6.6  Vergelijkingen >
1

Het reuzenrad
Op de kermis staat een reuzenrad. Het draait zijn rondjes regelmatig. We rekenen de tijd t in seconden vanaf een zeker ogenblik. We volgen een gondel. H ( t ) is de hoogte van de gondel boven de grond (in meters). Hieronder staat de grafiek van H .

a

Hoeveel rondjes draait het reuzenrad per minuut?
Hoe hoog bevindt de draaias zich boven de grond?

b

Stel een formule op voor H als functie van t .

c

Bereken met behulp van deze formule het eerste tijdstip (afgerond op 2  decimalen) na t = 0 waarop de gondel 10 meter boven de grond is. Controleer je antwoord in de grafiek.

d

Leid met behulp van de symmetrie in de grafiek en de periode de volgende vijf tijdstippen af waarop de gondel 10 meter boven de grond is. Rond weer af op 2  decimalen.

2

Hieronder staat de grafiek van de functie y = 2 + 4 sin ( 3 x ) .

a

Hoe volgt uit de formule welke waarden y kan aannemen? En wat is de periode van de functie?

We zoeken waarden van x waarvoor y = 3 .

b

Leg uit dat voor die waarden van x geldt: sin ( 3 x ) = 1 4 .

c

Met het knopje sin 1 vind je met je rekenmachine een waarde van 3 x . Welke waarde? (Rond af op 3  decimalen.)

Met behulp van de symmetrie van de sinusgrafiek (zie figuur hiernaast) vind je nog een tweede waarde voor 3 x .

d

Welke waarde van 3 x volgt uit de symmetrie?

Je hebt nu twee waarden van 3 x gevonden.

e

Welke waarden van x volgen hieruit? Controleer je antwoord in de grafiek.

Uitgaande van de waarden van x uit vraag e en met behulp van de periode, kun je nu ook andere waarden van x vinden.

f

Geef er een paar (minstens vier).


We vatten het oplossen van de vergelijking
y = 2 + 4 sin ( 3 x ) = 3 nog even overzichtelijk samen:

Oplosschema

  • 2 + 4 sin ( 3 x ) = 3

  • sin ( 3 x ) = 1 4

  • 3 x = 0,2526... (gevonden met sin 1 )

  • Met de symmetrie van de sinusgrafiek vind je een tweede oplossing: 3 x = π 0,2526... = 2,8889...

  • Dit geeft bij deling door 3 :
    x = 0,0842... of x = 0,9629...

  • Met de periode 2 π 3 vind je alle oplossingen:
    x = 0,0842... + k 2 π 3   of   x = 0,9629... + k 2 π 3 ( k geheel)

  • Ofwel:
    x = 2,1786... ; x = 4,2730... ; x = 6,3674... enz.
    en x = 0,9629... ; x = 3,0573... ; x = 5,1517... enz.

3

Hieronder staat de grafiek van de functie y = 1 2 sin ( 1 2 x ) .

a

Neem de grafiek over.
Geef op de y -as aan: de evenwichtswaarde en de hoogste en laagste y -waarde. Teken de evenwichtslijn.
Geef op de x -as de x -waarden aan waarbij de grafiek de evenwichtslijn snijdt.

b

Voor welke x , met 0 x 8 π geldt: 1 2 sin ( 1 2 x ) = 1 ?

c

Voor welke x , met 0 x 8 π geldt: 1 2 sin ( 1 2 x ) = 0,7 ?

(hint)
Teken de lijn y = 0,7 in je grafiek en gebruik het oplosschema.

4
a

Teken op de GR de lijn y = 4 en de grafiek van
y = 3,5 + 0,8 sin ( 2 x ) voor 0 x 2 π .

We gaan op zoek naar de oplossingen tussen 0 en 2 π van de vergelijking 3,5 + 0,8 sin ( 2 x ) = 4 .
We moeten dus de x -coördinaten van de snijpunten van de grafieken in vraag a hebben.
Zoals je ziet zijn er vier snijpunten. Laten we letten op het meest linker snijpunt.

Daarvan vind je de x -coördinaat met de GR met behulp van de optie intersect. Zoek uit hoe dit precies werkt en voer het uit.
De GR geeft je (afgerond op 3  decimalen)
X 0,338 (en natuurlijk Y = 4 ).

b

Zoek op dezelfde manier de x -coördinaten van de andere drie snijpunten. Rond af op 3  decimalen.

c

Hoeveel getallen x zijn er tussen 0 en 100 π waarvoor geldt 3,5 + 0,8 sin ( 2 x ) = 4 ?

d

Bereken het kleinste getal x dat groter is dan 100 π waarvoor geldt 3,5 + 0,8 sin ( 2 x ) = 4 .

5

In opgave 59b heb je vier oplossingen gegeven van de vergelijking 3,5 + 0,8 sin ( 2 x ) = 4 .

Weet je nu ook vier oplossingen van de vergelijking
3,5 + 0,8 sin ( 2 ( x 1 ) ) = 4 ?

6
a

Teken op de GR de grafiek van de functie y = 2 + 4 cos ( 3 x ) en de lijn y = 5 .

We gaan de vergelijking 2 + 4 cos ( 3 x ) = 5 oplossen.

b

Laat zien hoe hieruit volgt: cos ( 3 x ) = 3 4 .

Dit geeft met cos 1 : 3 x = 0,7227...
en vanwege de symmetrie van de cosinusgrafiek (zie figuur):
3 x = 2 π 0,7227... = 5,560... .

c

Welke waarden voor x (afgerond op 4  decimalen) volgen hieruit?

d

Geef nog enkele oplossingen (met 4  decimalen) door gebruik te maken van de periode.

e

Controleer je gevonden antwoorden met je GR met behulp van de optie intersect.

We vatten het oplossen van de vergelijking
y = 2 + 4 cos ( 3 x ) = 5 nog even overzichtelijk samen:

Oplosschema

  • 2 + 4 cos ( 3 x ) = 5

  • cos ( 3 x ) = 3 4

  • 3 x = 0,7227... (gevonden met cos 1 )

  • Met de symmetrie van de cosinusgrafiek vind je een tweede oplossing: 3 x = 2 π 0,7227... = 5,5604...

  • Dit geeft bij deling door 3 :
    x = 0,2409... of x = 1,8534...

  • Met de periode 2 π 3 vind je alle oplossingen:
    x = 0,2409... + k 2 π 3   of   x = 1,8534... + k 2 π 3 ( k geheel)

  • Ofwel:
    x = 0,2409... ; x = 2,3353... ; x = 4,4297... enz.
    en x = 1,8534... ; x = 3,9478... ; x = 6,0422... enz.

7
a

Bereken voor welke x tussen 0 en 2 π geldt:
3,5 + 0,8 cos ( 2 x ) = 4 . Rond af op 4  decimalen.

b

Weet je nu ook de oplossingen van de vergelijking
3,5 + 0,8 cos ( 2 ( x + 1 ) ) = 4 voor x tussen 0 en 2 π ? Rond af op 4  decimalen.

8

De vergelijking 3 + 4 sin ( x + 1 ) = 2 heeft twee oplossingen tussen 0 en 2 π , namelijk 2,39427... en 5,0305... .

a

Weet je nu ook de oplossingen tussen 2 π en 4 π ?

b

En tussen 30 π en 32 π ?

c

Hoe kun je alle oplossingen van de vergelijking vinden?

9

De vergelijking 2 sin ( 2 ( x 1 ) ) = 1 1 2 heeft twee oplossingen tussen 0 en 2 π , namelijk 0,5759... en 2,9948... .

a

Wat is de periode van de functie y = 2 sin ( 2 ( x 1 ) ) ?

b

Welke oplossingen heeft de vergelijking tussen π en 0 ?

c

Hoe kun je alle oplossingen van de vergelijking vinden?

10

We bekijken de vergelijking 1 + 2 cos ( 3 ( x 1 ) ) = 1 2 .

a

Zoek met je GR (met de optie intersect) de twee oplossingen die het dichtst bij 0 en 1 liggen.

c

Hoe kun je alle oplossingen van de vergelijking vinden?

Vergelijkingen:

  • a + b sin ( c ( x d ) ) = e

  • a + b cos ( c ( x d ) ) = e

Bereken dan twee opvolgende oplossingen van de vergelijking.
Noem deze oplossingen x 1 en x 2 .
Dan zijn x 1 + k 2 π c en x 2 + k 2 π c alle oplossingen van de vergelijking, waarbij k een willekeurig geheel getal is.

11
a

Leg de " 2 π c " in het theorieblokje hierboven uit.

b

x 1 en x 2 hoeven niet per se opvolgende oplossingen te zijn. Toch kun je het woord "opvolgende" niet zomaar weglaten. Leg dat uit.

Voorbeeld:

Het berekenen van de twee opvolgende oplossingen van zo'n vergelijking mag vaak met de GR, met de optie intersect.
Een algebraïsche aanpak illustreren we hieronder met twee uitgewerkte voorbeelden naast elkaar:

3 + 5 sin ( 4 ( x 1 ) ) = 2

3 + 5 cos ( 4 ( x 1 ) ) = 2

Noem t = 4 ( x 1 ) ,

Noem t = 4 ( x 1 ) ,

dus 3 + 5 sin ( t ) = 2

dus 3 + 5 cos ( t ) = 2

sin ( t ) = 1 5

cos ( t ) = 1 5

Met sin 1 : t = 0,2013...

Met cos 1 : t = 1,7721...

De andere oplossing met symmetrie

De andere oplossing met symmetrie

van de sinusgrafiek:

van de cosinusgrafiek:

t = π 0,2013... = 3,3429...

t = 2 π 1,7721... = 4,5110...

4 ( x 1 ) = 0,2013... of 4 ( x 1 ) = 3,3429...

4 ( x 1 ) = 1,7721... of 4 ( x 1 ) = 4,5110...

x = 0,9496... of x = 1,8357...

x = 1,4430... of x = 2,1277...

De periode is 2 π 4 = 1 2 π

De periode is 2 π 4 = 1 2 π

Dus alle oplossingen:

Dus alle oplossingen:

x = 0,9469... + k 1 2 π of x = 1,8357... + k 1 2 π

x = 1,4430... + k 1 2 π of x = 2,1277... + k 1 2 π

Opmerking:
  • Tussendoor niet afronden: maak met je GR handig gebruik van ANS en/of de geheugens met STO.

  • Let op het subtiele verschil tussen beide uitwerkingen bij sin en cos: alleen de symmetrie is anders!

12

Bereken langs algebraïsche weg alle oplossingen van de volgende vergelijkingen; gebruik de variabele k voor een willekeurig geheel getal.

a

1 + 1 2 sin ( 2 ( x + 3 ) ) = 0,8

b

1 + 1 2 cos ( 2 ( x + 3 ) ) = 0,8

c

2 1 3 sin ( 5 ( x 1 ) ) = 1,2

d

3 + 1 4 sin ( 3 ( x 1 ) ) = 2,75

e

3 + 1 4 cos ( 3 ( x 1 ) ) = 2,75

f

2 + 5 cos ( π ( x 1 ) ) = 8

13

Hieronder staat de grafiek van een periodieke functie f .
De periode van de functie is 5 .

We bekijken de vergelijking f ( x ) = 3 .

a

Hoeveel oplossingen heeft deze vergelijking op het x -interval [ 0,100 ] ?

Twee van die oplossingen zijn x = 1 en x = 2 .

b

Hoe kun je alle oplossingen van de vergelijking noteren? Gebruik de variabele k voor een willekeurig geheel getal.

De vergelijking f ( x ) = 3 heeft twee periodieke reeksen oplossingen, beide met periode 5 .

c

Hoeveel reeksen oplossingen heeft de vergelijking
f ( x ) = 2 ?
Geef deze reeksen. Gebruik de variabele k voor een willekeurig geheel getal.

Het aantal reeksen oplossingen van de vergelijking f ( x ) = c hangt af van de waarde van c

d

Voor welke c heeft de vergelijking precies één reeks oplossingen?
Voor welke c heeft de vergelijking twee reeksen oplossingen?
Voor welke c heeft de vergelijking drie reeksen oplossingen?
Voor welke c heeft de vergelijking vier reeksen oplossingen?
Voor welke c heeft de vergelijking geen oplossingen?

14

Bekijk de vergelijking 2 sin ( 1 1 2 x ) = c .

a

Voor welke c heeft de vergelijking geen oplossingen?

b

Voor welke c heeft de vergelijking één reeks oplossingen? Met welke periode?

c

Voor welke c heeft de vergelijking twee reeksen oplossingen? Met welke periode?