6.3  Periodieke functies >
1

De voorband van Annekes fiets is een beetje poreus. Ze moet hem elke week oppompen. Er is een vaste regelmaat ontstaan. 's Maandags 's ochtends pompt ze de band hard op: tot een spanning van 4  atmosfeer. Vooral in het begin van de week verliest de band veel lucht, later in de week minder. Na het weekend is de bandenspanning teruggelopen tot 2  atmosfeer. Anneke pompt de band 's maandags 's ochtends op, en alles begint weer van voren af aan.

a

Verklaar waarom de band meer lucht verliest als hij net is opgepompt dan later in de week.

De bandenspanning noemen we P (in atmosfeer). De tijd t rekenen we in dagen.

b

Wat is de periode van P als functie van t ?

Hieronder staat de grafiek van P in de eerste zeven dagen van 2010.

c

Bepaal met behulp van deze grafiek op welke dag het in 2010 nieuwjaar was.

d

Neem de grafiek over en vul de grafiek aan met de twee volgende weken.

e

Wat is de bandenspanning op 12 februari rond het middaguur?

f

Lees uit de grafiek af hoeveel procent van de tijd de bandenspanning hoger is dan 3  atmosfeer.

Gegeven is een functie y = f ( x ) .
De functie is periodiek met periode 3 als:

  • bij twee x -waarden die 3 verschillen precies dezelfde y -waarden horen,

  • er geen kleiner positief getal dan 3 is met deze eigenschap.

2

De regelmaat van de grafieken hieronder zet zich naar beide kanten voort.

Zijn de bijbehorende functies periodiek? Zo ja, wat is de periode?

3

Hieronder staat de grafiek van een periodieke functie f .

a

Wat is de periode?

b

Bepaal f ( 100 ) en f ( 100 ) .

2 is de grootste waarde van f ( x ) .

c

Hoe vaak neemt f ( x ) de waarde 2 aan op het interval [ 0,100 ] ?

d

Hoe vaak neemt f ( x ) de waarde 1 aan op het interval [ 0,100 ] ?

Neem een x -interval van lengte 3 ; bijvoorbeeld 17, 20 ]
( 17 hoort er niet bij, 20 wel).

e

Welke waarden neemt f ( x ) op dat interval precies

  • één keer aan?

  • twee keer aan?

  • drie keer aan?

  • vier keer aan?

Als f een periodieke functie is met periode 3 , dan geldt voor elk getal x :
... = f ( x 3 ) = f ( x ) = f ( x + 3 ) = f ( x + 6 ) = f ( x + 9 ) = ...

4

Van een periodieke functie f met periode 7 weet ik dat
f ( 101 ) = 3,14 .

a

Geef nog vijf waarden van x , waarvoor f ( x ) = 3,14 .

b

Wat is de kleinste positieve waarde van x waarvan je zeker weet dat f ( x ) = 3,14 ?

c

Hoeveel waarden van x zijn er minstens tussen 0 en 100 waarvoor geldt f ( x ) = 3,14 ?

5

f is een periodieke functie met periode 2 . We weten een formule voor f op het interval [ 1,1 ] : f ( x ) = x 2 .
Voor x > 1 en voor x < 1 hebben we geen formule.

a

Teken de grafiek van f op het interval [ 4,6 ] .

b

Bereken f ( 15 ) , f ( 15 1 2 ) en f ( 15,2 ) .

c

Laat zien dat f ( 2 ) = 6 4 2 .

d

Bereken exact f ( 17 ) .

6

Voor tunnels in het Europese wegennet geldt de richtlijn dat de afstand tussen nooduitgangen ten hoogste 500  meter mag bedragen (richtlijn 2004/54/EG).
In geval van nood hoeft een automobilist dan hoogstens 250  meter te lopen om bij een nooduitgang te komen.
We gaan in deze opgave uit van een rensnelheid van 15  km/u.
Over 250  meter doe je dan dus 60  seconden.

Stel dat een zich bij een automobilist een noodgeval voordoet op plaats x , dat wil zeggen x  km vanaf het begin van de tunnel.
(De eerste nooduitgang is dus direct bij de ingang van de tunnel.)

Hij rent naar de dichtstbijzijnde nooduitgang.
De benodigde tijd om deze te bereiken noemen we T ( x ) (in seconden).
Voorbeeld: T ( 750 ) = 60 .

a

Bepaal T ( 100 ) , T ( 300 ) , T ( 1000 ) , T ( 1750 ) en T ( 2050 ) .

b

Teken de grafiek van T als functie van x .
Neem hierbij 0 x 1500 .

c

Wat is de periode van T ?

d

Geef een formule voor T ( x ) als 0 x 250 .
Ook als 250 x 500 . Ook als 1000 x 1250 . Ook als 1250 x 1500 .

Gegeven is een periodieke functie f met periode 3 .
Als je een formule kent om f ( x ) te berekenen voor waarden van x in een zeker interval van lengte drie,
bijvoorbeeld 17, 20 ] ,
dan kun je f ( x ) berekenen voor elke waarde van x .

7

Laat f een periodieke functie zijn met periode 6 .

f ( x ) = 3 x 6

voor 2 x 3 ,

f ( x ) = 3

voor 3 x 5 ,

f ( x ) = 8 x

voor 5 x 8 .

a

Teken de grafiek van f op het interval [ 0,15 ] .

b

Bereken f ( 100 ) . Bereken ook f ( 2017 ) .

8

Een slak klimt langs een paal omhoog. Hij begint onderaan, klimt een kwartier, rust dan vijf minuten, klimt weer een kwartier, rust weer 5  minuten, enzovoort. In een kwartier klimmen komt de slak 30  cm hoger. Maar tijdens elke rustpauze van vijf minuten glijdt hij weer 10  cm omlaag. De paal is 100  cm hoog. Boven aangekomen, geniet de slak van het fraaie uitzicht.
Het tijdstip waarop de slak begint te klimmen, noemen we 0 . We rekenen de tijd t in minuten. De hoogte waarop de slak zich bevindt op tijdstip t , noemen we H ( t ) (in cm).

a

Teken de grafiek van de functie H .

b

Wanneer bereikt de slak de top?

c

Is de functie H periodiek?

d

Beschrijf H met twee formules voor de eerste twintig minuten.

Laat t een tijdstip zijn tussen 20 en 40 .

e

Wat is het verband tussen H ( t ) en H ( t 20 ) ?

De grafiek is een zigzaglijn met een trend naar boven.
De gemiddelde stijging zie je goed aan de trendlijn, dat is de lijn die door de middens gaat van de afzonderlijke lijnstukken waaruit de grafiek is opgebouwd.

f

Teken de trendlijn.

g

Geef een formule voor de trendlijn: L = ... t + ... .

Je zou kunnen zeggen dat de grafiek schommelt om de trendlijn. De verschilfunctie H L is periodiek.

h

Wat is de periode van H L ?

i

Teken de grafiek van H L .

9

Hieronder is de grafiek getekend van het zoutgehalte in de Salt Sea, een binnenzee ergens in een woestijngebied op aarde.
Z ( t ) is het zoutgehalte, t jaren na 1 januari 2010.

a

Teken op het werkblad de trendlijn.

b

Geef een formule voor de trendlijn.

Noem de functie waarvan de trendlijn de grafiek is: T .

c

Teken de grafiek van Z T op het werkblad.

d

Wat is de periode van Z T ?

e

Ligt de Salt Sea op het noordelijk of op het zijdelijk halfrond? Verklaar.

f

Wanneer ongeveer in het jaar daalt het zoutgehalte het sterkst?
Met hoeveel procent per jaar?
Wat zou de oorzaak van die daling kunnen zijn?

g

Voorspel het zoutgehalte van de Salt Sea op 1 april 2015.