De voorband van Annekes fiets is een beetje poreus. Ze moet hem elke week oppompen. Er is een vaste regelmaat ontstaan. 's Maandags 's ochtends pompt ze de band hard op: tot een spanning van atmosfeer. Vooral in het begin van de week verliest de band veel lucht, later in de week minder. Na het weekend is de bandenspanning teruggelopen tot atmosfeer. Anneke pompt de band 's maandags 's ochtends op, en alles begint weer van voren af aan.
Verklaar waarom de band meer lucht verliest als hij net is opgepompt dan later in de week.
De bandenspanning noemen we (in atmosfeer). De tijd rekenen we in dagen.
Wat is de periode van als functie van ?
Hieronder staat de grafiek van in de eerste zeven dagen van 2010.
Bepaal met behulp van deze grafiek op welke dag het in 2010 nieuwjaar was.
Neem de grafiek over en vul de grafiek aan met de twee volgende weken.
Wat is de bandenspanning op 12 februari rond het middaguur?
Lees uit de grafiek af hoeveel procent van de tijd de bandenspanning hoger is dan atmosfeer.
Gegeven is een functie .
De functie is periodiek met periode als:
bij twee -waarden die verschillen precies dezelfde -waarden horen,
er geen kleiner positief getal dan is met deze eigenschap.
De regelmaat van de grafieken hieronder zet zich naar beide kanten voort.
Zijn de bijbehorende functies periodiek? Zo ja, wat is de periode?
Hieronder staat de grafiek van een periodieke functie .
Wat is de periode?
Bepaal en .
is de grootste waarde van .
Hoe vaak neemt de waarde aan op het interval ?
Hoe vaak neemt de waarde aan op het interval ?
Neem een -interval van lengte ;
bijvoorbeeld
( hoort er niet bij,
wel).
Welke waarden neemt op dat interval precies
één keer aan?
twee keer aan?
drie keer aan?
vier keer aan?
Als een periodieke functie is met periode ,
dan geldt voor elk getal :
Van een periodieke functie met periode
weet ik dat
.
Geef nog vijf waarden van , waarvoor .
Wat is de kleinste positieve waarde van waarvan je zeker weet dat ?
Hoeveel waarden van zijn er minstens tussen en waarvoor geldt ?
is een periodieke functie met periode .
We weten een formule voor op het interval
:
.
Voor
en voor
hebben we geen formule.
Teken de grafiek van op het interval .
Bereken , en .
Laat zien dat .
Bereken exact .
Voor tunnels in het Europese wegennet geldt de richtlijn dat de afstand tussen
nooduitgangen ten hoogste meter mag bedragen
(richtlijn 2004/54/EG).
In geval van nood hoeft een automobilist dan hoogstens meter te lopen om bij een nooduitgang te komen.
We gaan in deze opgave uit van een rensnelheid van km/u.
Over meter doe je dan dus seconden.
Stel dat een zich bij een automobilist een noodgeval voordoet op plaats ,
dat wil zeggen km vanaf het begin van de tunnel.
(De eerste nooduitgang is dus direct bij de ingang van de tunnel.)
Hij rent naar de dichtstbijzijnde nooduitgang.
De benodigde tijd om deze te bereiken noemen we
(in seconden).
Voorbeeld: .
Bepaal , , , en .
Teken de grafiek van als functie van .
Neem hierbij
.
Wat is de periode van ?
Geef een formule voor als
.
Ook als .
Ook als .
Ook als .
Gegeven is een periodieke functie met periode .
Als je een formule kent om te berekenen voor waarden van in een zeker interval van lengte drie,
bijvoorbeeld ,
dan kun je
berekenen voor elke waarde van .
Laat een periodieke functie zijn met periode .
|
voor , |
|
voor , |
|
voor . |
Teken de grafiek van op het interval .
Bereken . Bereken ook .
Een slak klimt langs een paal omhoog. Hij begint onderaan, klimt een kwartier,
rust dan vijf minuten, klimt weer een kwartier, rust weer minuten, enzovoort.
In een kwartier klimmen komt de slak cm hoger. Maar tijdens elke rustpauze van vijf minuten glijdt hij weer cm omlaag.
De paal is cm hoog. Boven aangekomen, geniet de slak van het fraaie uitzicht.
Het tijdstip waarop de slak begint te klimmen, noemen we .
We rekenen de tijd in minuten.
De hoogte waarop de slak zich bevindt op tijdstip ,
noemen we
(in cm).
Teken de grafiek van de functie .
Wanneer bereikt de slak de top?
Is de functie periodiek?
Beschrijf met twee formules voor de eerste twintig minuten.
Laat een tijdstip zijn tussen en .
Wat is het verband tussen en ?
De grafiek is een zigzaglijn met een
trend naar boven.
De gemiddelde stijging zie je goed aan de
trendlijn,
dat is de lijn die door de middens gaat van de afzonderlijke lijnstukken
waaruit de grafiek is opgebouwd.
Teken de trendlijn.
Geef een formule voor de trendlijn: .
Je zou kunnen zeggen dat de grafiek schommelt om de trendlijn. De verschilfunctie is periodiek.
Wat is de periode van ?
Teken de grafiek van .
Hieronder is de grafiek getekend van het zoutgehalte in de Salt Sea, een binnenzee
ergens in een woestijngebied op aarde.
is het zoutgehalte, jaren na 1 januari 2010.
Teken op het werkblad de trendlijn.
Geef een formule voor de trendlijn.
Noem de functie waarvan de trendlijn de grafiek is: .
Teken de grafiek van op het werkblad.
Wat is de periode van ?
Ligt de Salt Sea op het noordelijk of op het zijdelijk halfrond? Verklaar.
Wanneer ongeveer in het jaar daalt het zoutgehalte het sterkst?
Met hoeveel procent per jaar?
Wat zou de oorzaak van die daling kunnen zijn?
Voorspel het zoutgehalte van de Salt Sea op 1 april 2015.