Op een pak halfvolle melk is nevenstaande informatie te vinden.

Hoeveel gram eiwit zit er in een liter? En in een glas van $20$ cl?

In een kop halfvolle melk zit $180$ mg calcium.

Hoeveel gram koolhydraten zit er in?

Jaap moet van de dokter kalkrijker gaan eten. Daarom verhoogt hij het aantal bekers melk dat hij drinkt van één naar drie per dag.

Hoeveel keer zoveel kalk (calcium) krijgt hij hierdoor binnen?

De hoeveelheid calcium in een hoeveelheid melk noemen we $x$ (in mg) en de hoeveelheid koolhydraten $y$ (in gram).

Vul de tabel in en teken de grafiek erbij ( $x$ horizontaal en $y$ verticaal).

$x$	60	90	120	150	180	210	240
$y$

Geef een formule voor het verband tussen $y$ en $x$ .

De variabele $y$ is evenredig met de variabele $x$ betekent: als $x$ $2$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ ook $2$ keer zo groot, als $x$ $3 \frac{1}{2}$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ ook $3 \frac{1}{2}$ keer zo groot, als $x$ $k$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ ook $k$ keer zo groot, voor elk getal $k$ .

Is de hoeveelheid vet $x$ (in gram) in een glas melk evenredig met de hoeveelheid eiwit $y$ (in gram) in een glas melk?
Is de hoeveelheid calcium (in gram) in een glas melk evenredig met de hoeveelheid melk (in cl) in dat glas?

De variabele $y$ is evenredig met de variabele $x$ betekent:
als $x$ $k$ keer zo groot wordt, dan wordt $y$ ook $k$ keer zo groot, voor elk getal $k$ .
$y$ is evenredig met $x$ noteren we met: $y \sim x$ .
In plaats van evenredig wordt ook de term recht evenredig gebruikt.

Simon Stevin (1548-1620)

Simon Stevin, Vlaams wiskundige, natuurkundige en uitvinder heeft de term everednich (latijn: proportionalis) ingevoerd.
In zijn tijd was Latijn de gangbare taal in de wetenschap. Hij schreef in de volkstaal. Veel Nederlandse termen (wiskunde, natuurkunde, meetkunde, evenwijdig) zijn door hem ingevoerd.

Witgoedreparateur Van Elten vraagt $30$ euro voorrijkosten. Het arbeidsloon is $85$ euro per uur.
De firma Andriessen rekent geen voorrijkosten, maar een arbeidsloon van $110$ euro per uur. Het totale bedrag dat je bij Van Elten voor een reparatie betaalt, noemen we $E$ , en bij Andriessen $A$ . Het aantal uren dat er voor een reparatie nodig is, noemen we $t$ .

Is $E$ evenredig met $t$ ?
Is $A$ evenredig met $t$ ?

Geef een formule van het verband tussen $A$ en $t$ en een formule van het verband tussen $E$ en $t$ .

Teken de grafiek van het verband tussen $A$ en $t$ en van $E$ en $t$ in één figuur; $E$ en $A$ verticaal, $t$ horizontaal.

Bij welke reparatietijd is Van Elten voordeliger dan Andriessen?
Geef een exacte berekening.

Neem aan: $y \sim x$ . Dan is er een constante $c$ zó, dat $y = c \cdot x$ .
Deze constante heet evenredigheidsconstante.
De grafiek van het verband tussen $y$ en $x$ is een rechte lijn door $O (0,0)$ .

Van een schip wordt bijgehouden hoeveel kilometer het in een bepaalde tijd aflegt. In de grafiek is de afgelegde afstand $A$ in km verticaal uitgezet tegen de tijd $t$ in uur horizontaal. $A$ is evenredig met $t$ .

Hoe zie je aan de grafiek dat $A \sim t$ ?

Bepaal de evenredigheidsconstante.

Wat is de betekenis van de evenredigheidsconstante?

De oppervlakte van een vierkant noemen we $A$ , de omtrek $O$ , de zijde $z$ .

Is $A$ evenredig met $z$ ? Is $O$ evenredig met $z$ ?

$A$ is evenredig met een macht van $z$ .
Welke macht van $z$ ?

Druk $z$ uit in $A$ .
Druk ook $O$ uit in $A$ .

Als $x$ en $y$ positieve getallen zijn en $y = x^{2}$ , dan $x = \sqrt{y}$ .

$\sqrt{y}$ noemen we de wortel van $y$ , ook wel de tweedemachtswortel van $y$ .
Je hebt ook de derdemachtswortel van $y$ , dat is het getal $x$ waarvoor geldt: $x^{3} = y$ , notatie $x = \sqrt[3]{y}$ .

Voorbeeld:

$\sqrt[3]{27} = 3$ , want $3^{3} = 27$
$\sqrt[3]{64} = 4$ , want $4^{3} = 64$
$\sqrt[3]{0,008} = 0,2$ , want ${0,2}^{3} = 0,008$

De ribbe van een kubus noemen we $r$ .
De totale oppervlakte (van de zes grensvlakken) van de kubus noemen we $O$ en de inhoud $V$ .

Druk $V$ en $O$ uit in $r$ .

Laat zien dat $216 \cdot V^{2} = O^{3}$

(hint)

Druk

216 \cdot V^{2}

O^{3}

beide in

r

uit met behulp van het vorige onderdeel.

Neem aan: $V = 5$ .

Bereken $O$ in drie decimalen nauwkeurig.

Laat zien dat $O = 6 \sqrt[3]{V^{2}}$ door beide kanten van de gelijkheid tot de derde macht te nemen.

Uit opgave 7 volgt dat $O$ evenredig is met $\sqrt[3]{V^{2}}$ .
Bij dieren bestaat er een soortgelijk verband tussen de huidoppervlakte $H$ (in dm²) en het lichaamsgewicht $G$ (in kg): $H = c \cdot \sqrt[3]{G^{2}}$ .
Hierbij is $c$ de evenredigheidsconstante. Deze hangt af van de diersoort. De constante $c$ is naar de bioloog Meeh, de Meeh-coëfficiënt genoemd.

Meeh verrichtte bij 16 mensen huidoppervlakte-metingen door de huid stukje voor stukje met millimeterpapier te bedekken. Zo vond hij voor de mens: $c = 11,2$ .

Bereken jouw huidoppervlakte met de formule van Meeh.

Laat zien dat uit $H = 11,2 \cdot \sqrt[3]{G^{2}}$ volgt:
$G^{2} = 0,0007 H^{3}$ .

Druk $G$ uit in $H$ . Schrijf het resultaat in de vorm:
$G = c \cdot \sqrt{H^{3}}$ , met $c$ in drie decimalen nauwkeurig.

Een klaslokaal heeft een vloeroppervlakte van $60$ m² en een hoogte van $3 \frac{1}{2}$ m.
Het aantal personen in het lokaal noemen we $A$ , het beschikbare aantal m³ per persoon $M$ .

Is $A$ evenredig met $M$ ?

Meneer Broekema geeft lessen van $50$ minuten. Daarvan besteedt hij $20$ minuten aan de bespreking van het huiswerk en uitleg; de rest van de tijd helpt hij de leerlingen individueel. Het aantal leerlingen dat hij in een lesuur heeft, noemen we $A$ . De tijd (in minuten) die hij voor elke leerling individueel heeft, noemen we $T$ .

Wat is $A$ als $T = 2$ ? En wat is $T$ als $A = 42$ ?

Geef een formule voor het verband tussen $A$ en $T$ .

Meneer Broekema heeft uitgerekend dat hij in een bepaalde klas $50$ seconden voor elke leerling individueel heeft per les.
Hoeveel leerlingen heeft hij in die klas?

Wat gebeurt er met $T$ als $A$ $2$ keer zo groot wordt?
Wat gebeurt er met $T$ als $A$ $2 \frac{1}{2}$ keer zo groot wordt?

Als $A$ $k$ keer zo groot wordt, dan wordt $T$ $k$ keer zo klein en omgekeerd.
$A$ is dan evenredig met het omgekeerde van $T$ , dus met $\frac{1}{T}$ .
We zeggen: $A$ is omgekeerd evenredig met $T$ .

Meneer De Vrij rijdt $600$ km over Duitse autowegen naar zijn vakantiebestemming. De reistijd $T$ (in uren) hangt af van de (gemiddelde) rijsnelheid $v$ (in km/u).

Geef een formule voor het verband tussen $v$ en $T$ .
Teken de grafiek van $T$ als functie van $v$ op je GR.

Meneer de Vrij heeft dit jaar een nieuwe auto gekocht. Zijn rijsnelheid was vorig jaar $90$ km/u. Met zijn nieuwe auto weet hij de rijsnelheid op te voeren tot $100$ km/u.

Hoeveel scheelt dat in zijn reistijd over de $600$ km Duitse autowegen?

Jan van den Heuy is forens. Hij rijdt elke dag heen en weer tussen werk en huis. Zijn gemiddelde snelheid heen is $20$ km/u. De gemiddelde snelheid terug $30$ km/u.

Bereken zijn gemiddelde snelheid over het traject heen en terug. Doe dit als de weg naar het werk $30$ km lang is en ook als die $60$ km lang is.

Mevrouw De Vrij (uit 11) zit op de terugweg achter het stuur. Zij rijdt, ook omdat het wat minder druk is, met een gemiddelde rijsnelheid van $120$ km/u.
Meneer de Vrij rekent voor, dat de gemiddelde snelheid heen en terug dan $110$ km/u is.
Als volgt: heen $100$ km/u en terug $120$ km/u. Dat is gemiddeld $110$ km/u.
Mevrouw is het hier niet mee eens.

Laat zien dat mevrouw gelijk heeft.

Als $y \sim \frac{1}{x}$ , dus $y = \frac{c}{x}$ voor een of ander getal $c$ , dan is de grafiek van $y$ als functie van $x$ een hyperbool met de $x$ -as en de $y$ -as als asymptoten.

Voor $x$ , $y$ en $z$ geldt: $x \sim y$ en $y \sim \frac{1}{z}$ .
Als $x = 3$ , dan $y = 6$ en $z = 1$ .

Druk $y$ uit in $x$ , druk $y$ uit in $z$ en druk $z$ uit in $x$ .

Het verband tussen $y$ en $x$ wordt gegeven door: $y = 2 x + 4$ .

Ga na dat $y$ en $x + 2$ evenredig zijn.
Wat is de evenredigheidsconstante?

$y$ is evenredig met $x - 1$ .
Als $x = 3$ , dan $y = 10$ .

Wat is de evenredigheidsconstante?

(hint)

Dus

y = c (x - 1)

, voor een of ander getal

c

Hoe ziet de grafiek van het verband eruit?

Het verband is te schrijven in de vorm $y = a x + b$ voor zekere getallen $a$ en $b$ .

Bereken $a$ en $b$ .

De verbanden van de vorm $y = a x + b$ hebben als grafiek een rechte lijn. De richtingscoëfficiënt van de lijn is $a$ en $b$ is de tweede coördinaat van het snijpunt met de $y$ -as.

Gegeven zijn twee verbanden: $y_{1} = \frac{2}{3} x + 4 \frac{1}{2}$ en $y_{2} = \frac{1}{2} x + 1$ .

Teken de grafiek van elk van de verbanden in één assenstelsel.

Bereken exact voor welke $x$ geldt: $y_{1} = y_{2}$ .

Bepaal met behulp van de vorige onderdelen voor welke $x$ geldt: $y_{1} > y_{2}$ .

Gegeven het verband $y = a x + b$ voor alle mogelijke getallen $a$ en $b$ .

Voor welke getallen $a$ en $b$ is de grafiek van het verband een horizontale rechte lijn?

Voor welke getallen $a$ en $b$ gaat de grafiek door de oorsprong?

Voor welke getallen $a$ en $b$ gaat de grafiek door de punten $(2, -1)$ en $(‐4, 1)$ ?

Bij tegengestelde waarden van $x$ zijn de waarden van $y$ samen $10$ .

Bereken $b$ .

Neem de tabel over en vul hem in.

$x$	$x^{2}$	$‐ x^{2}$	$2 x^{2}$	${(2 x)}^{2}$
$2$
$‐2$

Bekijk de vier verbanden: $y = x^{2}$ , $y_{1} = ‐ x^{2}$ , $y_{2} = 2 x^{2}$ en $y_{3} = {(2 x)}^{2}$ .
Dan zijn $y_{1}$ , $y_{2}$ en $y_{3}$ evenredig met $y$ .

Wat zijn de evenredigheidsconstanten?

Opmerking:

Kwadrateren gaat vóór vermenigvuldigen en ook vóór tegengestelde nemen.
Heb je daar bij het invullen van de tabel rekening mee gehouden?

We komen terug op de eerste opgave van de INTRO. Voor de omtrek $O$ van een cirkel geldt: $O = π \cdot d$ , waarbij $d$ de diameter van de cirkel is.
De omtrek van een halve cirkel is dus evenredig met de diameter $d$ . We bekijken het tweede ontwerp. Neem aan dat de bovenrand lengte $3$ heeft.

Bepaal de lengte van de linker onderrand met evenredigheid. Licht je antwoord toe.
Dus de onderkant heeft dezelfde omtrek als de bovenkant.

We komen terug op de tweede opgave van de INTRO. We bekijken een vierkante bakplaat met daarop een zo groot mogelijke ronde pizza. De oppervlakte van het bakblik noemen we $B$ en dat van de pizza $P$ .
Er is een getal $c$ zó, dat $P = c \cdot B$ , dus $P$ en $B$ zijn evenredig.

Bereken het getal $c$ .

(hint)

De oppervlakte van een cirkel is $π \cdot r^{2}$ , waarbij $r$ de straal van de cirkel is.

Leg uit dat uit de evenredigheid van $P$ en $B$ volgt dat de vier kleine pizza's dezelfde oppervlakte hebben als de grote pizza.