1

Groeiseizoen
In een vochtig land als Nederland is de lengte van het groeiseizoen van groot belang. Het groeiseizoen bestaat uit de dagen met een middagtemperatuur boven $5$ °C.
De jaarlijkse temperatuurschommeling in Nederland wordt redelijk benaderd door de formule:
$T = 9,5 + 10,5 \cdot \sin (\frac{π}{6} (t - 4))$ .
Hierin is $T$ de middagtemperatuur in °C en is $t$ de tijd in maanden, gerekend vanaf het begin van het kalenderjaar.
Op 1 januari is dus $t = 0$ . Voor het gemak zeggen we dat alle maanden $30$ dagen lang zijn.

a

Welke middagtemperatuur mag je in Nederland volgens deze formule verwachten op 1 april?

b

Kun je de factor $\frac{π}{6}$ verklaren?

c

Op welke dag van het jaar is volgens de formule de middagtemperatuur het laagst? En op welke dag het hoogst?

d

Teken de grafiek van $T$ als functie van $t$ . Kies handige schaalverdelingen op de assen.

e

Bereken algebraïsch op welke data in het jaar volgens deze formule de middagtemperatuur $5$ °C is.
Controleer je antwoorden op je GR met de optie intersect.

f

Hoelang duurt het groeiseizoen ongeveer volgens deze formule in Nederland? Geef je antwoord in maanden en dagen.

2

Werkgelegenheid
De werkgelegenheid in de agrarische sector is sterk afhankelijk van het seizoen.

a

In welk jaargetijde is het meeste werk?

b

De werkgelegenheid in de agrarische sector is de laatste jaren gedaald. Geef hiervoor twee oorzaken.

c

Als je afziet van de dalende trend is de werkgelegenheid periodiek. Wat is de periode?

Volgens een zeker model wordt het aantal arbeidsplaatsen in de agrarische sector gegeven door de formule:
$A = 336 - 5 t - 14 \cdot \cos (2 π t)$ .
Hierbij is $A$ het aantal arbeidsplaatsen in duizenden en is $t$ de tijd in jaren vanaf begin 1970.

d

Hoeveel arbeidsplaatsen waren er volgens het model in de zomer van 2000 (dat is halverwege 2000)?

e

Hoeveel arbeidsplaatsen gaan er elk jaar verloren?

f

Bereken in welk jaar voor het eerst het aantal arbeidsplaatsen minder dan $200$ duizend bedraagt.

3

Het reuzenrad
Op de kermis staat een reuzenrad. Het maakt twee omwentelingen per minuut (linksom). We volgen gondel $A$ .
Op tijdstip $0$ is de gondel $11$ meter boven de grond.
Het hoogste punt is $21$ meter boven de grond. In de tekening hiernaast is de situatie op tijdstip $0$ getekend.
De hoogte van gondel $A$ na $t$ seconden is $a (t)$ meter.

a

Teken de grafiek van $a$ als functie van $t$ .

b

Geef een formule voor $a (t)$ .

c

Bereken algebraïsch het eerste tijdstip na $0$ waarop de gondel $16$ meter boven de grond is.
Op welke drie volgende tijdstippen is de gondel weer $16$ meter boven de grond?

De tweede gondel na $A$ noemen we $B$ . De hoogte van $B$ na $t$ seconden is $b (t)$ meter.

d

Teken de grafiek van gondel $B$ in de figuur bij vraag a.

e

Stel een formule op voor $b (t)$ .

4

De slinger
De slinger van een pendule maakt een regelmatige beweging. We bekijken de uitwijking $u$ als functie van de tijd $t$ ( $u$ in cm en $t$ in sec.) De maximale uitwijking is $5$ cm, de slingertijd is $4$ seconden (zo lang duurt één keer heen en weer). We rekenen de uitwijking naar rechts positief, naar links negatief. De tijd-uitwijking-grafiek is (nagenoeg) een sinusoïde.

a

Teken de grafiek en geef een formule van de sinusoïde. Neem aan dat de slinger op $t = 0$ door het laagste punt naar rechts gaat.

b

Bereken wanneer tijdens de eerste slingerbeweging de uitwijking $1$ cm naar rechts is. Rond af op $3$ decimalen.
En wanneer is dat tijdens de vijfde slingerbeweging?

Van een half zo lange slinger is de slingertijd $0,7$ keer zo groot en is de maximale uitwijking $0,5$ keer zo groot.

c

Teken in dezelfde figuur de grafiek van deze slinger en geef een formule.

5

Midzomernachtszon
Ten noorden van de poolcirkel ( $66 \frac{1}{2}$ °NB) gaat de zon hartje zomer niet onder. De ansichtkaart hieronder komt uit Noorwegen. Hij toont in een $360$ °-panorama de zonnebaan van 21 juni 19.00 uur tot 22 juni 18.00 uur. De foto's zijn genomen op een eilandje voor de Noorse kust, juist boven de poolcirkel.
De laagste zonshoogte (om middernacht) is nagenoeg $0$ °, de hoogste is $47$ °. De baan kan goed benaderd worden door een sinusoïde.

a

Stel een formule op voor de zonshoogte $h$ (in graden) als functie van de tijd $h$ (in uren). Neem 21 juni middernacht als $t = 0$ .

b

Stel ook een formule op als je 22 juni 6.00 uur als $t = 0$ neemt.

c

Hoe snel klimt de zon gemiddeld aan de hemel tussen $0$ uur en $12$ uur op 22 juni (in graden/uur)?

d

Hoe snel klimt de zon aan de hemel tussen kwart voor 6 en kwart over 6 's ochtends op 22 juni (in graden/uur)?

e

Heb je enig idee hoe de zonnebaan er hartje winter op het eiland uitziet?

6

De verende veer
Een veer is aan een balk opgehangen. Aan de veer hangt een gewicht, $2$ meter boven de vloer. Iemand trekt het gewicht omlaag, tot $1,50$ meter boven de vloer. Op tijdstip $0$ laat hij het gewicht los: dan begint een harmonische beweging. Hieronder is de veer op zes opvolgende tijdstippen getekend, met tussenpozen van $0,5$ seconde. De tijd-hoogte-grafiek kan goed benaderd worden door een sinusoïde.

a

Teken de grafiek en geef een formule voor de hoogte $h$ (in m) boven de vloer als functie van de tijd $t$ (in seconden). Vermeld de schaal bij de assen.

b

Bereken de verandering in hoogte $Δ h$ tussen $t = 1,39$ en $t = 1,41$ .
Bereken hiermee de gemiddelde snelheid tussen deze twee tijdstippen.

c

Bereken algebraïsch, afgerond op $2$ decimalen, op welke tijdstippen tussen $1$ en $3$ het gewicht $2,3$ meter boven de vloer is.
Controleer je antwoorden met de GR met intersect.

7

Geboorten
Er is ooit een onderzoek geweest naar het tijdstip op de dag waarop baby's worden geboren. In een krant stond hierover onderstaande grafiek en tekst.

In het onderzoek waarvan de grafiek het resultaat is, is geteld hoeveel geboortes er plaatsvonden omstreeks $0$ uur, hoeveel omstreeks $1$ uur, enzovoort. Die aantallen zijn aangegeven met stippen.

a

Hoeveel geboortes betrof het onderzoek in totaal?

Anneke denkt dat er voor de middag wel twee keer zo veel kinderen worden geboren als na de middag.

b

Hoe komt het dat Anneke zo misleid is?

c

Wat is de echte verhouding ongeveer tussen de aantallen geboortes voor en na de middag? (Voor de middag is voor 12 uur.)

Tussen de stippen door is er een lijn getrokken: een sinusoïde. We willen een formule voor die sinusoïde opstellen in de gedaante: $A = a + b \sin (c (t - d))$ . Hierin is $t$ het tijdstip (in uren) en $A$ het aantal geboortes.

d

Stel de formule op.

8

Golven in ondiep water
Wanneer golven die ontstaan in diep water, langzamerhand in ondiep water terechtkomen, veranderen hun eigenschappen zodra de waterdiepte minder is dan een halve golflengte. Een straffe noordwester bries op de Noordzee zou bijvoorbeeld golven kunnen veroorzaken van twee meter hoogte, tachtig meter lengte en met een periode van acht seconden. Het ondiep-watereffect wordt pas merkbaar als de zee minder dan $40$ meter diep is. Dan worden de golven lager, korter en langzamer: de golf zal langzaam uitsterven.

We gaan een formule opstellen voor de ideale uitstervende golf, zoals die hierboven beschreven is. We nemen het volgende aan:

De bodem van de zee glooit gelijkmatig onder een helling van $10 %$ .
De golflengte is $2$ keer zo groot als de diepte.
De amplitude is $\frac{1}{4}$ van de diepte.
Precies $400$ meter voor de kust gaat de golf stijgend door de evenwichtsstand.

Het aantal meters uit de kust noemen we $x$ , de hoogte van de golf $h$ (ook in meters).

a

Hoe diep is de zee $x$ meter uit de kust?

b

Wat is de golflengte $x$ meter uit de kust en wat is daar de amplitude?

c

Stel een formule op voor $h$ als functie van $x$ .

9

De spirograaf
Een spirograaf is een instrument dat gebruikt wordt om geometrische patronen te tekenen. De spirograaf werd bedacht door Denys Fisher (1918 - 2002), een Engelse ingenieur.
Het principe bestaat uit een set ronde tandwielen en ringen, ook voorzien van tandjes, waarbij de tandwielen binnen de ringen kunnen rollen. In de rollende tandwielen bevinden zich gaatjes waardoor een potlood met dunne punt kan worden gestoken. Door de stralen van de tandwielen en de positie van het potlood te variëren kunnen tal van patronen worden vervaardigd.

We nemen in deze hele opgave een ring met $96$ tandjes aan de binnenkant. We kiezen verder de $24$ -cirkel (die heeft $24$ tandjes op de omtrek). Met een schrijfstift in een van de gaatjes draaien we de cirkel langs de binnenkant van de ring: we krijgen een periodieke beweging.
Zie de applet spirograaf .

Als de cirkel in de ring één keer rond is geweest, is de stift weer precies in zijn startpunt terug: de kromme is gesloten.

a

Kun je dat verklaren?

Kies nu de $72$ -cirkel (en nog steeds de ring met $96$ tandjes). Het resultaat is dan een beweging met als periode $288$ tandjes. En de gesloten kromme is draaisymmetrisch van orde $4$ .

b

Hoe vaak is de $72$ -cirkel rond geweest?

Bekijk de onderste figuur hiernaast met $8$ "lussen".

c

Hoeveel tandjes moet de cirkelomtrek hebben om deze figuur te maken?
Controleer je antwoord met de applet spirograaf .

We onderscheiden vier variabelen:

de periode $p$ van de beweging,
het aantal tandjes $t$ op de cirkelomtrek,
de orde van draaisymmetrie $d$ van de figuur,
het aantal keren $a$ dat de cirkel in de ring rond geweest is, als de stift weer in zijn startpunt terug is.

d

Wat is het verband tussen $p$ en $a$ ? Wat is het verband tussen $p$ en $d$ en $t$ ?