6.4  De standaard cirkelbeweging >
1

Op de kermis staat een reuzenrad. Als het goed op gang is, draait het regelmatig één keer per minuut rond (linksom).
We volgen gondel A (zie figuur). De hoogte van de gondel boven de grond varieert van 1 tot 21  meter. Op een zeker ogenblik is gondel A 11  meter hoog; dat is t = 0 . Hij gaat dan omhoog. Zijn hoogte t seconden later noemen we H ( t ) .
We nemen 0 t 120 .

a

Teken de cirkelvormige baan die de gondel maakt op schaal  1 : 200 .

b

Voor welke t geldt: H ( t ) = 1 ?

c

Wat is de gemiddelde hoogte van de gondel?
Op welke tijdstippen wordt die bereikt?

d

Maak een schets van de grafiek van H .
Wat is de periode?

Het is mogelijk heel precies te berekenen hoe hoog gondel A is op een gegeven tijdstip. Hiervoor heb je wat goniometrie nodig, d.w.z. berekeningen met sinus, cosinus en/of tangens.
Hiernaast staat een rechthoekige driehoek; A is de plaats van de gondel op tijdstip t = 10 , M is het middelpunt van het rad.

e

Hoe lang is de schuine zijde? Bereken hoek α . Teken de driehoek in jouw tekening van vraag a.

f

Bereken exact H ( 10 ) . Geef ook de waarde afgerond op 3  decimalen.

g

Bereken exact H ( 35 ) .

De grafiek van H is een sinusoïde. De gemiddelde hoogte van de golf noemen we de evenwichtswaarde, het verschil tussen de maximale en gemiddelde hoogte noemen we de amplitude.

h

Geef de evenwichtswaarde en de amplitude van H .

Er zijn allerlei periodieke bewegingen. Eén ervan is een bijzonder regelmatige: de standaard cirkelbeweging. Dat is de "moeder" van alle periodieke bewegingen.

Een kogeltje draait in een cirkelvormige baan, als volgt:

  • de straal van de baan is 1  cm;

  • het middelpunt is ( 0,0 ) ;

  • het kogeltje draait in positieve richting (de 'tegenklokrichting', ofwel linksom);

  • de snelheid is 1 cm/s: het kogeltje legt elke seconde een afstand van 1  cm af langs de cirkel;

  • op tijdstip 0 is het kogeltje in ( 1,0 ) .

Deze beweging is de standaard cirkelbeweging. De bijbehorende baan is de eenheidscirkel.

2

Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging. De straal van de cirkel is 1 (cm). Op tijdstip 0 is het op plaats S .

a

Hoe lang doet het kogeltje over één omwenteling (exact)?

b

Geef op het werkblad de plaats aan van het kogeltje op de tijstippen 1 2 π , π , 1 1 2 π en 2 π .

c

Geef op het werkblad zo nauwkeurig mogelijk de plaats aan van het kogeltje op de tijstippen 1 , 3 en 1 .

3

Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.

In de linker figuur is de eenheidscirkel verdeeld in acht even lange stukken.

a

Welke tijdstippen (tussen 0 en 2 π ) horen bij de verdeelpunten?

In de rechter figuur is de eenheidscirkel verdeeld in twaalf even lange stukken.

b

Welke tijdstippen (tussen 0 en 2 π ) horen bij de verdeelpunten?

Voorbeeld:

We gaan de plaats van het kogeltje op tijdstip 23 heel precies aangeven.
Het kogeltje doet over één rondje 2 π  seconden.
23 2 π 3,6606 , dus in 23 seconden is het kogeltje 3 keer helemaal rond geweest en dan nog 0,6606 de deel van de cirkel.
Daarbij hoort een hoek van 0,6606 360 ° 238 ° .
Teken die hoek bij het middelpunt en je hebt de plaats op tijdstip t = 23 gevonden.

4

Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.

a

Geef op het werkblad zo nauwkeurig mogelijk aan waar het kogeltje is op tijdstip 20 .

b

Doe hetzelfde voor de tijdstippen 10 en 100 .

Om de plaats van het kogeltje op een gegeven tijdstip te vinden, moet je eigenlijk een meetlat langs de eenheidscirkel buigen. Dus moeten we net zo iets hebben als een gradenboog, maar dan met cm in plaats van graden.
Of algemener: met de straal van de cirkel uitgezet langs de omtrek. Zie de animatie lijn oprollen .

Meestal spreekt men van radialen in plaats van "stralen".

Een Engelsman geeft zijn lengte in "inch", een Nederlander in "centimeter". Een hoek kan ook in verschillende maten gemeten worden. De hoekmaat die we meestal gebruikt hebben, is de “graad”. Je gebruikt je geodriehoek om een hoek in graden te meten.

De grootte van een hoek kun je ook zo geven: Leg het hoekpunt in het midden van een cirkel en meet de lengte van de boog die de benen van de hoek van de eenheidscirkel afsnijden.

Hoeveel stralen deze booglengte lang is, is de hoek gemeten in radialen, afgekort rad.

Een gestrekte hoek is:

  • gemeten in graden: 180 ° ;

  • gemeten in radialen: π  rad.

180 ° komt overeen met π  radialen.

5
a

Hoeveel radialen (exact) is een hoek van 30 ° ?
En van 10 ° , 1000 ° en 143 ° ?

b

Hoeveel graden - afgerond op één decimaal - is een hoek van 1 1 2  rad?
En van 3  rad, 7  rad en 6,28  rad?

c

Schrijf precies op hoe je een hoek van graden omrekent naar radialen.

d

Schrijf precies op hoe je een hoek van radialen omrekent naar graden.

De hoeken die een veelvoud zijn van 30 ° en 45 ° zijn speciale gevallen: die hoeken zijn in radialen 'mooi' te schrijven als een eenvoudige breuk keer π .
Bijvoorbeeld: 30 ° = 1 6 π  rad. En 135 ° = 3 4 π  rad.

e

Neem de tabel over en vul de open plaatsen in.

graden

30 °

45 °

60 °

90 °

120 °

135 °

150 °

210 °

315 °

rad

1 6 π

3 4 π

Opmerking:

Met de applet graden_radialen kun je het verband tussen graden en radialen nog eens goed bekijken.

6

Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.

Op tijdstip 4 is het op een zekere plaats op de eenheidscirkel.

a

Bereken de coördinaten van die plaats. Rond af op 2  decimalen.

b

Dezelfde vraag voor tijdstip 7 .

c

En voor tijdstip 6,28 .

We gaan twee nieuwe functies definiëren, met oude namen: sin en cos .

Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.

sin ( t ) =

de tweede coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip t ;

cos ( t ) =

de eerste coördinaat van de plaats waar het kogeltje is op tijdstip t .

In opgave 26 heb je dus sin ( 4 ) en cos ( 4 ) berekend. Dat heb je gedaan door van 4  radialen eerst het overeenkomstige aantal graden te berekenen en toen daarvan de "gewone" sin en cos te nemen.
Het kan ook in één keer met de knoppen sin en cos op je GR: je hoeft dan alleen maar je machine in de stand "RADIAN" te zetten.

7
a

Zet je GR in de stand RADIAN en bereken sin ( 10 ) en cos ( 10 ) .

b

Zet je GR in de stand DEGREE en bereken sin ( 10 ) en cos ( 10 ) .

c

Wat betekenen sin ( 10 ) en cos ( 10 ) als je werkt in de stand RADIAN? Bedenk dat RADIAN = radius = straal.

d

Wat betekenen sin ( 10 ) en cos ( 10 ) als je werkt in de stand DEGREE? Bedenk dat DEGREE = graad.

Als we in het vervolg over sin ( 10 ) spreken, bedoelen we de hoogte van een kogeltje dat de standaard cirkelbeweging maakt op tijdstip 10 . Je vindt de waarde van sin ( 10 ) dus met je rekenmachientje in de stand RADIAN.
Alleen als we met hoeken in figuren werken, rekenen we nog met graden en moet de eenheid er ook bij staan: sin ( 10 ° ) .

8
a

Bereken cos ( 5,23 ) en sin ( 5,23 ) in twee decimalen.

b

Teken de eenheidscirkel; kies als straal (de eenheid) 3  cm.
Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.
Geef op de eenheidscirkel nauwkeurig de plaats aan waar het kogeltje is op tijdstip 5,23 .

c

Dezelfde opdracht voor tijdstip 4,23 .

9
a

Vul de tabel in met behulp van de eenheidscirkel, zonder gebruik te maken van je rekenmachine:

0

1 2 π

π

1 1 2 π

2 π

sin

cos

b

Controleer enkele antwoorden met je rekenmachine.

10

Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging.
Hieronder is op de horizontale as de tijd t uitgezet. Verticaal zetten we in het eerste plaatje de waarden van sin ( t ) , dus de hoogte (ofwel y -coördinaat) van het kogeltje op tijdstip t .
In het tweede plaatje de waarden van cos ( t ) , ofwel de wijdte ( x -coördinaat) van het kogeltje op tijdstip t .

a

Teken op het werkblad op deze wijze de grafieken van sin ( t ) en cos ( t ) .

b

Controleer je grafiek met de applet sin en cos in de eenheidscirkel .

Bekijk nog eens de grafieken van de sinus en de cosinus die je zojuist getekend hebt.
De vorm van de grafieken is identiek: je krijgt de ene uit de andere door een verschuiving.

c

Hoeveel en in welke richting moet je de sinusgrafiek verschuiven om de cosinusgrafiek te krijgen?

Voorbeeld:

Er zijn twee getallen t tussen 0 en 2 π zo dat sin ( t ) = 0,4 .
Welke waarden zijn dat?
Aanpak:
In het plaatje hiernaast zijn de bijbehorende punten op de eenheidscirkel aangegeven.
Je GR levert je maar één van deze twee waarden (in de stand RADIAN): sin 1 ( 0,4 ) 0,4115168... .
De andere waarde vind je door de symmetrie in de figuur te gebruiken: π 0,4115168... 2,7300758... .

11

Bereken de getallen t tussen 0 en 2 π waarvoor de sinus de volgende waarden heeft. Rond je antwoorden af op 2  decimalen. Teken eventueel een plaatje in de eenheidscirkel.

a

sin ( t ) = 0,7

b

sin ( t ) = 0,3

c

sin ( t ) = 1,2

d

sin ( t ) = 1

12

In het voorbeeld hierboven heb je de getallen t gevonden tussen 0 en 2 π waarvoor geldt: sin ( t ) = 0,4 .

a

Weet je dan ook de getallen t gevonden tussen 2 π en 4 π waarvoor sin ( t ) = 0,4 ?

b

Bereken de getallen t tussen 4 π en 6 π waarvoor
sin ( t ) = 0,4 .

Voorbeeld:

Er zijn twee getallen t tussen 0 en 2 π zo dat cos ( t ) = 0,4 .
Welke waarden zijn dat?
Aanpak:
In het plaatje hiernaast zijn de bijbehorende punten op de eenheidscirkel aangegeven.
Je GR levert je weer één van deze twee waarden (in de stand RADIAN): cos 1 ( 0,4 ) 1,1592795... .
De andere waarde vind je door de symmetrie in de figuur te gebruiken: 2 π 1,1592795... 5,1239058... .

13

Bereken de getallen t tussen 0 en 2 π waarvoor de cosinus de volgende waarden heeft. Rond je antwoorden af op 2  decimalen. Teken eventueel een plaatje in de eenheidscirkel.

a

cos ( t ) = 0,7

b

cos ( t ) = 0,3

c

cos ( t ) = 1,2

d

cos ( t ) = 1

14

In het voorbeeld heb je de getallen t gevonden tussen 0 en 2 π waarvoor geldt: cos ( t ) = 0,4 .

a

Weet je dan ook de getallen t gevonden tussen 2 π en 4 π waarvoor cos ( t ) = 0,4 ?

b

Bereken de getallen t tussen 4 π en 6 π waarvoor
cos ( t ) = 0,4 .

Oplossen vergelijkingen:

  • sin ( t ) =
    Dan geeft de GR (met sin 1 ): t =
    Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing:
    t = + k 2 π   of   t = π + k 2 π .

  • cos ( t ) =
    Dan geeft de GR (met cos 1 ): t =
    Vanwege de symmetrie is de algemene oplossing:
    t = + k 2 π   of   t = 2 π + k 2 π .

Hierin kan k elke gehele waarde aannemen (positief én negatief).

15

Bereken alle getallen t tussen 0 en 20 , afgerond op 2  decimalen, waarvoor geldt:

a

sin ( t ) = 1 4

b

cos ( t ) = 1 4

c

sin ( t ) = 1 2

d

cos ( t ) = 1 2