hoe hoog ongeveer het ventiel van dit tweede fietswiel is als $x = 25$ . Controleer je antwoord met de applet.

De slinger van een pendule maakt een regelmatige beweging. We bekijken de uitwijking van de onderste punt van de slinger uit de evenwichtsstand. We rekenen de uitwijking naar rechts positief, naar links negatief. De maximale uitwijking is $5$ cm, de slingertijd is $4$ seconden (zo lang duurt één keer heen en weer). Hieronder staat de grafiek van de uitwijking voor één keer van de uiterste stand rechts naar de uiterste stand links.

Neem de figuur over en teken de grafiek voor de volgende zes seconden.

Hoeveel keer per dag gaat de slinger door de evenwichtsstand?

Van een half zo lange slinger is de slingertijd $0,7$ keer zo groot en is de maximale uitwijking $0,5$ keer zo groot.

Teken in hetzelfde rooster de grafiek van de uitwijking van deze tweede slinger. Laat hem op tijdstip $0$ in de uiterste stand rechts beginnen.

Wat is het eerste tijdstip na $0$ dat beide slingers in de uiterste stand rechts zijn?

Kunstwerk op de Platz am Rathaus te Mainz

Hieronder zie je de gemiddelde getijkromme te Vlissingen (boven) en IJmuiden (naar het boekje Getijtafels voor Nederland, 1985).
De waterstand is vermeld in cm boven NAP, de tijd in uren ( $6.29$ uur = $6$ uur en $29$ minuten).

Wat is de periode van de getijdebeweging van de zee?

Noem een paar verschillen tussen de twee getijkrommen.

De grafieken "golven" regelmatig om de gemiddelde zeestand. Toch hebben de golven iets onregelmatigs.

Noem een onregelmatigheid.

Op 7 februari 1985 was het om precies $3.00$ uur 's ochtends hoogwater te Vlissingen.

Hoe laat zal het hoogwater geweest zijn te Vlissingen op 8 februari 1985? (Twee tijdstippen.)

De golven in opgave 9 vertonen onregelmatigheden. Een zuiver regelmatige golf krijg je bijvoorbeeld in opgave 8.
Zo'n regelmatige golf als in opgave 8 heet een sinusoïde.
Andere voorbeelden van zo'n ideale golf:

Aan een stemvorm is een naald bevestigd. De trillende naald wordt met constante snelheid over een met roet zwart gemaakte glasplaat getrokken.
Kijk tegen de zijkant van een spiraal aan (bijvoorbeeld een veer, een wenteltrap op een kurkentrekker).
Het beeld van het geluid van een stemvork op een oscilloscoop.
De spanning in het elektriciteitsnet is een wisselspanning: $50$ keer per seconde wisselt de spanning van positief naar negatief.

De naaipatronen van opgave 1 verlopen niet "gladjes", maar hoekig: de patronen hebben scherpe punten. Als er geen knikken in de grafiek zitten zeggen we (een beetje deftig) dat de beweging "harmonieus" verloopt.

We hebben van ijzerdraad een cirkel gebogen. De cirkel hangen we op in een verticaal vlak. De zon beschijnt de cirkel horizontaal van opzij; we vangen zijn schaduw op een verticaal opgesteld scherm op. De schaduw van de ijzerdraad is dus een verticale streep (lijnstuk).

De straal van de baan is $1$ dm. De schaduw van de baan is dan $2$ dm lang.

Stel je voor dat een kogeltje met een constante snelheid over de cirkel glijdt. De schaduw van het kogeltje glijdt dan op en neer over de streep op het scherm.

Beweegt de schaduw overal even snel? Op welke plekken gaat de schaduw het langzaamst? Op welke plek het snelst?

We letten op de hoogte van de schaduw ten opzichte van het midden van de streep. Hoogten onder het midden rekenen we negatief.

Iemand tekent de grafiek van de hoogte als functie van de tijd zoals hiernaast staat.
Dat klopt niet wat je bij vraag a hebt opgemerkt.

Waarom klopt deze grafiek niet? Hoe moet je de grafiek verbeteren?

Met de applet hoogte schaduw kun je het draaien van het kogeltje over de cirkel bekijken; druk op start om de animatie te starten. Je krijgt dan ook de verbeterde grafiek van de vorige vraag te zien als je op grafiek aan/uit klikt.

De snelheid van het kogeltje langs het ijzerdraad is $1$ dm per seconde.

Hoe lang doet de schaduw dan over één volledige beweging op en neer?

Als een cirkel met constante snelheid doorlopen wordt, spreekt men van een harmonische beweging.
De grafiek van de hoogte is dan een sinusoïde.

Later zal blijken dat het volgende geldt:

als de hoogte maximaal is, is de versnelling minimaal,
als de hoogte $0$ is, is de versnelling ook $0$ ,
als de hoogte minimaal is, is de versnelling maximaal.

Algemeen geldt: de versnelling is evenredig met de hoogte; de evenredigheidsconstante is daarbij negatief. Dit is kenmerkend voor een harmonische beweging.

Welke van de bewegingen die we tot nu toe gezien hebben is (ongeveer) harmonisch?

Het waterniveau bij de hevel van opgave 2;
De hoogte van de gondel bij de kabelbaan van opgave 5;
De hoogte van het ventiel bij het fietsen van opgave 7;
De uitwijking van de slinger van opgave 8;
De waterhoogte bij Vlissingen en IJmuiden van opgave 9.

Uit Van Dale woordenboek:
harmonie (la/gr: harmonia), overeenstemming, eensgezindheid, samenwerking van een aantal zaken tot een welgeordend geheel.
Voorbeeld: het bouwwerk is in harmonie met zijn omgeving.
harmonisch met elkaar in overeenstemming zijn.
Voorbeeld: het vormt een harmonisch geheel.